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RÉSUMÉ n°14 : ARITHMÉTIQUE - DÉNOMBREMENT
MULTIPLES ET DIVISEURS
P1 a)Toute partie non vide H de admet un plus petit élément.
h H
Cela signifie qu’il existe un entier naturel h tel que
.
n H : h n
b)Toute partie non vide H ' et majorée de admet un plus grand élément.
h ' H '
Cela signifie qu’il existe un entier naturel h ' tel que
.
n H ' : n h '
D1 Soient a et b deux entiers naturels.
On dit que b divise a , ou que b est un diviseur de a , ou que a est un multiple de b , s’il existe k tel que a k .b .
On note alors b | a .
Cela revient à écrire, lorsque b 0 , que
a
est un entier naturel.
b
P2 a)L’ensemble des diviseurs de 0 est .
b)L’ensemble des multiples de 0 est {0} .
DIVISION EUCLIDIENNE
a b.q r
P3 Soit (a, b) * . Il existe un unique couple (q, r ) 2 tel que
.
0 r b
a
b
D2
q
r
s'appelle le dividende
s'appelle le diviseur
s'appelle le quotient
de la division euclidienne de a par b .
s'appelle le reste
P4 Le reste de la division euclidienne de a par b est nul si et seulement si a est un multiple de b .
PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS
D3 Soit (a, b) * * .
a)L’ensemble des diviseurs communs (dans * ) à a et b admet un plus grand élément, noté PGCD(a, b) ou a b .
C’est le plus grand commun diviseur à a et b . On pose par convention a * : PGCD(a, 0) PGCD(0, a) a
b)L’ensemble des multiples communs (dans * ) à a et b admet un plus petit élément, noté PPCM( a, b) ou a b .
C’est le plus petit commun multiple à a et b .
c)Deux entiers naturels non nuls a et b sont dits premiers entre eux si l’on a PGCD(a, b) 1 .
P5 On a (a, b) * * : PGCD(a, b) PGCD(b, a) et PPCM(a, b) PPCM(b, a) .
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ALGORITHME D’EUCLIDE
a et b deux entiers naturels non nuls
P6 Soient
. On a alors PGCD(a, b) PGCD(b, r ) .
q et r deux entiers naturels tels que a b.q r
D4 C’est le théorème d’Euclide.
Algorithme d’Euclide : méthode pratique
On considère (a, b) * * . On pose r0 a et r1 b .
rk 1 rk .qk rk 1
k *
Si
, on construit rk 1 comme le reste de la division euclidienne de rk 1 par rk . On a donc
.
rk 0
0 rk 1 rk
Cela permet d’écrire PGCD(rk 1 , rk ) PGCD(rk , rk 1 ) .
La suite (rk ) est une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Il existe donc un rang n * tel que rn 0 .
On a alors PGCD(rn 1 , rn ) PGCD(rn 1 , 0) rn 1 .
La suite PGCD(rk , rk 1 ) étant constante, on a PGCD(rn 1 , rn ) PGCD(r0 , r1 ) , c'est-à-dire PGCD(a, b) rn 1 .
Le PGCD de a et b est donc le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme d’Euclide.
P7 Soient a et b deux éléments de * . Il existe un couple (u , v) 2 tel que u.a v.b PGCD(a, b) .
D5 C’est le théorème de Bézout.
P8 Soient a et b deux éléments de * .
Un entier naturel non nul n divise à la fois a et b si et seulement si n divise PGCD(a, b) .
P9 Soient a et b deux éléments de * .
a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe un couple (u , v) 2 tel que u.a v.b 1 .
PGCD(a, b) 1
P10 Soient a , b et c trois éléments de * . Si
, alors a | c .
a | b.c
D6 C’est le théorème de Gauss.
NOMBRES PREMIERS
D7 Soit n un élément de \{0,1} . On dit que n est un nombre premier si les seuls diviseurs dans * de n sont 1 et n .
P11 Tout entier n 2 s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers.
P12 Il existe une infinité de nombres premiers.
P13 Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On note a p1 1 . p2 2 ... pn n et b p1 1 . p2 2 ... pn n les décompositions respectives de a et b en produit de nombres
premiers, avec k et k pour tout k , les pk étant des nombres premiers distincts deux à deux.
a) b divise a si et seulement si k k pour tout k {1, 2,.., n} .
min 1 , 1
b)On a PGCD(a, b) p1
min 2 , 2
. p2
min n , n
... pn
max 1 , 1
et PPCM(a, b) p1
c)On a PGCD(a, b) PPCM(a, b) a.b .
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max 2 , 2
. p2
max n , n
... pn
.
CRIBLE D’ERATOSTHÈNE
Dans le tableau ci-dessous, on a barré les multiples de 2 (hormis 2), les multiples de 3 (hormis 3), les multiples de 5 (hormis
5), etc …
Les nombres non barrés (cerclés dans le tableau ci-dessous), sont les nombres premiers.
Les nombres premiers
ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
D8 a)On dit qu’un ensemble A est fini s’il possède un nombre fini d’éléments.
b)On appelle alors cardinal de A le nombre d’éléments de cet ensemble, ce que l’on note card( A) .
P14 Si A est une partie d’un ensemble fini E , (c’est-à dire si A E ) alors on a l’équivalence card( A) card( E ) A E .
A est un ensemble fini
P15 Si
alors A B est un ensemble fini et on a : card( A B) card( A) card( B) card( A B) .
B est un ensemble fini
A est un ensemble fini
P16 Si
alors A B est un ensemble fini et on a : card( A B) card( A).card( B) .
B est un ensemble fini
P17 Si A est une partie d’un ensemble fini E , alors on a card E \ A card( E ) card( A) .
A et B sont deux ensembles finis de même cardinal fini
P18 Si
, alors on a les équivalences suivantes :
f : A B est une application
f : A B est bijective f : A B est injective f : A B est surjective.
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p et n deux entiers naturels non nuls
P19 Soient
.
A et B deux ensembles finis tels que card( A) p et card( B ) n
a)Il existe exactement n p applications f : A B .
b)Il existe exactement n p p uplets d’éléments de B .
D9 Ces p uplets sont appelés p listes de B .
p et n deux entiers tels que 1 p n
P20 Soient
.
A et B deux ensembles finis tels que card( A) p et card( B ) n
a)Il existe
n!
applications injectives f : A B .
(n p)!
b)Il existe
n!
p uplets d’éléments distincts deux à deux de B .
(n p)!
c)Il existe exactement n ! bijections de B sur B .
D10 Ces bijections sont appelées permutations de B .
n
P21 Si p et n sont des entiers naturels tels que 0 p n , alors un ensemble B de cardinal n admet exactement
p
parties possédant p éléments.
D11 Ces parties sont appelées p combinaisons de B .
n
P22 Un ensemble B de cardinal n possède exactement 2 parties (y compris l’ensemble vide et B lui-même).
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