Contenu du Cours 29 Argument Forme polaire ou trigonométrique Racine n e d’un complexe Argument Argument Argument Rappel Si z est un nombre complexe, il s’écrit a + ib pour certains réels a et b . Si ρ et θ sont les coordonnées polaires du point (a, b ) du plan, on a vu ρ = |z|. Définition L’argument d’un nombre complexe z, noté arg z, est l’angle polaire de z vu comme un point du plan de Gauß. Remarque Nous savons que la mesure de cet angle n’est défini qu’à un multiple entier de 2π près ! Généralement on prend arg z entre 0 et 2π (on parle alors de détermination principale) ou alors entre −π et π. L’argument du nombre complexe nul n’est pas défini. Argument Im z = a + bi = (a, b ) b |z| arg z 0 a Re Argument Exemple Voici la détermination principale des arguments de quelques complexes : π 2 I arg i = I arg r = 0 si r est un réel positif ; I arg r = π si r est un réel strictement négatif. I arg(1 + i ) = ; π 4 ; Exemple Le nombre complexe z = ρ(cos θ + i sin θ) a pour argument θ (et pour module ρ). Résultat Pour des complexes z et z 0 (à un multiple entier de 2π près) : arg(zz 0 ) = arg z + arg z 0 (cas particulier : arg(−z) = π + arg z) Argument De façon générale, l’argument d’un complexe z = a + ib se détermine via les formules a b = cos(arg(z)) = sin(arg(z)) |z| |z| ou encore par la formule b = tan(arg(z)) en vérifiant le quadrant. a Exemple L’argument θ de z = −1 − i vérifie −1 =1 −1 Or z est dans le troisième quadrant (en bas à gauche), donc π 5π θ = +π = 4 4 tan θ = Forme polaire ou trigonométrique Forme polaire ou trigonométrique Fonctions trigonométriques Exponentielle complexe Racine n e d’un complexe Forme polaire ou trigonométrique Remarque Dans le plan de Gauß, un complexe z représente un point. Le passage des coordonnées polaires (ρ, θ) aux coordonnées cartésiennes (a, b ) donne deux formules équivalentes a + bi = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) Définition La première formule a + ib est généralement appelée forme normale ou forme cartésienne, et la seconde est la forme polaire ou forme trigonométrique, ou encore (voir ci-dessous) forme exponentielle. Forme polaire ou trigonométrique La notation z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) est un peu longue, mais il existe des raccourcis. Le plus courant est la forme exponentielle : Définition On définit exp (i θ) B cos(θ) + i sin(θ). et on peut alors noter z sous forme exponentielle : z = ρ exp (i θ) Remarque Une autre notation, mais que nous n’utiliserons pas dans ce cours, est : cis(θ) B cos(θ) + i sin(θ). Remarque Avec cette définition, la notation z = ρ exp (i θ) garde un sens si ρ est négatif, mais alors |z| = −ρ et arg z = θ + π Forme polaire ou trigonométrique Exemple Voyons quelques formes polaires : 1 = exp (i 0) π i = exp i 2 − 1 = exp (i π) √ π 1 + 3i = 2 exp i 3 Forme polaire ou trigonométrique Résultat Si z = ρ exp (i θ) et z 0 = ρ0 exp (i θ 0 ) sont deux nombres complexes, si n un entier, on a : 1. z = ρ exp (−i θ) ; 2. 1 ρ exp (i θ ) = 1ρ exp (−i θ) ; 3. (ρ exp (i θ))(ρ0 exp (i θ 0 )) = ρρ0 exp (i (θ + θ 0 )) ; 4. (ρ exp (i θ))n = ρn exp (inθ). La dernière formule prend parfois le nom de « De Moivre ». On comprend l’intérêt de la notation exponentielle, puisque les opérations décrites deviennent de simples applications des règles sur les exposants. Forme polaire ou trigonométrique Démonstration. Vérifions la formule du produit (troisième propriété) : (ρ exp (i θ))(ρ0 exp (i θ 0 )) = ρ(cos(θ) + i sin(θ))ρ0 (cos(θ 0 ) + i sin(θ 0 )) = ρρ0 (cos(θ) cos(θ 0 ) − sin(θ) sin(θ 0 )) + i (cos(θ) sin(θ 0 ) + sin(θ) cos(θ 0 )) = ρρ0 (cos(θ + θ 0 ) + i sin(θ + θ 0 )) = ρρ0 exp (i (θ + θ 0 )). Dès lors la formule est démontrée. Forme polaire ou trigonométrique Preuve, suite. Montrons également la formule de De Moivre, par récurrence : (ρ exp (i θ))n = ρn exp (inθ) La formule est clairement vraie pour n = 1, puisque les deux membres sont égaux pour cette valeur de n. Supposons maintenant la formule vraie pour n = k , où k est un entier fixé. C’est l’hypothèse de récurrence. Vérifions la formule pour n = k +1 : (ρ exp (i θ))k +1 = (ρ exp (i θ))(ρ exp (i θ))k = (ρ exp (i θ)) ρk exp (ik θ) = ρρk exp (i (θ + k θ)) = ρk +1 exp (i (k + 1)θ) ce que nous voulions démontrer. Ceci prouve la formule de De Moivre pour n entier naturel. On pourrait prouver la formule pour les entiers négatifs en utilisant la conjugaison. Forme polaire ou trigonométrique Forme polaire ou trigonométrique Fonctions trigonométriques Exponentielle complexe Fonctions trigonométriques Forme polaire ou trigonométrique Fonctions trigonométriques Par définition des parties réelles (notée <z) et imaginaires (notée =z), nous avons : z = <z + i =z et par la définition du conjugué, nous avons : z = <z − i =z Nous en déduisons, par addition et soustraction : z + z = 2<z z − z = 2i =z Or exp (ix) = cos x + i sin x dans notre notation. Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus peuvent donc être ré-écrites de la manière suivante : exp (ix) + exp (−ix) exp (ix) − exp (−ix) sin(x) = cos(x) = 2 2i Forme polaire ou trigonométrique Forme polaire ou trigonométrique Fonctions trigonométriques Exponentielle complexe Exponentielle complexe Forme polaire ou trigonométrique Exponentielle complexe Nous avons introduit la notation exp (ix) = cos x + i sin x pour tout x ∈ R. De manière plus générale, si z = a + ib est un nombre complexe, nous pouvons définir : exp z = exp (a + ib ) B exp (a) exp (ib ) Cette nouvelle application exp · : C → C : z 7→ exp z vérifie l’identité exp z exp z 0 = exp (z + z 0 ) pour tous complexes z, z 0 . Démonstration. exp (a + ib ) exp (a 0 + ib 0 ) = exp a exp ib exp a 0 exp ib 0 = exp a exp a 0 exp ib exp ib 0 = exp (a + a 0 ) exp (ib + ib 0 ) = exp (a + a 0 ) exp (i (b + b 0 )) = exp ((a + a 0 ) + i (b + b 0 )) Racine n e d’un complexe Forme polaire ou trigonométrique Racine n e d’un complexe Racine n e d’un complexe Rappel On ne parle jamais de la racine carrée d’un nombre complexe, mais des racines. Définition Soit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine n e de z tout nombre complexe w tel que w n = z. Rappel Écrire w = a + ib et résoudre en a et b est fort long. Théorème Si z est donné sous forme polaire ρ exp (i θ) (ρ ≥ 0), alors les racines n e de z sont les nombres w0 , . . . , wn−1 définis par ! (θ + 2k π) √ wk = n ρ exp i où k = 0, . . . , n − 1 n En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines n e de z. Racine n e d’un complexe Rappel wk = √ n (θ + 2k π) ρ exp i n ! où k = 0, . . . , n − 1 Démonstration. Il y a deux choses à démontrer : I wk est bien une racine n e de z, et I il n’y en a pas d’autres. Pour le premier point : wkn = ρ exp (i (θ + 2k π)) = ρ(cos(θ + 2k π) + i sin(θ + 2k π)) = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) = ρ exp (i θ) = z Racine n e d’un complexe Suite de la preuve. Pour le second point, considérons w = r exp (i ϕ) une racine n e de z. Alors w n = z, et en particulier r n = |w n | = |z| = ρ. Ceci montre déjà √ que r = n ρ. Par ailleurs, puisque w n = z et ρ = r n , il faut également exp (inϕ) = exp (i θ). C’est-à-dire : cos(nϕ) = cos(θ) sin(nϕ) = sin(θ) Or deux angles ne peuvent avoir même sinus et même cosinus que si ils sont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ + 2k π pour un certain k ∈ Z. d’où ϕ = θ+n2k π comme annoncé. Racine n e d’un complexe Suite de la preuve. Reste à vérifier qu’il suffit de prendre k = 0, . . . , n − 1, et que les wk correspondant sont tous différents. Pour cela, remarquons simplement l’égalité ! : θ + 2(k + n)π √ wk +n = n ρ exp i n θ + 2k π √ = n ρ exp i + 2π n θ + 2k π √ = n ρ exp i = wk n Donc que pour toute valeur de k , wk se trouve parmi w0 , w1 , . . . , wn−1 . Source pour les images animées présentées en fin de cours : www.iflscience.com/brain/math-gifs-will-help-you-understand-these-concepts-better-your-teacher-ever-did