FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE Introduction Pré-requis : Ensemble de nombres Plan du cours 1. Divisibilité dans Z 2. Congruence 3. Plus grand commun diviseur 1. Divisibilité dans Z Dans tout ce qui suit, on se place dans l’ensemble des entiers relatifs Z. A. Diviseur Définitions : Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, s’il existe un entier relatif k tel que On dit que b est un multiple de a, s’il existe un entier relatif k tel que . On note . . Ex : 3 est un diviseur de 18. 18 est un multiple de 3. 5 est un diviseur de -25. -25 est un multiple de 5. Propriétés : Soient a, b et c trois entiers relatifs. - Si a divise b alors a divise kb pour tout . - Si a divise b et b divise c, alors a divise c. - Si a divise b et a divise c, alors a divise pour tout et tout . Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 1 FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE B. Division euclidienne Propriété : Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. Il existe une unique manière d’écrire b sous la forme telle que , et . Ex : Lorsque l’on se place dans l’ensemble des entiers naturels N, on retrouve la division euclidienne vu auparavant, q étant le quotient, et r le reste. Remarque : Si a divise b, alors avec . C. Nombres premiers Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Ex : 1, 2, 3, 17 sont des nombres premiers. Il y a une infinité de nombres premiers. Propriété : Soit n un entier naturel. Si n n’est pas un nombre premier, alors il admet pour diviseur au moins un nombre premier p tel que . Décomposition en produit de facteurs premiers : Soit n un entier naturel. Il existe une unique manière d’écrire n sous la forme d’une décomposition de facteurs premiers : Si plusieurs de ces facteurs sont identiques, on peut écrire la décomposition avec des puissances de facteurs premiers. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 2 FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE Ex : Corollaire : Tout produit partiel de ces facteurs divise n. Ex : divise 120. 2. Congruence A. Nombres congrus Définition : Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul. On dit que b est congru à a modulo n, si la différence est un multiple de n (si n divise Il existe donc un entier relatif k tel que : On note : Ex : ). . ou (on a en effet Remarque : la notion de congruence se retrouve également dans l’ensemble des réels. Ainsi pour les angles : Division euclidienne : Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. avec , et . On peut alors écrire : . Corollaire : Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. Il existe un entier naturel tel que . Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 3 FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE Nombres pairs et impairs : Soit k un entier relatif. On a : et B. Propriétés Transitivité : Soient a, b et c trois entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul. Si a est congru à b modulo n et b est congru à c modulo n, alors a est congru à c modulo n. Ex : et donc Opérations : Soient a, b, a’, b’ quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul tels que : On a alors : et . pour tout pour tout 3. Plus grand commun diviseur A. Diviseurs communs Définition : Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 4 FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE Soient a et b deux entiers relatifs. L’ensemble des diviseurs communs est l’ensemble des nombres qui divisent à la fois a et b. Ex : -28 a pour diviseurs -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28. 42 a pour diviseurs -42, -21, -14, -7, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42. L’ensemble des diviseurs communs à -28 et 42 est : PGCD : Le plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs a et b est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs. On le note : PGCD (a,b). Le PGCD de deux nombres est un entier naturel (positif). Ex : PGCD(- 28, 42) = 14. Propriétés : Si a divise b, alors PGCD (a,b) = . Si b divise a, alors PGCD (a,b) = . PGCD (a,0) = Division euclidienne : Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul. avec , et . On a : PGCD PGCD . B. Nombres premiers entre eux Définition : Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont premiers entre eux si PGCD (a,b) = 1. Deux nombres premiers entre eux n’ont pas de diviseur commun. Ex : 28 et 25 sont premiers entre eux. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 5 FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de Sla–fiche] Série Mathématiques ARITHMÉTIQUE Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, avec PGCD (a, b) = k. et ( a’ et b’ sont des entiers relatifs). a’ et b’ sont premiers entre eux. PGCD (a’, b’) = 1. Théorème de Gauss : Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Remarque : divise alors . Ex : 14 divise 630. Or 14 et 9 sont premiers entre eux, donc 14 divise 70. divise également 630. Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que : Ex : 12 et 25. ( et ) donc 12 et 25 sont premiers entre eux. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés 6