CORRECTION DM8 EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique f est la fonction définie sur R par : f(x) = sin x (1 + cosx) 1) a) i) Pour tout x ∈ R, (x + 2π) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(x + 2π) = sin(x + 2π)(1 +cos(x + 2π) = sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques. = f(x) Donc f est périodique de période 2π π. b) i) Pour tout x ∈ R, (-x) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x) = - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. = - f(x) Donc f est impaire. c) f est périodique de période 2π donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2π comme [0 ; 2 π] ou [- π ; π ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet pour centre de symétrie, l’origine O du repère. Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; π]. 2) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R . Ainsi f est dérivable sur I = [0 ; π] Pour tout x de I, f ’(x) = cosx(1 + cosx) + sinx(- sinx) = cosx + cos²x – sin²x = cosx + cos² x – (1 – cos²x) = 2cos²x + cosx - 1 1 D’autre part, 2( cosx – )(cosx + 1) = (2 cosx – 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2cosx – cos x – 1= 2cos²x + cos x – 1 2 1 Ainsi pour tout x de I, f ’(x) = 2( cosx – )(cosx + 1) 2 b) A l’aide du cercle trigonométrique , 1 1 1 π Sur I, signe de cos x – : cos x – = 0 ⇔ cos x = donc pour x = 2 2 2 3 1 1 π π cos x – > 0 pour x ∈ [0 ; [ et cos x – < 0 pour x ∈ ] ; π] 2 3 2 3 signe de cos x + 1 : cos x + 1 = 0 lorsque cos x = - 1 donc pour x = π cos x + 1 > 0 quand cos x > -1 donc pour x ∈ [0 ; π [ et cos x + 1 < 0 n’a pas de solution sur I D’où le tableau de signe de f ’(x) : x 1 2 cos x + 1 f ’(x) cos x – On a donc sur I, π 3 0 + + + π 0 - 0 + - π ou x = π 3 π π f ’(x) > 0 ⇔ x ∈ [0 ; [ donc f est strictement croissante sur [0 ; ] 3 3 π π f ’(x) < 0 ⇔ x ∈] ; π [ donc f est strictement décroissante sur [ ; π ] 3 3 f ’(x) = 0 ⇔ x = 0 0 D'où le tableau de variations de f sur I : x π/3 3 3 4 0 f π 0 0 f(0) = sin(0)(1 + cos (0)) = 0 3 1 3 3 π π π f( ) = sin ( )(1 + cos ) = (1+ )= 3 2 4 3 3 2 f( π) = sin ( π) ( 1 + cos (π))= 0 3) Tableau de valeurs : 3π 5π π π π 2π π π 4 3 2 3 6 4 6 f(x) 0 0,93 1,21 1,3 1 0,43 0,21 0,07 0 x 0 Représentation graphique de f sur [-2 π ; 2 π] y 1 Cf −2π −10π/3 −π −π/3 0 π/6 π/3 π 10π/3 2π x EXERCICE 2: Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes 1) Comme OABC est un carré direct, → → π OC = OA et ( OA , OC ) = [ 2 π] 2 π Or, A a pour coordonnées polaires 2; donc, 3 OC = 2 et → → → → y B 2 A 1 C → → ( i , OC ) = ( i , OA ) + ( OA , OC ) [2 π ] 5π π π = + [2 π] = [ 2 π] d’où, 3 2 6 5π C a pour coordonnées polaires C( 2 , ). 6 -2 -1 0 1 2 3x -1 A partir des coordonnées polaires de C on a ses coordonnées cartésiennes : 5π 5π 1 3 xC = 2 cos( ) = 2 (- )= - 3 et yC = 2 sin ( ) = 2× = 1 , 6 2 6 2 Les coordonnées cartésiennes de C sont : C( - 3 ; 1) 2) De même à partir des coordonnées polaires de A, on obtient ses coordonnées cartésiennes : 1 3 π π xA = 2 cos( ) = 2× = 1 et yA = 2 sin ( ) = 2×( ) = 3 , soit A( 1 ; 3). 2 2 3 3 → → Comme le quadrilatère OABC est un carré, on a l’égalité vectorielle OA = CB . On en déduit que xB + 3 = 1 et yB - 1 = 3 d’où xB = 1 - 3 et yB = 3 + 1 Les coordonnées cartésiennes du point B sont : B(1 - 3, 3 + 1). 3) OB = (1 - 3)² + ( 3 + 1)²= 8 = 2 2 → → Comme, OABC est un carré de sens direct ( OB , OA ) = → → → → → → Ainsi, ( i , OB ) = ( i , OA ) + ( OA , OB ) [ 2 π] = π [2 π] 4 7π π π + [2 π] = [2 π] 3 4 12 7π ) 12 On utilise la relation qui existe entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes du point B pour 7π 7π déterminer cos et sin . 12 12 7π 7π On a 1 - 3 = 2 2cos et 3 + 1 = 2 2 sin 12 12 7 π 1- 3 7π 3+1 D’où, cos = et sin = soit , 12 2 2 12 2 2 2- 6 6+ 2 7π ( 1 – 3) 2 7 π ( 3 + 1) 2 cos = = et sin = = . 12 4 12 4 2 2 2 2 2 2 7π π 7π 7π π π π Comme = + , cos = sin et sin = - cos d’ où : 12 2 12 12 12 12 12 Les coordonnées polaires de B sont ( 2 2, cos π = 12 6+ 4 2 et sin π 12 = 6- 2 4 EXERCICE 3 : Coordonnées polaires et construction de points 1) A ( 3–1 3–1 ;) donc rA = OA= 2 2 8–4 3 = 4 4(2 - 3) = 4 ( 3 – 2 3 + 1 3 - 2 3 +1 + = 4 4 3–1 3–1 )² +()² = 2 2 2 - 3. 6- 2 sont positifs, comparons leur carré. 2 6 – 2 12 + 2 8 – 4 3 6- 2 et ( )²= = =2- 3 ( 2 - 3 )² = 2 - 3 2 4 4 6- 2 . Les deux nombres positifs ont même carré, ils sont donc égaux. D’où, rA = 2 Les deux nombres 2 - 3 et 3–1 2 ( 3 -1)( 6 + 2) 3–1 18 + 6 - 6 - 2 3 2 - 2 2 cos ( θ A) = = = = = = . 6 2 4 2 6- 2 6 - 2 ( 6 - 2)( 6 + 2) 2 3–1 2 2 π sin ( θ A) = =d’après les calculs précédents. Ainsi, θ A = - [2 π] 4 2 6- 2 2 6- 2 π Les coordonnées polaires de A sont bien ( ; - ). 2 4 Si OAB est un triangle direct, isocèle et rectangle en O, alors B est l’image de A par la rotation de centre O et π d’angle . 2 6- 2 π Ainsi puisque A a pour coordonnées polaires ( ; - ) , B a pour coordonnées polaires 2 4 6- 2 π π 6- 2 π ( ; - + ) soit B( ; ) 2 4 2 2 4 2) DA = (xA – xD)² + ( yA- yD)² = = ( 3–1 3–1 )² + (-1)² = 2 2 3–2 3+1 - 3 +1 – 2 +( )² 4 2 4 – 2 3 3 + 2 3 +1 + = 2. 4 4 Les coordonnées cartésiennes de C sont xC = 6+ 2 π cos = 2 4 6+ 2 2 12 + 2 2 3 + 2 3+1 × = = = 2 2 4 4 2 6+ 2 6+ 2 2 3+1 π sin = × = d’après ce qui précède 2 4 2 2 2 3+1 3+1 Les coordonnées cartésiennes de C sont ( , ). 2 2 et yC = DC = ( 3+1 3+1 )² + ( - 1)² = 2 2 3+2 3+1 3+1–2 +( )² = 4 2 4+2 3 3–2 3+1 + 4 4 8 = 2 4 On a DA = DC = 2, les points A et C sont situés sur le cercle de centre D et de rayon = 2. 3) y 3 2 C C 1 D B -3 -2 -1 1I 0 2 3 4 x A -1 -2 -3 -4 → → Dans le repère orthonormal direct (O, i , j ), placer D(0 ; 1) puis construire le cercle C de centre D passant par I (1 ; 0). Ce cercle a pour rayon DI = 2 . → → On construit ensuite la demi droite [OE) avec E(1 ; 0) , c’est la première bissectrice et ( i , OE ) = π [2 π] 4 Le point C est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C. → → π Construire la demi droite [OF) avec F(1 ; -1), on a alors ( i , OF ) = - [2 π] 4 Le point A est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C. B se trouve sur la demi droite [OC) et vérifie OB = OA, pour le placer il faut construire le cercle de centre O passant par A. B est alors le point d’intersection de ce cercle et de [OC).