Feuille de TD 9 : Anneaux, corps

Feuille de TD 9 : Anneaux, corps
9.1
Anneaux, Corps
√
√
√
Exercice 9.1 K On pose Q[ 2] = {x ∈ R|∃a, b ∈ Q, x = a + b 2}. Montrer que Q[ 2] muni de
l’addition et de la multiplication des nombres réels est un anneau commutatif. Déterminer ses éléments
inversibles. Conclure.
Exercice 9.2 K Soient x et y deux éléments d’un anneau A, différents de 0 et de 1.
1. Décrire les éléments du plus petit sous-anneau A0 de A contenant x et y. (On dit que A0 est le
sous-anneau de A engendré par x et y.)
2. On suppose de plus qu’il existe un n ∈ Z tel que xy = n.yx. Reprendre la question précédente.
Exercice 9.3 K Montrer qu’en général (a + b)Z 6= aZ + bZ.
Exercice 9.4 K Quels sont les éléments inversibles de : Z/47Z, Z/50Z, Z/1024Z ?
→
−
−
→
Exercice 9.5 K Soit E l’ensemble des vecteurs de l’espace. Est-ce que ( E , +, ∧) est un anneau ?
Exercice 9.6 K Soit Z[i] = {z ∈ C|∃a, b ∈ Z, z = a + ib}. Montrer que Z[i] est un anneau. Quelles sont
ses propriétés remarquables ? Quels sont ses éléments inversibles ?
Exercice 9.7 KK Soit A un anneau commutatif et x ∈ A. On dit que x est nilpotent s’il existe k ∈ N tel
que xk = 0. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible. Montrer que si x et y sont nilpotents
alors xy, x + y et x − y sont nilpotents.
Exercice 9.8 KK On dit qu’un anneau A est un anneau de Boole ssi pour tout x ∈ A, x2 = x (on dit
que x est idempotent). Dans la suite on considère un anneau de Boole A.
1. Montrer que pour tout x ∈ A, x + x = 0.
2. Montrer que A est commutatif.
3. Montrer que si on définit la relation R sur A par xRy ⇔ xy = x alors R est une relation d’ordre
sur A.
4. Montrer que pour tous x, y ∈ A, xy(x + y) = 0.
5. Montrer que si A est intègre, alors A = {0; 1}.
6. Montrer, en essayant de construire la table d’addition et de multiplication, qu’il n’y a pas d’anneau
de Boole à 3 ou 5 éléments, mais qu’il y en a un à 4 éléments.
7. Soit E un ensemble. Pour X, Y ⊂ E on pose :
X∆Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X)
On dit que X∆Y est la différence symétrique de X et Y .
Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau de Boole. Quelle est la relation R ?
9.2
Arithmétique
Exercice 9.9 Montrer que 270 + 370 est divisible par 13.
Exercice 9.10 Étudier le reste de la division euclidienne de 2123 + 3121 par 11.
Exercice 9.11
1. Montrer que 35 ≡ 1 [11]. En déduire que ∀k, r ∈ N, 35k+r ≡ 3r [11].
2. Soit n ∈ N. Quel est le reste de la division de 3n par 11 ?
3. Déterminer les n pour lesquels 3n + 7 est divisible par 11.
Exercice 9.12 K Déterminer le chiffre des unités des différentes puissances de 2 écrites dans le système
décimal. Même question avec les puissances de 7. En déduire le chiffre des unités du nombre 35489 ×253731 .
1
Exercice 9.13 (Théorème de Wilson)
Soit p ∈ N, p ≥ 2. Montrer que p est premier ssi (p − 1)! = −1 [p].
Exercice 9.14 Soient a, n ∈ N, n ≥ 2. Montrer que si an − 1 est premier alors a = 2 et n est premier.
(utiliser une identité remarquable)
Exercice 9.15 (Nombres de Fermat) Soit n ∈ N∗ . Montrer que si 2n + 1 est premier alors n est une
k
puissance de 2. (La réciproque est fausse. Le nombre Fk = 22 + 1 s’appelle le k-ième nombre de Fermat.)
9.3
Problèmes
Problème: KK (Un raffinement du théorème de Bezout)
Soient a, b ∈ N∗ . Pour tout x ∈ Z on notera x̄ la classe de x modulo b. On note fa l’application :
fa : Z/bZ −→ Z/bZ
x̄ 7−→ x̄ − ā
Les questions signalées par un ] ne sont pas utilisées dans le reste du problème.
Les questions signalées par une ∗ sont les plus difficiles.
La partie 2 peut être traitée en admettant les résultats de la partie 1, et la partie 3 ceux de la partie 2.
1. 1ere Partie.
(a) (]) L’application fa est-elle un endomorphisme du groupe (Z/bZ, +) ?
(b) Montrer que fa est une permutation de l’ensemble {0̄; 1̄; . . . ; b − 1}.
(c) (]) Dans cette question on prend a = 6 et b = 15. On écrira toutes les classes en choisissant des représentants réduits, c’est-à-dire compris entre 0 et 14. On considérera
f6 en tant qu’élément du groupe des permutations de {0̄; 1̄; . . . ; 14}.
i. Déterminer les orbites de f6 .
ii. Décomposer f6 en produit de cycles à supports disjoints. En déduire la signature et
l’ordre de f6 .
(d) (∗) Soient x̄, ȳ ∈ Z/bZ. Montrer que les orbites selon fa de x̄ et de ȳ sont en bijection.
(e) Soit l la longueur de l’orbite de 0̄ selon fa . Montrer que l × a = PPCM(a; b). (Indication :
réfléchir sur un exemple en choisissant des représentants non-réduits pour les classes.)
(f) Soit r le nombre d’orbites distinctes selon fa . Montrer que r = P GCD(a, b).
2. 2eme partie. Dans cette partie on suppose que a et b sont premiers entre eux.
(a) (]) Démontrer le théorème de Bezout à l’aide de la question 1f.
(b) Montrer que pour tout x ∈ N, il existe n ∈ N avec 0 ≤ n ≤ b − 1, tel que x − na = 0̄.
(c) (∗) Montrer que si l’entier x vérifie x > ab − a − b, alors il existe des entiers n et k tels que :
x = na + kb, avec 0 ≤ n ≤ b − 1, et k ≥ 0
3. 3e partie. Application. Un train éléctrique se déplace sur le parcours représenté ci-dessous. Un
aiguillage placé en O permet de passer de l’itinéraire A à l’itinéraire B et inversement. L’itinéraire
A a pour longueur 8 mètres et l’itinéraire B a pour longueur 11 mètres.
Montrer que pour tout entier x ≥ 70, on peut faire parcourir x mètres au train en le faisant partir
et arriver en O.
2
A
B
Ox
♣
Problème: KK Dans un anneau, on dit qu’un élément x est un carré ssi il existe y tel que x = y 2 .
Dans la suite on considère le corps Z/pZ avec p ≥ 3 un nombre premier.
1. Montrer que dans Z/pZ il y a exactement
×
p+1
2
2. Montrer que pour tout x̄ ∈ (Z/pZ) , on a x̄
carrés.
p−1
2
3. Montrer que si x̄ est un carré non-nul, alors x̄
= ±1̄.
p−1
2
= 1.
4. Montrer la réciproque.
5. Montrer que le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans Z/pZ ssi p n’est pas congru à 1 modulo 4.
6. Décomposer le polynôme X 2 + 1 en produit de facteurs irréductibles dans Z/5Z.
♣
Problème: KK (Sous-groupes additifs de R.)
Soit E un sous-ensemble de R. On dit que E est dense dans R ssi :
∀x, y ∈ R, x < y ⇒ ∃z ∈ E, x < z < y
Soit G un sous-groupe de (R, +) et G∗+ = G ∩ R∗+ .
1. Montrer que si G 6= {0}, alors G∗+ 6= ∅.
2. Soit m = inf(G∗+ ).
(a) Montrer que si m 6= 0 alors G = mZ.
(b) Montrer que si m = 0 alors G est dense dans R. Donner un exemple montrant que ce cas est
possible.
3. Soient a, b ∈ R. Montrer que aZ + bZ := {am + bn|m, n ∈ Z} est un sous-groupe de (R, +). À
quelle condition sur a et b ce sous-groupe est-il dense dans R ?
4. Soit H un sous-groupe de (Z, +). Montrer qu’il existe n ∈ N tel que H = nZ.
5. Soit K un sous-groupe de (S 1 , ×). Montrer que soit il existe n ∈ N∗ tel que K soit l’ensemble
des racines n-èmes de l’unité, soit K est dense dans S 1 (on définira cette notion de densité en
s’inspirant de l’énoncé).
6. Montrer que l’ensemble des valeurs de la suite (cos(n))n∈N est dense dans [−1; 1].
3
♣