Approximations uniformes MP

Approximations uniformes
MP
∗
22 janvier 2012
Table des matières
1 Préliminaires
1.1 Notion de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Approximation uniforme par des fonctions en escalier
6
3 Les théorèmes de Weierstrass
8
3.1 Approximation des fonctions continues par des polynômes algébriques. . . . 8
3.2 Les polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Annexe : noyaux et unités approchées
15
5 Corrigés
18
Figure 1 – la légende
∗
Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom ApproximUnif.pdf
1
On regroupe dans ce mini-chapitre (qui pourrait terminer le chapitre ”suites et séries de
fonctions”) les trois théorèmes d’approximation uniforme qui figurent (sans démonstration
exigible) à notre programme. Nous montrons quelques unes de leurs applications au calcul
intégral, à l’étude des séries de Fourier.
Ces théorèmes illustrent la notion de densité.
Ils sont l’occasion d’illustrer la notion de continuité uniforme qui intervient de façon cruciale dans toutes les démonstrations.
1
Préliminaires
1.1
Notion de densité
Définition 1 partie dense
Soit (E, || ||), un ev normé, et A une partie de E.
– Un point x ∈ E est adhérent à A ssi l’une des propriétés équivalentes suivantes est
vérifiée :
– toute boule de centre x et de rayon strictement positif rencontre A :
∀r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅;
– il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x;
– On appelle adhérence de A l’ensemble des points de E adhérents à A.
– On dit que A est dense dans E ssi son adhérence est égale à E.
Exercice 1
Démontrer que les propriétés
– toute boule de centre x et de rayon strictement positif rencontre A :
∀r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅;
– il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x;
sont équivalentes.
Exercice
2 exemples
1. Justifier que Q est dense dans R; en va-t-il de même des décimaux ?
2. Montrer que l’ouvert des matrices inversibles GLn (K) est dense dans Mn (K) pour
la norme de votre choix.
Indication : le déterminant det(M − λIn ) est un polynôme en λ;
3. Les matrices diagonalisables de M2 (C) forment une partie dense de M2 (C) muni
d’une norme quelconque (attention ce résultat est FAUX dans M2 (R).)
Exercice
3 résultats
1. Démontrer le théorème 1
2
2. On suppose que A est une partie dense de l’evn (E, N ), que f est une fonction continue sur A, valeurs dans (F, || ||). Donner des conditions pour que f soit prolongeable
en une fonction continue de E dans F. Donner aussi des contre-exemples.
Théorème 1
Soient f et g deux fonctions continues sur un evn (E, N ) à valeurs dans (F, || ||). S’il
existe une partie A, dense dans E sur laquelle f et g coı̈ncident, alors f et g sont égales
sur E.
Exercice
4 Démonstrations simples 1 par densité
1. Existe-t-il une application continue de R dans lui-même même telle que sur les
rationnels, f (x) = x2 , f (x) = 0 ailleurs ?
2. Soit f une fonction continue sur R telle que f (x+y) = f (x)+f (y). On note a = f (1).
Calculer f sur Q. Que vaut elle sur R?
Exercice
5 la notion d’adhérence est elle comprise ?
1. Vrai ou faux ? Soit A ⊂ E une partie quelconque de l’evn E, que penser de...
– A ⊂ Ā;
– A bornée ⇔ Ā bornée ;
– A compacte ⇔ Ā compacte ;
– A bornée ⇒ Ā compacte ;
– A bornée ⇔ Ā compacte ;
– A fermée ssi A = Ā;
– ]0, 1[ = [0, 1];
– R \ Z = R;
– Z = R;
2. Soit A ⊂ E une partie non vide de l’evn E, montrer que Ā est fermée.
3. Pour une fonction u : E → F, evn, on appelle support de u l’ensemble : supp(u) =
{x ∈ E; u(x) 6= 0}.
– est-ce un fermé ; est-ce un compact ?
– soit u telle que sur [−1, 1] u(x) = 1 − x2 , et u(x) = 0 si |x| > 1. Quel est son
support, est il compact ?
– Quel est le support de la fonction sinus ?
1.2
Continuité uniforme
C’est la notion fondamentale pour la démonstration des théorèmes d’approximation.
1. les applications fondamentales de la densité sont, pour nous : le lemme de Riemann, les conséquences
des théorèmes de Weierstrass
3
Définition 2 continuité uniforme
Soit f une fonction définie sur une partie I de K = R ou C, à valeurs dans K; on dit que
f est uniformément continue sur I ssi
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, ∀y ∈ I, |x − y| ≤ α ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε.
On observera que la différence entre les caractérisations de la continuité sur I
et de la continuité uniforme sur I tiennent à la position du quantificateur ∀x.
En effet, f est continue sur I ssi :
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀y ∈ I, |x − y| ≤ α ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε.
Dans ce dernier cas, α dépend de x et de ε, dans le cas d’une continuité uniforme
il ne dépend plus que de ε.
Exercice 6
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue ;
√
2. Montrer directement que x → x est uniformément continue et qu’elle n’est pas
lipschitzienne sur [0, +∞[.
3. Montrer que → ln x n’est pas uniformément continue sur ]0, 1] mais qu’elle l’est sur
[1, +∞[.
Théorème 2 théorème de Heine
Soit f une fonction définie sur une partie compacte I de R. Si f est continue sur I, elle
est aussi uniformément continue.
Démonstration procéder de la façon suivante :
On suppose que f est CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l’absurde.
1. Exprimer que f n’est pas uniformément continue ;
2. Montrer que si f n’est pas uniformément continue, il existe a > 0 et une suite double
(xn , yn ) telle que
|xn − yn | < 1/n et |f (xn ) − f (yn )| ≥ a.
3. Conclure avec le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Exercice 7 les fonctions affines par intervalles forment une partie dense...
Considérons l’espace E = C 0 ([a, b], K), des fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans
K, équipé de la norme de la convergence uniforme : || ||∞ .
1. Soient f ∈ E et ε > 0. Justifier l’existence d’un entier n tel que
∀(x, x0 ) ∈ [a, b]2 , |x − x0 | ≤ 1/n ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε.
2. Montrer que la fonction affine par intervalles, g, associée à la subdivision t0 = a, tk =
k
a + (b − a), et telle que g(tk ) = f (tk ) vérifie
n
||g − f ||∞ ≤ ε.
4
3. En déduire que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de
(E, || ||∞ ).
voir application à la démonstration du théorème de Weierstrass 4.
Exercice 8 un exemple simple d’unité approchée
On considère la suite hn des fonctions définies sur R par :

hn (x) = 0,
si x ≤ −1/n



hn (x) = n2 (x + 1/n),
si − 1/n ≤ x ≤ 0
2 (−x + 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/n
h
(x)
=
n
 n


hn (x) = 0,
si x ≥ 1/n.
On pose alors
Z
1
hn (t)f (x − t) dt.
f ∗ hn (x) =
−1
1. Écrire f ∗ hn (x) − f (x) comme une intégrale.
2. On suppose quef est lipschitzienne sur R, majorer |f ∗ hn (x) − f (x)|. En déduire que
(f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R.
3. On suppose que f est continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge simplement
vers f sur R.
4. On suppose que f est uniformément continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge
uniformément vers f sur R.
Voir corrigé en 5
5
2
Approximation uniforme par des fonctions en escalier
Définition 3 fonctions en escalier
Soit I = [a, b] un intervalle de R, on dit qu’une fonction f définie sur I à valeurs dans K
est une fonction en escalier sur [a, b] s’il existe une subdivision (ti )0≤i≤n telle que, pour
tout i < n, la restriction de f à ]ti , ti+1 [ soit constante.
Définition 4 fonctions continues par morceaux
Soit [a, b] un segment de R. On dit que f est continue par morceaux sur ce segment
s’il existe une subdivision (a0 = a, a1 , ..., an = b), telle que chaque restriction de f à
]ai , ai+1 [ soit prolongeable en une fonction continue sur [ai , ai+1 ].
Dans ce cas, la fonction f admet en tout point ai une limite à droite et une limite à gauche
qui sont notées : f (ai +) et f (ai −).
On étend cette notion à des fonctions définies sur des intervalles quelconques : une
fonction f définie sur I est continue par morceaux sur I si sa restriction à tout intervalle
fermé borné est continue par morceaux.
Exercice 9
Les fonctions suivantes sont continues par morceaux :
1.
x → (−1)Ent(x) ;
2.
x → (−1)Ent(x) x2 ;
3.
(
f (x) = arctan(tan(x))
f (x) = 0
si x 6= π/2 + kπ,
sinon;
Théorème 3 approximation des fonctions cpm par des fonctions en escalier
Pour toute application f continues par morceaux sur un intervalle [a, b] à valeurs dans
K, il existe une suite de fonctions en escaliers (φn )n qui converge uniformément vers f.
Remarque : Cela signifie que l’espace des fonctions en escalier est un sous-espace dense
de l’espace des fonctions continues par morceaux sur [a, b] muni de la norme || ||∞ .
Démonstration
1. On suppose que f est continue sur le segment [a, b]. Elle est donc aussi uniformément
continue...
A tout ε = 1/n, associons αn tel que
|x − y| ≤ αn ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε.
6
On introduit la subdivision t0 = a, t1 = a + αn , ..., ti = a + iαn , ..., tp = b, ainsi que
la fonction en escalier φn qui, pour tout i, prend la valeur f (ti ) sur [ti , ti+1 [ et vérifie
φ(b) = f (b). On a, lorsque x ∈ [ti , ti+1 [,
|φn (x) − f (x)| = |f (ti ) − f (x)| ≤
1
n
La suite (φn )n converge uniformément vers f sur [a, b].
2. Considérons maintenant un entier N, et f continue par morceaux sur [a, b], attachée
à une subdivision τ0 = a < τ1 < ...τp = b. Pour chaque indice i ∈ [0, p − 1], il existe
une fonction continue sur [τi , τi+1 ], qui coı̈ncide avec f sur ]τi , τi+1 [, et donc une
fonction en escalier φN,i telle que
|f (x) − φN,i (x)| ≤ 1/N.
sup
x∈[ti ,ti+1 ]
On considère alors ΦN , définie sur [a, b] par
ΦN (τi ) = f (τi )
i ∈ {0, ..., p − 1}
ΦN (x) = φN,i (x), si , x ∈]τi , τi+1 [;
On a ||Φn − f ||∞ ≤ 1/N...
Deux exemples fondamentaux d’applications de ce théorème :
Exercice
10 cours de MPSI : l’intégrale des fonctions cpm
1. Montrer que si deux suites de fonctions en escaliers
convergent
uniformément vers
R
R
la même fonction f sur [a, b], alors les suites [a,b] φN et [a,b] ψN convergent et ont
la même limite.
2. Retrouver la définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un
segment.
Exercice
11 le lemme de Riemann
1. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]. Montrer que
Z b
lim
eiαt f (t) dt
α→+∞ a
a pour limite 0 (α désigne un réel).
2. Montrer que le même résultat est vrai pour toute fonction f, continue par morceaux
sur l’intervalle [a, b].
3. On considère maintenant f intégrable sur R. Montrer que
(a) pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact [a, b] tel que
Z
Z
|f | ≤ ε,
|f | ≤ ε,
]−∞,a]
[b,+∞[
(b) En déduire que
Z
∞
lim
α→∞ −∞
7
eiαt f (t) dt = 0.
Voir corrigé en 5
Exercice 12 majoration d’une intégrale de fonction vectorielle
Soit f~ : t ∈ I → f~(t) ∈ Rn , une fonction vectorielle d’une variable réelle, continue par
morceaux sur [a, b].
1. On suppose que les composantes de f sont des fonctions en escalier. Montrer que,
pour toute norme sur Rn , on a
Z b
Z b
~
||
f (t) dt || ≤ |
||f~(t)|| dt|.
a
a
2. Généraliser aux fonctions dont les composantes sont continues par morceaux .
3
Les théorèmes de Weierstrass
Deux théorèmes d’approximation uniforme : le premier concerne les fonctions continues
sur un compact et leur approximation par des fonctions polynomiales, le second les fonctions continues et périodiques et leur approximation par des polynômes trigonométriques.
On propose pour le premier plusieurs démonstrations en exercices. Toutes utilisent la continuité uniforme d’une fonction continue sur un compact.
3.1
Approximation des fonctions continues par des polynômes algébriques.
Théorème 4 théorème de Weierstrass
Pour toute application f continue sur l’intervalle compact [a, b], il existe une suite de
fonctions polynômes (Pn )n convergeant uniformément vers f.
En d’autres termes les fonctions polynomiales forment une partie dense dans (C([a, b], || ||∞ ).
Démonstration hors programme ; l’exercice 14 propose une démonstration avec des techniques de convolution qu’il est bon d’avoir rencontré avant l’écrit ; l’exercice 15 montre
comment on peut construire une approximation polynomiale de la fonction racine sur [0, 1]
puis de la valeur absolue, des fonctions affines et enfin des fonctions continues.
Exercice
13 des gammes
1. Expliciter une fonction affine τ réalisant une bijection de [a, b] sur [0, 1].
2. Soit (Pn )n un suite de polynômes qui converge uniformément vers f sur [0, 1]. Montrer qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers f ◦ τ sur
[a, b];
3. Montrer que si les fonctions polynômes forment une partie dense dans (C([0, 1], || ||∞ )
elles forment aussi une partie dense dans (C([a, b], || ||∞ ).
Exercice 14 *** une démonstration (produits de convolutions, unités approchées...)
avec comme pré-requis la notion de fonction intégrable ; on fera auparavant l’exercice 8,
qui est une introduction simple aux techniques employées...
1. On considère ici une suite (hN )N de fonctions de la variable réelle telles que
8
R
– pour tout entier N, hN ≥ 0, est intégrable sur R, avec R hn (s) ds = 1;
– pour tout α > 0,
Z −α
Z ∞
|hN (t)| dt +
|hN (t)| dt
−∞
α
tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini ;
(a) Montrer que t → hn (x − t) est aussi intégrable sur R, de même que t →
f (t)hn (x − t) lorsque f est continue par morceaux et bornée.
(b) Montrer que si f est une fonction continue et bornée sur R, les relations
Z
f (t)hN (x − t) dt,
f ? hN (x) =
R
définissent une suite de fonctions qui converge simplement vers f ;
indication : on pourra être amené à découper l’intervalle d’intégration.
(c) Que peut on dire de plus quant à la convergence, lorsque f est uniformément
continue ?
2. Exemple : on considère la suite (hn )n définie par :

2 n si |x| ≤ 1,

hn (x) = an (1 − x )


hn (x) = 0,
sinon,
où an est choisi pour que l’intégrale soit égale à 1.
(a) On suppose que f est continue et que f (x) = 0 lorsque |x| ≥ 1/2, montrer
qu’alors une restriction (à préciser) de f ? hN (x) est une fonction polynomiale ;
(b) En déduire le théorème d’approximation de Weierstrass.
√
Exercice 15 approximation de t et de |t| par des polynômes, et une démonstration du
théorème de Weierstrass algébrique
√
1. On considère la fonction u(t) = 1 − t, t ∈ [0, 1]
(a) Calculer sa dérivée nième sur [0, 1[;
(b) Exprimer son polynôme de Taylor ainsi que le reste-intégrale dans la formule
du même nom ;
(c) Montrer que ce reste vérifie
Z x
n 1 Y 2k − 1
|Rn (x)| ≤
u(t) dt.
2
2k
0
k=1
(d) En déduire que (Rn ) converge uniformément vers 0 sur [0, 1] et que u est limite
uniforme d’une suite de polynômes.
2. Soit (Pn )n une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément vers u sur
[0, 1].
On pose Tn (x) = Pn (1 − x2 ). Montrer que (Tn )n converge uniformément vers v :=
x → |x| sur [−1, 1].
9
3. Soit φ affine par intervalles et continue sur [0, 1].
(a) Montrer que φ est combinaison linéaire de fonctions x → |x − ti | où les ti sont
les points de la subdivision associée.
Indication : c’est de l’algèbre linéaire 2 .
(b) En déduire qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers
φ sur [0, 1].
4. De tout cela déduire le théorème d’approximation de Weierstrass (faire usage du
résultat de l’exercice 7).
,
Exercice 16 application : encadrement par des polynômes
Soit f une fonction continue sur I = [a, b]. Montrer que pour tout ε > 0 il existe deux
polynômes P et Q tels que
(
P (x) ≤ f (x) ≤ Q(x),
∀x ∈ I,
Q(x) − P (x) ≤ ε.
Exercice
17 application classique, à savoir faire : orthogonal de R[X]
1. Soit f une fonction continue à valeurs dans K définie sur l’intervalle compact [a, b].
On suppose que, pour tout entier naturel n,
b
Z
f (t)tn dt = 0.
a
Que peut on en déduire ?
2. Quel est l’orthogonal de R[X] dans C([a, b], R) muni du produit scalaire :
Z
< f |g >=
b
f (t)g(t) dt?
a
l’énoncé suivant est il vrai ?
Dans un préhilbertion E, pour tout sev F, on a F ⊕⊥ F = E ?
sinon, corrigez le...
3. On considère f continue sur [−1, 1], telle que, pour tout entier naturel pair n = 2 p,
Z
1
f (t)tn dt = 0.
−1
Que peut on en déduire ?
2. avec ça, on a tout dit !
10
Exercice
18 polynômes de Bernstein
1. On appelle polynômes de Bernstein de degré n, les polynômes
Bin (u) = (ni ) ui (1 − u)n−i i = 0...n.
(a) Démontrer les propriétés suivantes :
i. la somme des (Bin )i est 1 ;
P
ii. pour tout i ∈ [0, n], nk=i (ki )Bkn (u) = (ni )ui ;
iii. Les (Bin )i forment une base de polynômes de degrés n de Kn [X];
iv. Ils vérifient la formule de récurrence :
n
Bin+1 (u) = uBi−1
(u) + (1 − u)Bin (u);
n = Bn
0
avec les conventions B−1
n+1 = 0, B0 = 1...
(b) Faire un brève étude des polynômes (B03 , B13 , B23 , B33 ) et donner une représentation
graphique de chacun d’eux.
2. A toute fonction f continue sur l’intervalle [0, 1], associons le polynôme :
N
N
X
X
k
k
BN
(x) =
f
BN (f )(x) =
N
N
k
f
k=0
k=0
k
N
xk (1 − x)k .
(3.1)
(a) Vérifier que f → Bn f est linéaire, positive...
(b) Calculer Bn (f )(0) et Bn (f )(1).
(c) Calculer BN (X 0 ), BN (X 1 );
3. Limite de (BN (X 2 ))N
k 2 N −1 k
(a) Montrer que N
= k−1 N
k
N
(b) En déduire une expression de BN (X 2 ) et montrer que la suite des polynômes
(BN (X 2 )N converge uniformément vers X 2 sur l’intervalle [0, 1]. Préciser
||BN (X 2 ) − X 2 ||
∞
[0,1]
4.
∗
On se propose de montrer que (Bn )f )N converge uniformément vers f sur [0, 1]...
(a) Soit ε > 0, justifier qu’il existe α > 0 tel que
|t − s| ≤ α ⇒ |f (t) − f (s)| ≤ ε.
(b) Justifier que pour t et s dans [0, 1], on a
−ε −
2||f ||∞
2||f ||∞
(t − s)2 ≤ f (t) − f (s) ≤ ε +
(t − s)2 .
2
α
α2
On étudiera les deux cas : |t − s| ≤ α et |t − s| > α.
(c) Encadrer le polynôme associé à t → f (t) − f (s); évaluer ce polynôme en s (on
reprendra les calculs du 3˚).
(d) Conclure.
Voir correction en 5
11
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Figure 2 – Polynômes de Bernstein pour N=6
1
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
–0.5
–1
Figure 3 – polynômes de Bernstein approchant cos2πx sur [0,1]
3.2
Les polynômes trigonométriques
On donne ici un théorème fondamental sur les polynômes trigonométriques : attention à
ne pas le confondre avec un théorème sur les séries de Fourier (voir remarque après le
théorème 5).
5 On appelle polynôme trigonométrique complexe, de pulsation ω ∈ R, de
2π
période T =
, toute application U : R → C telle qu’il existe une suite finie (cn )−N ≤n≤N
ω
pour laquelle
N
X
∀t ∈ R, U (t) =
cn einωt
Définition
k=−N
12
Figure 4 – Serguei Natanovitch Bernstein (5 mars 1880 [Odessa] - 26 octobre 1968
[Moscou])
Remarque : Nous pouvons aussi écrire
U (t) =
−1
X
ck (cos(ωkt) + sin(ωkt)) + c0 +
=
N
X
((ck + c−k ) cos(ωkt) + i(ck − c−k ) sin(ωkt))
k=1
N
X
a0
+
2
ck (cos(ωkt) + sin(ωkt))
(3.2)
k=1
k=−N
= c0 +
N
X
(an cos(ωnt) + bn sin(ωnt))
(3.3)
(3.4)
n=1
U (t) apparaı̂t donc comme une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques {cos(ωnt),
sin(ωnt)}, avec les formules de passage :
bn = i(cn − c−n )
an = cn + c−n
1
1
cn = (an − ibn ) c−n = (an + ibn ) n ≤ 0
2
2
Théorème 5 théorème de Weierstrass trigonométrique
Pour toute application f continue et T −périodique sur R, à valeurs complexes, il existe
une suite de polynômes trigonométriques (Tn )n , qui converge uniformément vers f sur R.
Démonstration : Hors programme. Une démonstration est proposée dans un problème
Air-2003 : questions 1 à 4 et 7 à 10 (on y démontre un résultat plus précis, le théorème de
13
Féjer 3 )
Remarque et avertissement
On ne confondra pas une suite de polynômes trigonométriques :
(N )
PN (x) =
a0
2
+
dN
X
)
(N )
(a(N
n cos(ωnt) + bn sin(ωnt))
n=1
avec les sommes partielles d’une série de la forme
N
SN (x) =
a0 X
+
(an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)),
2
n=1
telles les sommes de Fourier. Le théorème de Weierstrass trigonométrique ne signifie pas
que la série de Fourier d’une fonction f, continue et périodique, converge uniformément vers
f. Cela est d’ailleurs faux (les premiers contre-exemples datent d’ailleurs de Weierstrass).
Par contre ce théorème permet de montrer que, si f est continue, sa série de Fourier
converge en moyenne quadratique vers f.
La démonstration est facile, la voici :
– On sait que SN (f ) somme de Fourier de f continue est la projection orthogonale de
f sur PN dans l’espace préhilbertien des fonctions continues et de période 2π muni du
produit scalaire usuel...
– On sait que pour tout couple de fonctions continues (f, g) :
Z 2π
1
2
||f − g||2 =
|f (t) − g(t)|2 dt ≤ ||f − g||2∞ ...
2π 0
– Fixons ε > 0, le théorème de Weierstrass trigonométrique nous dit qu’il existe un polynôme trigonométrique P tel que
√
||f − P ||∞ ≤ ε.
Notons N son degré, comme SN est aussi de degré N, on a
||f − SN (f )||22 ≤ ||f − P ||22 ≤ ||f − P ||2∞ ≤ ε.
Exercice
19 orthogonal des poly trigonométriques...
1. Soit f une fonction continue et T −périodique dur R. On suppose que pour tout
entier relatif n,
Z T
f (t)eint dt = 0.
0
Montrer que f est nulle.
2. Montrer que si deux fonctions continues ont la même série de Fourier,
elles sont égales.
RT
3. Peut on conclure de la même façon lorsque ∀n ∈ N, 0 f (t)eint dt = 0?
3. les moyennes des sommes de Fourier convergent vers f, si f est continue.
14
4
Annexe : noyaux et unités approchées
Issus de chapitres différents, ces exercices ont en commun...
Exercice 20 noyaux de Dirichlet et de Féjer
On considère une fonction f de période 2π et continue par morceaux sur R. On note
SN (f ) ses sommes de Fourier définies par
SN (f )(x) =
N
X
ck (f )eikx , avec ck (f ) =
k=−N
1
2π
Z
2π
f (t)e−ikt dt.
0
en est la fonction définie par en (t) = eint , n ∈ Z.
1. (a) Exprimer simplement en fonction des en la fonction DN telle que
SN (f )(x) =
1
2π
2π
Z
DN (x − t)f (t) dt
0
sin (N + 12 )x
.
(b) Montrer que DN (x) =
sin x2
2. On associe à la fonction f la moyenne de ses sommes de Fourier :
σN (f ) =
N −1
1 X
Sn (f ).
N
n=0
(a) Exprimer simplement comme combinaison linéaire des en , N KN où KN est la
fonction telle que
Z 2π
1
σN (f )(x) =
KN (x − t)f (t) dt.
2π 0
(b) Calculer
R 2π
0
KN (t) dt;
3. (a) Montrer que KN est proportionnelle à
sin
sin
!2
Nx
2
x
2
.
(b) Soit δ ∈]0, π], montrer que
Z
lim
N →+∞ δ
π
KN (t) dt = 0.
(c) On suppose dorénavant que f est continue
i. Montrer que
1
σN (f )(x) =
2π
Z
0
2π
1
KN (x − t)f (t) dt =
2π
Z
π
KN (u)f (x − u) du.
−π
ii. Montrer que (σN (f ))N converge uniformément versf.
15
voir corrigé dans le chapitre Séries de Fourier.
Exercice 21
2
On note g la fonction définie sur R par g(x) = e−x et, pour s > 0, on pose
1 x
gs (x) = √ g
.
s
s π
1. Tracer les fonctions g1/n , pour n = 1, 2, ..5, et étudier la limite de la suite de fonctions
(g1/n )n .
2. Calculer l’intégrale de gs sur R. On rappelle que
Z
√
2
e−t dt = π.
R
3. Pour f continue par morceaux et intégrable sur R, on pose
Z
Z
f ? gs (x) =
f (t)gs (x − t) dt =
f (x − t)gs (t) dt.
R
R
(a) Justifier l’existence et l’égalité de ces expressions.
(b) On suppose que f est, de plus, continue en x0 et bornée sur R. Montrer que
lim f ? gs (x0 ) − f (x0 ) = 0.
s→0
On pourra observer que
Z
Z
f ? gs (x0 ) − f (x0 ) =
f (x0 − t)gs (t) dt −
R
f (x0 )gs (t) dt.
R
(c) Étudier la convergence uniforme.
Exercice
22 noyau de Poisson sur le disque
On considère pour r ∈ [0, 1[, la fonction définie par
X
X
Pr (t) =
r|n| eint = 1 +
rn eint + e−int .
n≥1
n∈Z
1. Etudier la convergence de cette série de fonctions, donner une expression simple de
sa somme et représenter Pr (t) pour quelques valeurs de r;
2. A toute fonction u continue sur [0, 2π] telle que u(0) = u(2π), on associe la fonction
ũ, définie sur le disque D = {z ∈ C; |z| < 1}, par la relation
Z 2π
1
iθ
Pr (t − θ)u(t) dt.
ũ(z) = ũ(re ) =
2π 0
R 2π
(a) Calculer 0 Pr (θ) dθ. Montrer que pour tout θ ∈ [0, 2π],
Z 2π
1
iθ
lim ũ(re ) − u(θ) = lim
Pr (θ − t)(u(t) − u(θ)) dt = 0.
r→1−
r→1− 2π
0
16
(b) Montrer que ũ est de classe C 2 sur le disque ouvert D et que
∆(ũ) = 0.
On rappelle que l’expression du laplacien en coordonnées polaires est
∆gP (r, θ) =
1 ∂
∂2
1 ∂2
gP (r, θ) + 2 gP (r, θ) + 2 2 gP (r, θ) si r > 0.
r ∂r
∂r
r ∂θ
Exercice 23
Soit g une fonction de classe C 2 sur R2 . On lui associe la fonction gP définie sur
]0, +∞[×R en posant
gP (r, θ) = g(r cos θ, r sin θ).
On rappelle que l’expression du laplacien en coordonnées polaires est
2
2
e P (r, θ) = 1 ∂ gP (r, θ) + ∂ gP (r, θ) + 1 ∂ gP (r, θ) si r > 0.
∆g
r ∂r
∂r2
r2 ∂θ2
e P = 0 de la forme
1. Existe-t-il des solutions de ∆g
gP (r, θ) =
∞
X
Hn (θ)rn ?
n=0
Il va de soi qu’établir des hypothèses raisonnables fait partie de la question...
2. On définit une fonction sur le disque unité en posant
Pr (θ) = 1 + 2
∞
X
rn cos(nθ).
n=1
Montrer que pour toute fonction g de période 2π , continue, la fonction définie par
Z 2π
1
g̃(r, θ) = Pr ? g(θ) =
Pr (θ − t) g(t) dt
2π 0
est une solution de l’équation de Laplace sur le disque ouvert de rayon 1, de centre
0. Expliciter le lien avec les coefficients de Fourier de g.
3. Montrer que, pour tout θ,
lim g̃(r, θ) = g(θ).
r→1−
17
5
Corrigés
correction exercice 8 : un exemple simple d’unité approchée
On considère la suite hn des fonctions définies sur R par :

hn (x) = 0,
si x ≤ −1/n



2
hn (x) = n (x + 1/n),
si − 1/n ≤ x ≤ 0
2 (−x + 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/n
h
(x)
=
n

n


hn (x) = 0,
si x ≥ 1/n.
On pose alors
Z
1
f ∗ hn (x) =
hn (t)f (x − t) dt.
−1
1. Observation classique et à retenir, l’intégrale de hn sur R ou sur [−1, 1] ou sur
[−1/n, 1/n] vaut 1 ; c’est en effet l’aire d’un triangle de base 2/n de hauteur n.
Alors :
Z
1
f ∗ hn (x) − f (x) =
Z
1
hn (t)f (x − t) dt − f (x) ×
−1
hn (t)f (x − t) dt
−1
Z
1
f ∗ hn (x) − f (x) =
hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt
−1
(idée déjà rencontrée : penser aux comparaisons séries
exemple).
P
f (n) et intégrales par
2. On suppose que f est k−lipschitzienne sur R, majorons |f ∗ hn (x) − f (x)| :
Z 1
|f ∗ hn (x) − f (x)| = hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt
−1
Z 1
≤
hn (t) |f (x − t) − f (x)| dt
−1
1
Z
≤
hn (t)k |(x − t) − x| dt
−1
Z
≤ k
1/n
hn (t)|t| dt
−1/n
Z 1/n
≤ k/n
hn (t) dt =
−1/n
k
n
En effet, d’une part hn est nulle en dehors de l’intervalle [−1/n, 1/n], d’autre part,
sur ce même intervalle, t est compris entre 0 et 1/n.
Nous avons majoré |f ∗ hn (x) − f (x)| indépendamment de x il vient donc
||f ∗ hn − f ||∞ ≤
R
k
.
n
Ainsi, (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R.
18
3. Supposons f continue sur R, à savoir :
∀x0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃αx0 ,ε > 0, |x − x0 | ≤ αx0 ,ε ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε.
Considérons x0 et ε > 0.
Considérons αx0 ,ε > 0 comme dans la définition ci-dessus.
Notre but est de majorer utilement
Z 1
|f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| = hn (t) (f (x0 − t) − f (x0 )) dt .
−1
Comme on a
Z
1/n
|f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| ≤ hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ,
−1/n
1
≤ αx0 ,ε .
n
1
Nous avons donc, puisque |(x0 − t) − x0 | = |x0 − x| = |t| ≤
dans cette dernière
n
intégrale,
Z 1/n
Z 1/n
|f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| =
hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ≤
hn (t)ε dt = ε.
on choisit un rang à partir duquel
−1/n
−1/n
Bilan : pour tout > 0 il existe un rang n0 (qui dépend de x!) à partir duquel
|f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| ≤ ε. Ainsi lim f ∗ hn (x0 ) = f (x0 ) pour tout x0 ∈ R et (f ∗ hn )n
converge simplement vers f sur R.
4. On suppose que f est uniformément continue sur R,à savoir :
∀ε > 0, ∃αε > 0, ∀x ∈ R, ∀x0 ∈ R, |x − x0 | ≤ αε ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε.
Considérons ε > 0.
Considérons αε > 0 comme dans la définition ci-dessus. Il ne dépend pas de x.
Notre but est de majorer indépendamment de x |f ∗ hn (x) − f (x)|.
On a
Z 1
hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt .
|f ∗ hn (x) − f (x)| = −1
Comme on a
Z
1/n
|f ∗ hn (x) − f (x| ≤ hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ,
−1/n
1
≤ αε . Ce rang ne dépend pas de x.
n
1
Nous avons donc, puisque |(x − t) − x| = |x0 − x| = |t| ≤
dans cette dernière
n
intégrale,
Z 1/n
Z 1/n
|f ∗ hn (x) − f (x)| =
hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ≤
hn (t)ε dt = ε.
on choisit un rang à partir duquel
−1/n
−1/n
19
Bilan : Pour tout ε > 0, il existe un rang n0 (qui ne dépend que de ε) à partir
duquel pour tout x ∈ R, |(f ∗ hn )(x) − f (x)| ≤ ε.
Ainsi, pour tout ε > 0, il existe un rang à partir duquel ||(f ∗ hn ) − f || ≤ ε.
On a bien lim ||(f ∗ hn ) − f || = 0 et (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R.
20
correction exercice 11
1. Les fonctions en escalier : si φ est une fonction en escalier attachée à la subdivision
(tj )j du segment [a, b], on a
n−1
Z b
X Z tk+1
int int α
e
dt
φ(t)e
dt
=
k
tk
a
k=0
≤
n−1
X Z tk+1
k=0
tk
int
e k+1 − eintk dt ≤ 2 sup |αk ||b − a|.
|αk | in
n
La limite est bien 0 lorsque n → +∞.
2. Considérons maintenant f continue par morceaux sur [a, b] et ε > 0. Il existe une
fonction en escalier qui vérifie ||f − φ|| ∞ ≤ ε/|b − a|. Nous avons par ailleurs
[a,b]
Z b
Z b
Z b
int
int
int
f (t)e dt ≤ (f (t) − φ(t))e dt + φ(t)e dt .
a
a
a
– Le premier terme du membre de droite est majoré par ε;
– Pour le second, on sait qu’il existe un rang Nε à partir duquel
Z b
int φ(t)e
dt
≤ ε.
a
En conséquence, pour tout ε > 0 il existe Nε tel que
Z b
int n≥ε⇒
f (t)e dt ≤ 2ε.
a
3. Considérons maintenant une fonction f intégrable sur R ou sur un intervalle quelconque I ⊂ R, et ε > 0. Il existe un segment [a, b] ⊂ I tel que
Z
Z
|f | ≤ ε.
|f | −
I
[a,b]
On a :
Z
int f (t)e dt
f (t)e dt + I\[a,b]
[a,b]
Z
int ≤
f (t)e dt + ε.
[a,b]
Z
Z
int
f (t)e dt = I
int
Comme dans la démonstration précédente, il existe un rang Nε à partir duquel
Z b
int f (t)e dt ≤ ε,
a
et on conclut de la même façon.
21
correction exercice 18
Bin (u) = (ni ) ui (1 − u)n−i .
PN n i
n−i = (u+(1−u))n = 1 : grâce à cela les polynômes B (f )
1. (a) –
N
k=0 (i ) u (1−u)
ci-dessous, apparaissent comme des barycentres des f (k/n)
– On commence par remarquer que :
k
i
(nk ) =
n!
(n − i)!
n!
k!
=
= (ni )
(k − i)!i! k!(n − k)!
(n − i)!i! (k − i)!(n − k)!
Vient alors :
n
X
(ki )Bkn (u) =
n
X
k=i
= (ni ) ui
n−i
k−i
.
(ki ) (nk ) uk (1 − u)n−k
k=i
n
X
n−i
k−i
uk−i (1 − u)(n−i)−(k−i) = (ni ) ui ;
k=i
(Bin )i
– Les
forment une famille de n+1 éléments qui est génératrice (en effet,
les vecteurs de la base canonique sont tous CL des (Bin )i ). (Bin )i est donc
une base Kn [X];
– Formule de récurrence :
Bkn (u) = (nk ) uk (1 − u)n−k
n−1
n
= (n−1
) uk (1 − u)n−k = uBk−1
(u) + (1 − u)Bkn (u);
k−1 ) + (k
n = Bn
0
avec les conventions B−1
n+1 = 0, B0 = 1...
(b) Brève étude : chacun de ces polynômes est positif sur [0, 1]. BkN (u)0 = (N
k ) () et
atteint son maximum sur [0, 1] en u = i/n.
2. A toute fonction f continue sur l’intervalle [0, 1], associons le polynôme :
N
N
X
X
k
k
BN (x) =
BN (f )(x) =
f
N
k=0
k=0
N
k
f
k
N
xk (1 − x)k .
(5.1)
(a) Clairement f → Bn f est linéaire, positive (ie : f ≥ 0 ⇒ BN (f ) ≥ 0 sur [0, 1];
(b) Bn (f )(0) = f (0) et Bn (f )(1) = f (1).
(c)
Bn (X 0 )(u) =
n
X
1.Bnk (u) = 1,
k=0
Bn (X 1 )(u) =
n
X
k=0 ou 1
Comme
k n
( )=
n k
n−1
k−1
1
k n k
( ) u (1 − u)n−k .
n k
, il vient :
Bn (X )(u) = u
n
X
n−1
k−1
k=1
22
uk−1 (1 − u)(n−1)−(k−1) = u.
3. Limite de (Bn (X 2 ))n
2
k−1
k
n−k
n−1 k
n−1
n
(a) clairement (k )
= k−1
= k−1
+
n
n
n − 1 n(n − 1)
(b) On a donc en raisonnant comme dans la question précédente :
2
Bn (X )(u) =
n 2
X
k
k=0
=
n
X
n−1
k−1
k=0
n
k−1
n−k
+
n − 1 n(n − 1)
Bkn (u)
uk (1 − u)n−k .
Il vient donc
n
X
1
n
−
k
n−1
Bn (X 2 )(u) − u2 = u
(u) ≤ .
Bk−1
n
n(n − 1)
k=0
1
.
[0,1]
n
4. (Bn (f ))n converge uniformément vers f sur [0, 1]...
D’où enfin ||Bn (X 2 ) − X 2 ||
∞
≤
(a) La fonction f est continue donc uniformément continue sur l’intervalle [0, 1]
théorème de Heine). Cela signifie que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que
|t − s| ≤ α ⇒ |f (t) − f (s)| ≤ ε.
(b) ON considère ε et α comme dans la définition précédente. Pour (t, s) ∈ [0, 1]2
on distingue deux cas :
2||f ||∞
– |t − s| ≤ α, et alors |f (t) − f (s)| ≤ ε ≤ ε +
(t − s)2 ;
α2
2||f ||∞
2||f ||∞
– |t − s| > α, et |f (t) − f (s)| ≤ 2||f ||∞ ≤
(t − s)2 ≤ ε +
(t − s)2 ;
2
α
α2
(c) Fixons s ∈ [0, 1]. Nous avons donc puisque Bn est positive :
2||f ||∞
Bn X 2 − 2sX 1 + s2 (x)
2
α
On remarque alors que, par linéarité, et lorsque x = s : Bn X 2 − 2sX 1 + s2 (s) =
Bn (X 2 )(s) − 2sBn (X 1 )(s) + s2 = Bn (X 2 )(s) − s2 ≤ 1 .
n
Cste
(d) Pour tout ε > 0, ||Bn (f ) − f ||∞ ≤ ε +
. On montre alors que pour tout
n
ε > 0, il existe un rang à partir duquel ||Bn (f ) − f ||∞ ≤ 2ε.
|Bn (f )(x) − f (s)| = |Bn (f − f (s))(x)| ≤ ε +
23
correction exercice 21
1. échauffements ; plotti-plotta avec MAPLE...
2. échauffements ;
3. convolutions :
|f |
, intégrable ;
s
|f (x − t)|
– la fonction t → |f (x − t)g(t)| est majorée par t →
, intégrable
s
R
R
R
(majorer [a,b] |f (x − t)| dt = [x−b,x−a] |f (x)| dt par R |f |.
–
(a) – la fonction t → |f (t)g(x − t)| est majorée par
(b) On suppose que f est, de plus, continue en x0 . Estimons la quantité :
Z
|f ? gs (x0 ) − f (x0 )| ≤
|f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt.
R
Considérons ε > 0 et α > 0 tels que |x − x0 | ≤ α ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. Un
découpage de l’intervalle d’intégration permet de majorer en trois temps :
Z
Z
|f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt ≤ ε
gs = ε,
[−α,α]
Z
Z
|f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt ≤ 2||f ||∞
[−∞,−α]
gs .
]−∞,−α]
La dernière intégrale est
Z
Z
Z
gs
]−∞,−α]
gs =
[α,+∞[
2
e−u du.
[α/s,+∞[
2
Comme e−u est intégrable, il existe s0 tel que
Z
2
s > s0 ⇒
e−u du ≤ ε/2||f ||.
[α/s,+∞[
correction exercice 22
1. Convergence normale pour r < 1, divergence grossière sinon. La somme est, lorsque
r<1:
1 − r2
.
Pr (t) =
1 − 2r cos(t) + r2
2. Les fonctions
(r, θ, t) →
∂k
Pr (t − θ)u(t),
∂rk
(r, θ, t) →
∂k
Pr (t − θ)u(t),
∂θk
24
sont continues pour k ≥ 0. On en déduit que la fonction
Z
Pr (t − θ)u(t) dt
(r, θ) →
[0,2π]
admet des dérivées partielles continues à tous les ordres.
REPRENDRE
3. On observe (intégration terme à terme) que
Z
Pr (t) dt = 1,
[0,2π]
puis que, pour α > 0,
Z
Pr (t) dt ≤
[α,2π−α]
1 − r2
1 + r2 − 2r cos α
On a donc
Z
dt → 0.
[α,2π−α]
r→1−
Z
iθ
2π(ũ(re ) − u(θ)) =
Pr (t − θ)(u(t) − u(θ)) dt
[0,2π]
"Z
=
Z
+
[α,2π−α]
#
Z
Pr (s)(u(s + θ) − u(θ)) ds.
+
[0,α]
[2π−α,2π]
R
La première et la troisième intégrales sont majorées par 2||u|| [α,2π−α] Pr (s) ds, et a
pour limite 0 lorsque r tend vers 1 . La seconde est majorée par
ωu (α) = sup |u(s) − u(t)|.
|s−t|≤α
25
Index
approximation
des fonctions continues
par des fonctions en escalier, 6
par des polynômes, 8
des fonctions cpm
par des fonctions en escalier, 6
des fonctions périodiques
par des poly. trigo., 13
Bernstein
polynômes, 11
continuité
uniforme, 4
fonction
continue par morceaux, 6
en escalier, 6
fonctions
affines par intervalles, 4
de convolution, 8, 16, 17
Riemann
lemme de, 7
solution
fondamentale du Laplacien, 17
théorème
de Heine, 4
fcts égales sur A dense, 3
Weierstrass
trigonométrique, 13
Weierstrass
théorème (trigonométrique), 13
théorème de (polynômes algébriques), 8
harmonique
fonction, 16, 17
Heine
théorème de, 4
Laplacien
polaire, 17
lemme
de Riemann, 7
majoration
intégrale vectorielle, 8
noyau
de Féjer, 15
de Poisson, 17
de Poisson (disque), 16
noyau approché, 8
Poisson
noyau, 16
polynômes
de Bernstein, 11
produit
26