5. Comparaisons Statistiques Test d'hypothèse (Neyman et Pearson) état réalisé ℋ0 est réalisée ℋ1 est réalisée ℋ0 est vraie jugement correct (1-α) jugement faux (β, erreur de 2e espèce ) jugement porté ℋ1 est vraie jugement faux (α, erreur de 1ère espèce ) jugement correct (1-β) La région d'acceptation de l'hypothèse ℋ0 est l'intervalle tel que pour α donné, β soit minimal. 1 - β est appelé la puissance du test. Dans le présent document on présente les tests de conformité à un standard (sur une moyenne ou une variance) et les tests de comparaisons (de moyennes ou variances). Les valeurs testées sont calculées à partir d’un échantillon. Comparaison de la moyenne d'une population normale (de variance connue) à une valeur donnée M - μ0 ℋ0 : μ = μ0 ⟹ m-μ0 On calcule u = . La région d’acceptation est l’intervalle [-uα/2 , uα/2 ] formé des quantiles n σ ~ -(0, 1) . n σ α 2 et 1- 2 de la loi normale α centrée réduite pour le risque α choisi. Si u ∉ [-uα/2 , uα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la rejeter. Comparaison de la variance d'une population normale à une valeur donnée n S2 σ0 2 ℋ0 : σ = σ0 2 ⟹ s2 n σ0 2 On calcule ~ χ2 (n - 1). ∑∞ i=1 (Xi -M) σ0 2 = . La région d’acceptation est l’intervalle χ21 , χ22 formé des quantiles degrés de liberté pour le risque α choisi. Si rejeter. n s2 σ0 2 α 2 et 1- 2 de la loi du χ2 à (n - 1) α ∉ χ21 , χ22 , on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la Comparaison de la moyenne d'une population normale (de variance inconnue) à une valeur donnée M - μ0 ℋ0 : μ = μ0 ⟹ On calcule t = S m-μ0 s ~ 7(n - 1) . n-1 n-1 . La région d’acceptation est l’intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles α 2 et 1- 2 de la loi de Student α de degré (n - 1) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la rejeter. Test des appariements (comparaison des moyennes de deux populations appariées) D Soit D = Y - X, H0 : 8(D) = 0 ⟹ On calcule t = d sD sD n-1 ~ 7(n - 1). . La région d’acceptation est l'intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles n-1 α 2 et 1- 2 de la loi de α Student de degré (n - 1) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas la rejeter. Comparaison sur échantillons des variances de 2 populations normales ℋ0 : σ1 2 = σ2 2 = σ2 ⟹ On calcule f = n1 S1 2 (n1 - 1) n2 S2 2 (n2 - 1) n1 s1 2 (n1 - 1) n2 s2 2 (n2 - 1) ~ ℱ(n1 - 1, n2 - 1). . La région d’acceptation est l’intervalle [f1 , f2 ] formé des quantiles de la loi de Snedecor à n1 - 1 et n2 - 1 degrés de liberté pour le risque α choisi. Si f ∉ [-f1 , f2 ] on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse d'égalité des variances. Dans ce dernier cas, on retient une variance commune égale à n S 2 +n S 2 2 σ* = 1 n 1+ n -2 2 2 . 1 2 Comparaison sur échantillons des moyennes de 2 populations normales (le test d'égalité des variances étant déjà réalisé) M1 - M2 ℋ0 : μ1 = μ2 = μ ⟹ 2 n1 S1 + n2 S2 2 n1 + n2 - 2 m1 - m2 On calcule t = σ* 1 n1 + ~ 7(n1 + n2 - 2). 1 n1 + 1 n2 . La région d’acceptation est l’intervalle [-tα/2 , tα/2 ] formé des quantiles 1 α 2 et 1- 2 de la loi de α n2 Student de degré (n1 + n2 - 2) pour le risque α choisi. Si t ∉ [-tα/2 , tα/2 ], on peut rejeter l'hypothèse au risque α. Sinon, on ne peut pas. www.thierry-verdel.com