Chapitre 8 : LES TRIANGLES SEMBLABLES I

Chapitre 8 : LES TRIANGLES SEMBLABLES
I- Triangles égaux
Définition : Des triangles égaux sont des triangles superposables, c'est à
dire qui ont des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à
deux de même mesure.
Vocabulaire : lorsque deux
triangles sont égaux, deux angles
superposables sont dits
homologues ainsi que leurs
sommets, deux côtés
superposables sont dits côtés
homologues.
II- Cas d'égalité des triangles
Premier cas : Si deux triangles ont un côté
de même longueur et des angles adjacents
à ce côté deux à deux de même mesure,
alors ces triangles sont égaux.
ABC et
A'B' = AB et ̂
A'B'C' = ̂
̂
BAC
B'A'C' = ̂
DONC, d'après le 1er cas d'égalité des triangles, les triangles A'B'C' et ABC sont
égaux.
Deuxième cas : Si deux triangles ont un
angle de même mesure compris entre des
côtés deux à deux de même longueur,
alors ces triangles sont égaux.
̂
BCA et HF = BC et FG = AC
HFG = ̂
DONC, d'après le 2ème cas d'égalité des triangles, les triangles FHG et ABC sont
égaux.
Troisième cas : Si deux triangles ont
leurs côtés deux à deux de même
longueur, alors ces triangles sont égaux.
•
A'B' = AB
•
B'C' = BC
•
A'C' = AC
DONC, d'après le 3ème cas d'égalité des triangles, les triangles FHG et ABC sont
égaux.
III- Triangles semblables par les angles
Définition : Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles
deux à deux de même mesure.
Propriété (admise) : Si deux triangles ont deux angles deux à deux de
même mesure, alors ces triangles sont semblables.
Vocabulaire : on peut prolonger les définitions d'angles, sommets et côtés
homologues pour les triangles semblables.
IV- Triangles semblables par les longueurs
Propriété 1 : Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de
leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Ces triangles ABC et DEF sont semblables.
Les longueurs de leurs côtés homologues sont deux
à deux proportionnelles :
AB
AC
BC
=
=
ED
DF
EF
Propriété 2 : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux
proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
Exemples :
7,08
= 1,2
5,9
4,14
= 1,2
3,45
6,24
= 1,2
5,2
Donc les triangles ABC et DEF sont semblables.
ABC = ̂
CAB = ̂
DEF et ̂
Donc ̂
FDE et
̂
BCA = ̂
AFD
DEF est un agrandissement de rapport 1,2 du triangle ABC.
V- APPLICATION
BAC = 110°
ABC est un triangle tel que AB = 4 cm et AC = 5 cm et ̂
D est le point de [BC] tel que CD = 3 cm.
BAC .
CDE = ̂
E est le point de [AC] tel que ̂
1) Démontrer que les triangles ABC et CDE sont semblables.
2) Indiquer les sommets et les côtés homologues.
3) Calculer la longueur ED.
Réponse :
CDE = ̂
BAC = 110° et ̂
ECD = ̂
ABC (même angle).
1) On sait que ̂
Or, Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces
triangles sont semblables.
Donc ABC et CDE sont semblables.
2)
Sommets homologues
Côtés homologues
A et D
[CB] et [CE]
C et C
[AB] et [DE]
B et E
[AC] et [DC]
3) Calcul de DE
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues
sont proportionnelles, donc :
CB
AB
AC
=
=
CE
DE
DC
DE =
4×3
5
donc
4
5
=
DE
3
donc DE = 2,4 cm
donc 5 × DE = 4 × 3