Mathématiques 1A 2015-2016 AIDE

Mathématiques 1A
2015-2016
MATHÉMATIQUES 1A - 2015-2016
AIDE-MÉMO : LOGIQUE & SYMBOLES
1. Phrases logiques
En mathématiques, une réponse se formule sous forme d’un raisonnement logique, c’està-dire d’un ensemble de phrases logiques sur des objets mathématiques. Donnons quelques
phrases logiques où les objets sont soulignés :
(A1) « Le triangle est un triangle rectangle » ;
(A2) « La somme de 2 et 2 vaut 4 » ;
(A3) « Tout réel au carré est un réel positif » ;
(A4) « L’équation x + 1 = 0 possède une solution réelle ».
Pour gagner en précision et en concision, on utilise souvent des notations pour les objets (A,
ABC, x, R), les égalités (=), les inégalités (≥, ≤), les appartenances (∈), ou les inclusions
(⊂, ⊆). Ainsi, les précédentes phrases peuvent s’écrivent sous la forme :
(A1) « ABC est rectangle en B » ;
(A3) « Pour tout x ∈ R, on a x2 ≥ 0 » ;
(A2) « 2 + 2 = 4 » ;
(A4) « Il existe x ∈ R tel que x + 1 = 0 ».
2. Opérateurs logiques
Sur des phrases logiques, on peut utiliser les opérateurs logiques "et", "ou", "non", "implique", et "est équivalent à". On crée ainsi de nouvelles phrases logiques, plus riches, comme :
(A5) « x + y = 2 et x − y = 1 » ;
(A6) « x ≥ 1 ou x ≤ 0 » ;
(A7) « non x = 1 », « x 6= 1 » ;
(A8) « x ≥ 1 implique que x ≥ 0 », « si x ≥ 1 alors x ≥ 0 » ;
(A9) « x + 1 = 0 est équivalent à x = −1 », « x + 1 = 0 si et seulement si x = −1 ».
Ces opérateurs ont également leurs notations. On utilise essentiellement ⇒ pour "implique",
et ⇔ pour "est équivalent à". Ainsi, les deux dernières phrases s’écrivent aussi :
(A8) « x ≥ 1 ⇒ x ≥ 0 » ;
(A9) « x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ».
On prendra garde à ne pas confondre ces deux derniers opérateurs. Le "est équivalent à" est
plus précis que le "implique" : il donne deux "implique" ! Par exemple, (A9) se réécrit :
(A9) « x + 1 = 0 ⇒ x = −1 et x = −1 ⇒ x + 1 = 0 ».
Pour mettre en place un raisonnement logique, les opérateurs "implique" et "est équivalent
à" sont indispensables. Ils permettent d’obtenir des phrases logiques plus explicites. Donnons
quelques raisonnements logiques :
(A1) ⇔ AB 2 + BC 2 = AC 2 ;

x + y
=2
(A5) ⇔
x − y = 1

x + y
=2
⇔
2x = 3
⇔

y
=
x =
1
2
3
2
;
(A6) ⇔ x ∈] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[ .
Bien sûr, il faut pouvoir justifier chaque opérateur utilisé. Par exemple, le "est équivalent
à" de (A1) repose sur le théorème de Pythagore, ceux de (A5) reposent sur des opérations
élémentaires, et ceux de (A6) sur des retraductions.
Elsa Ibanez
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3. Quantificateurs
Certaines phrases logiques nécessitent un paramètre. Parmi celles-ci, il y a les phrases
logiques valables pour n’importe quel paramètre, et celles valables pour certain(s) paramètre(s) (que l’on ne connaît pas la plupart du temps). Les phrases (A3) et (A4) illustrent
respectivement ces cas :
(A3) « Pour tout x ∈ R, on a x2 ≥ 0 » ; (A4) « Il existe x ∈ R tel que x + 1 = 0 ».
On utilise la notation ∀ pour "pour tout", et ∃ pour "il existe". Ainsi, les précédentes phrases
s’écrivent aussi :
(A4) « ∃x ∈ R tel que x + 1 = 0 ».
(A3) « ∀x ∈ R, x2 ≥ 0 » ;
Le "tel que" s’abrège de plusieurs façons différentes : on peut employer les symboles , : ; /
| voire rien du tout ! Enfin, suivant les cas, on peut préciser le "il existe" par "il existe un
unique" dont le symbole est ∃!.
4. Tableau de synthèse
Symboles
Significations
Exemples
N
ensemble des entiers naturels
0, 1, 2, 3, 5, 10, 1500
Z
ensemble des entiers relatifs
−120, −5, −2, −1, 0, 1, 2, 5, 120
Q
ensemble des rationnels
R
ensemble des réels
C
ensemble des complexes
− 43 , −1, − 32 , − 31 , 0, 13 , 23 , 1, 43
√
√
−π, −e, − 2, − 31 , 0, 13 , 2, e, π
√
√
−1 − i, −e, − 2i, , 0, 2i, e, 1 + i
⊂, ⊆
inclus dans
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
6⊂, 6⊆
n’est pas inclus dans
Z 6⊆ N, R 6⊆ Q, C 6⊆ R
∈
appartient à, est dans
6∈
n’appartient pas à, n’est pas dans
=
est égale à, vaut
6=
n’est pas égale à, ne vaut pas
≤
est inférieur à, est plus petit que
<
est strictement inférieur à
−5 6∈ N, 13 6∈ Z, π 6∈ Q
−→ −→ −−→
2 + 2 = 4, AB = AC + CB
−→ −→
2 + 3 6= 4, AB 6= AA
√
0 ≤ 0, 13 ≤ 2, e ≤ π
√
0 < 1, 13 < 2, e < π
∀
pour tout, pour n’importe quel
∀x ∈ R, x2 ≥ 0
∃
il existe, pour au moins un certain
∃x ∈ R, x ≥ 0
∃!
il existe un unique, pour un unique
∃!x ∈ R, x ≥ 0 et x ≤ 0
⇒
implique, alors, suffit à
x≥1 ⇒ x≥0
⇔
0 ∈ N, −5 ∈ Z,
est équivalent à, si et seulement si,
1
3
∈ Q, π ∈ R
x + 1 = 0 ⇔ x = −1
faut et suffit à
Elsa Ibanez
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