ensembles 1 dénitions d'ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C N est l'ensemble des entiers naturels. N = {0, 1, 2, 3....} Z est l'ensemble des entiers relatifs. Z = {..., −11, −10...0, 1, 2, 3....}. D est l'ensemble des nombre décimaux, nombres qui s'écrivent avec une quantité quelconque, mais nie, de chires derrière la virgule en base 10. D = {...0, 1...0, 569... − 0, 25...2569, 5...} Q est l'ensemble des nombres rationnels, nombres que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers. 2,7 10 −58 Q = {..., − 11 1 ... 3 ... −256 ... 580 ...} √ R est l'ensemble des réels. R = {..., −11, −10...0, 569... − 0, 25...0, 1, 2, 3...π... 10} √ √ C est l'ensemble des complexes. {..., −11, −10...0, 569... − 0, 25...0, 1, 2, 3...π...(1 + i 2)...e3i .... 10} ∈ C 2 ensembles munis d'opérations 2.1 groupe (E, •) E muni d'une opération • tel que a, b, c trois éléments quelconques de A a•b∈A ⇔ loi de composition interne (a • b) • c = a • (b • c) ⇔ associativité ∃e tel que a • e = e • a = a ⇔ élément neutre a•b=b•a ⇔ commutativité Un groupe est un ensemble : Soient un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. Soit E ensemble. (E, 2.1.1 •) groupe ssi : ∀(a, b) ∈ E 2 , a • b ∈ E associativité ∀(a, b, c) ∈ E , a • (b • c) = (a • b) • c élément neutre e ∀a ∈ E, a • e = e • a = a élément symétrique ∀a ∈ E, ∃b ∈ E tel que a • b = 0 •, loi de composition interne 3 exemple : les entiers Un des groupes les plus communs est l'ensemble des entiers relatifs Z muni de l'addition. Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la dénition générale donnée plus bas. Pour deux entiers quelconques a et b, la somme a+b est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une loi de composition interne. Pour tous entiers a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c). Littéralement, additionner d'abord a et b, puis ajouter c au résultat donne le même résultat nal qu'ajouter a à la somme de b et c. Cette propriété est nommée associativité. Si a est un entier, alors 0 + a = a + 0 = a. Zéro est ce qu'on appelle un élément neutre pour l'addition, parce qu'ajouter 0 à tout entier renvoie cet entier. Pour tout entier a, il existe un entier b tel que a + b = b + a = 0. L'entier b est appelé l'élément symétrique de l'entier a et est noté -a (pour l'addition, on dit aussi opposé. 1 2.2 anneau (A, +, ×) Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations, appelées addition (+) et multiplication(×). (A, +) est un groupe commutatif. La multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre. 2.2.1 propriétés Soient a, b, c trois éléments quelconques de (a + b) + c = a + (b + c) a+0=0+a=a a + (−a) = (−a) + a = 0 a+b=b+a (a × b) × c = a × (b × c) a×1=1×a=a a × (b + c) = a × b + a × c (b + c) × a = b × a + c × a 2.2.2 A ⇔ (A, +) ⇔ la ⇔ la ⇔ la ⇔ la est un groupe commutatif multiplication est associative multiplication possède un élément neutre multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition anneau commutatif ∀a ∈ A, ∀b ∈ A, a × b = b × a 2.2.3 corps commutatif Un corps commutatif est un anneau commutatif pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication. (A, +, ×) 2.3 corps commutatif ⇔ (A, +, ×) anneau commutatif ET ∀a ∈ A∗ , ∃b ∈ A tq a × b = b × a = 1 corps (A, +, ×) A muni de deux opérations, appelées addition (+) et multiplication(×). (A, +) est un (A\{∅}, ×) est un groupe commutatif. La multiplication est distributive par rapport à l'addition. Un corps est un ensemble groupe commutatif. 2.3.1 propriétés Soient a, b, c trois éléments quelconques de (a + b) + c = a + (b + c) a+0=0+a=a a + (−a) = (−a) + a = 0 a+b=b+a (a × b) × c = a × (b × c) a×1=1×a=a −1 −1 a × (a ) = (a ) × a = 1 a×b=b×a a × (b + c) = a × b + a × c (b + c) × a = b × a + c × a A ⇔ (A, +) est un groupe commutatif ⇔ (A\{∅}, ×) ⇔ la ⇔ la est un groupe commutatif multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition 2