Poly`edres réguliers et semi-réguliers, Polytopes réguliers en

Rapport de Stage de Magistère
sous la direction de
Enrico Rogora
Université de la Sapienza
Polyèdres réguliers et semi-réguliers,
Polytopes réguliers en dimension quatre
Juillet-Septembre 2004
Cédric Milliet
Table des matières
Introduction
1
1 Polygones réguliers et semi-réguliers
1.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Classification des polygones semi-réguliers . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Polyèdres réguliers et semi-réguliers
2.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . .
2.2 Le groupe d’isométries I(P) . . . . . . . .
2.3 Symbole {p, q} d’un polyèdre régulier . . .
2.4 Classification des polyèdres réguliers . . .
2.5 Groupes finis de rotations de R3 . . . . .
2.6 Classification des polyèdres semi-réguliers
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5
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14
3 Polytopes réguliers de dimension quatre
18
3.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Symbole {p, q, r} d’un polytope régulier . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Classification des polytopes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Références
21
1
Introduction
Ceci est le rapport d’un stage de deuxième année de magistère, effectué à
Rome au Laboratoire de Mathématiques de l’Université La Sapienza, sous la
direction de Enrico Rogora.
Il a pour but d’énumérer les polytopes réguliers, semi-réguliers en dimension
trois, et réguliers en dimension quatre. Le cas de la dimension quatre étant
particulièrement difficile à visualiser, le rapport s’attache tout d’abord à
étudier des petites dimensions, dans l’optique d’en généraliser les résultats aux
dimensions supérieures.
Le premier chapitre ébauche une étude rapide de la dimension deux, en
choisissant des définitions, notations et propositions qui ne profitent pas de la
spécificité de la dimension deux.
Le chapitre deux présente d’abord l’étude des polyèdres réguliers. La
définition algébrique que l’on choisit pour la régularité met en valeur le lien
important qui existe entre un polyèdre régulier et son groupe de symétrie.
C’est en énumérant certains groupes finis d’isométries de l’espace (ceux engendrés par trois réflexions) que l’on parvient ensuite à la construction des
polyèdres réguliers. On introduit enfin la méthode de construction de Wythoff
des polyèdres semi-réguliers, dont on déduit une classification.
Après avoir introduit la définition de polytope qui généralise en dimension
quelconque les notions de point, segment, polygone et polyèdre, le chapitre trois,
enfin, étend les résultats des chapitres précédents au cas de la dimension quatre.
2
1
1.1
Polygones réguliers et semi-réguliers
Définitions, propriétés
Définition — On appelle polygone P du plan euclidien R2 toute intersection
T
non vide et compacte d’un nombre fini de demi-espaces fermés. Soit
Ri
une écriture minimale de P où Ri est un demi-plan de frontière la droite Di .
On appelle côté de P tout segment Di ∩P, et sommet toute extrémité d’un côté.
Remarque — Avec cette définition, un polygone sera toujours convexe. Mais on
peut définir un polygone non convexe comme étant une union finie de polygones.
Remarque — Un ensemble de trois points ou plus sur un cercle définit un
unique polygone dont les sommets sont exactement ces points (il suffit de
prendre l’enveloppe convexe de ces points).
Définition — Soit P un polygone, on définit le groupe I(P) des isométries
conservant P. On note R(P) le sous-groupe de ses rotations.
Remarque — I(P) est l’ensemble des isométries fixant les sommets de P.
Définition — Un polygone est dit régulier si tout ses côtés ont mêmes
longueur et si tous les angles entre deux côtés adjacents sont égaux.
On note {p} le polygone régulier à p côtés, unique à similitude près. L’angle
entre deux côtés, appelé angle dièdre, mesure π − 2π
p . Son groupe d’isométries
I({p}) est le groupe diédral Dp d’ordre 2p engendré par deux réflexions.
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Z
Z
Z
Z
Z
B
B
B
B
B B
B
B
B
B
Z
B Z B
Z
B
Z
Z B
ZZ B
ZB
Figure 1 — Le pentagone {5} et le polygone étoilé { 25 }
Remarque — Cette notation s’étend aux polygones non convexes, dit étoilés
{ dp } avec p et d premiers entre eux.
Pour étendre en dimension quelconque la notion de polygone régulier, on
préferera la définition équivalente qui suit :
3
Proposition — Un polygone P est régulier si et seulement si son groupe
d’isométries I(P) agit transitivement sur les couples (A, AB) formés d’un
sommet A et d’un côté AB contenant ce sommet.
Cette définition a aussi l’avantage de rester valable pour les polygones non
convexes, et ceux possédant une infinité de côtés.
1.2
Classification des polygones semi-réguliers
Définition — Un polygone est dit semi-régulier si son groupe d’isométries
I(P) agit transitivement sur ses sommets.
Proposition — Les polygones semi-réguliers sont soit réguliers, soit des polygones à 2n sommets de côtés consécutifs L1 L2 ...L2n de longeurs respectives `1 ,
`2 ... vérifiant `1 = `3 = `5 ... = `2n−1 , et `2 = `4 = `6 ... = `2n , et dont les angles
entre deux côtés adjacents sont égaux à π/n.
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Figure 2 — Un polygone semi-régulier
Démonstration — Soit P un polygone semi régulier.
(a) Si P n’a pas d’axe de symétrie, I(P) est le groupe cyclique d’ordre p.
Par action transitive de I(P) sur les sommets, P est le polygone régulier {p}.
Ce qui est absurde car {p} a un axe de symétrie.
(b) Si P a un axe de symétrie, I(P) est le groupe diédral d’ordre 2n, engendré
par deux réflexions de droites sécantes en O. Les axes de symétries découpent
le cercle circonscrit en arcs égaux. Choisissons en un. Toujours par transitivité
de l’action de groupe sur les sommets, il n’y a qu’un sommet S sur cet arc de
cercle. S’il est au milieu ou au bord de l’arc, le polygone est régulier. Sinon,
les deux droites qui délimitent l’arc envoient S sur deux sommets formant ainsi
deux segments de longeurs différentes. Les n rotations assurent le fait que les
longeurs de segments adjacents soient alternées.
Réciproquement, soit deux segments L1 et L2 de longeurs respectives `1
et `2 , faisant un angle π/n. Soit Dn le groupe diédral d’ordre 2n de centre
l’intersection des médiatrices de L1 et L2 . L’image de L1 et L2 par Dn est une
suite de segments de longeurs alternées formant un polyèdre semi-régulier.
4
2
2.1
Polyèdres réguliers et semi-réguliers
Définitions, propriétés
Définition — On appelle polyèdre P de l’espace euclidien R3 toute intersecT
tion non vide et compacte d’un nombre fini de demi-espaces fermés. Soit Ri
une écriture minimale de P où Ri est un demi-espace de frontière le plan Hi .
On appelle face de P tout polygone Hi ∩ P. On appelle côtés et sommets de P
les côtés et sommets des faces de P.
Remarque — Avec cette définition, un polyèdre sera toujours convexe.
Remarque — Si P1 ...Pn sont n points d’une sphère, non coplanaires, leur
enveloppe convexe est un polyèdre convexe de sommets P1 ...Pn . C’est le seul
polyèdre ayant exactement pour sommets P1 ...Pn .
Définition — On appelle drapeau d’un polyèdre, tout triplet (A, AB, ABC...)
où A est un sommet, AB un côté contenant le sommet A, et ABC... une face
contenant le côté AB.
Remarque — Dans la notation ABC..., les points représentent les sommets
supplémentaires appartenant éventuellement à la face contenant les sommets
A, B, C.
Définition — On définit le groupe I(P) des isométries conservant P. On
note R(P) le sous-groupe de ses rotations.
Remarque — I(P) est l’ensemble des isométries fixant les sommets de P.
Définition — Un polyèdre P est dit régulier si et seulement si son groupe
d’isométries I(P) agit transitivement sur les drapeaux.
Figure 3 — Le tétraèdre
Comme en dimension deux, cette définition est l’équivalent algébrique de la
définition géométrique qui nous est plus familière :
5
Proposition — Un polyèdre P est régulier si et seulement si toutes ses faces
sont des polygones réguliers isométriques et si les angles entres deux faces
adjacentes sont tous égaux.
Démonstration — Si P est régulier, les faces de P sont toutes isométriques par
action trasitive de I(P) sur celles-ci. De plus, ce sont des polyèdres réguliers
puisque I(P) agit transitivement sur les couples (A, AB). Enfin, étant transitif
sur les côtés, I(P) est donc transitif sur les couples non ordonnés de faces
adjacents. Une isométrie conservant les angles, les angles entre faces adjacentes
sont donc égaux.
On montrera la réciproque plus tard, en construisant tous les polyhèdres
issus de chacune des deux définitions, et en montrant qu’ils coincident.
Définition — On appelle angle dièdre d’un polyèdre régulier, l’angle entre
deux faces adjacentes.
Définition — Un polyèdre P est dit semi-régulier si ses faces sont régulières
et son groupe d’isométries I(P) agit transitivement sur les sommets.
Figure 4 — Exemple : le tétraèdre tronqué
Proposition — Soit P un polyèdre régulier. Il vérifie les propriétés suivantes :
(i) Chaque face de P est un polygone régulier.
(ii) Les seuls plans de symétrie de P sont les plans bissecteurs de deux côtés
adjacents, les plans bissecteurs de deux faces adjacentes et ceux médiateurs de
chaque côté.
(iii) Il existe un seul point O laissé fixe par I(P), appelé centre de P .
(iv) P est inscrit dans une sphère de centre O.
Démonstration — (i) a déjà été démontré.
Pour (ii), soit D = (B, BC, ABC...) un drapeau. Par définition, il existe trois
isométries transformant D respectivement en l’un des trois drapeaux adjacents
(C, BC, ABC...), (B, AB, ABC...) et (B, BC, BCD...). Ce sont nécessairement
des symétries de plans indiqués. Réciproquement, soit P un plan de symétrie
de P. Soit il passe par un côté, et c’est le plan bissecteur d’un couple de faces,
soit il passe par un sommet, et c’est le plan bissecteur d’un couple de côté. Soit
il coupe un côté, et est donc plan médiateur.
Pour (iii), le barycentre des sommets est fixe par toute isométrie de I(P), par
6
conservation des longueurs, d’où l’existence. Soit F l’intersecion des points fixes
des éléments I(P). C’est un sous-espace affine. Si ce n’est pas un point, alors
c’est nécessairement une droite ou un plan, et I(P) est soit un groupe diédral,
soit un groupe cyclique, donc P est un polygone ou un segment. D’où l’unicité.
(iv) Enfin, encore par action transitive de I(P) sur les sommets, ceux-ci sont
bien equidistants du centre de gravité O.
Définition — Soit P un polyèdre régulier. On note P ∗ , appelé polyèdre dual
de P, le polyèdre dont les sommets sont au centre des faces de P.
Remarque — Les sommets de P ∗ définissent bien un polyèdre puisqu’ils sont
inscrit sur une sphère. Mais la notion de polyèdre dual s’étend également aux
polyèdres non réguliers.
Proposition — Soit P un polyèdre régulier. On a I(P) = I(P ∗ ).
Démonstration — Toute isométrie conservant l’ensemble des faces de P conserve
également l’ensemble de leurs centres, donc I(P) ⊂ I(P ∗ ). Réciproquement,
une isométrie conservant l’ensemble des centres des faces de P conserve
également l’ensemble de ses sommets (équidistants des centres des faces, et à
distance donnée du centre).
Proposition — Soit P un polyèdre régulier, alors P ∗ est également un
polyèdre régulier.
Démonstration — Les faces, côtés et sommets de P correspondants de manière
bijective respectivement aux sommets, côtés et faces de son dual, cette correspondance inversant l’inclusion, on en déduit que les drapeaux de P et son dual
sont en bijection. Cette bijection préservant l’action de groupe, I(P) est transitif
sur les drapeaux P ∗ . Enfin, I(P) = I(P ∗ ).
Figure 5 — Le cube et son polyèdre dual, l’octaèdre
Définition — On appelle étoile d’un polyèdre régulier P chacune des faces de
son polyèdre dual P ∗ . Le polygone est défini à isométrie près, et noté Et(P).
Par exemple, l’étoile du cube est le triangle équilatéral {3}.
7
2.2
Le groupe d’isométries I(P)
La définition que nous avons donné d’un polyèdre régulier P implique,
comme on l’a vu, l’existence de plans de symétrie de P.
Ces plans découpent la sphère circonscrite en grands cercles, et la
décomposent en triangles sphériques isométriques (puisque isométriques par
couples adjacents). Chaque triangle a pour sommets la projection sur la
sphère d’un sommet du polyèdre, du centre d’une face et du milieu d’un
côté du polyèdre sphérique. A chacun de ses triangles est donc associé de
manière bijective un unique drapeau. Chaque triangle sphérique définissant un
unique trièdre, il est associé à une seule isométrie, et réciproquement, d’où la
proposition :
Proposition — On a #{drapeaux du polyèdre} = #{triangles} = #I(P).
On appelle triangle fondamental du polyèdre la classe d’équivalence d’un tel
triangle sphérique pour la relation d’isométrie. A chaque polyèdre régulier P
correspond donc un unique triangle fondamental, dont les angles sont du type
(π/p, π/q, π/2) avec p et q entiers. Les deux plans formant l’angle droit sont un
plan bissecteur de deux faces, et le plan médiateur du segment commun à ces
deux faces. On notera (p, q, 2) ce triangle fondamental.
Figure 6 — Le cube et son triangle fondamental (3, 4, 2)
Proposition — Soit P un polyèdre régulier. Les réflexions par les plans de
symmétrie de P engendrent I(P).
Lemme — Soit P un polyèdre, F1 F2 deux de ses faces. Il existe une suite de
faces de P deux à deux adjacentes rejoignant F1 à F2 .
Démonstration du lemme — Soit fi un point de Fi . Le nombre de sommets de
P étant fini, il existe un plan Π passant par f1 et f2 , mais par aucun sommet
de P. Π ∩ P est un polygone dont deux côtés adjacents appartiennent à deux
faces adjacentes de P.
8
Démonstration — Soit T dans I(P), D un drapeau de P, D0 son image par T .
Quitte à décomposer T en produit de réflexions, on peut supposer que D et D0
correspondent à deux triangles adjacents, c’est à dire que les deux drapeaux ne
diffèrent que par un élément : le sommet, le côté ou bien la face. Dans le premier
cas, T est la réflexion par le plan médiateur du côté. Dans le deuxième cas, c’est
la réflexion par le plan bissecteur des deux côtés, et dans le troisième, c’est la
réflexion de plan passant par le côté commun aux deux drapeaux.
On peut donner un résultat encore plus précis :
Proposition — Les trois réflexions r1 , r2 et r3 de plans formant les côtés d’un
représentant quelconque du triangle fondamental du polyèdre P engendrent
I(P).
Démonstration — Soit D0 le drapeau correspondant à un triangle ∆0 adjacent
au triangle ∆ choisit. Il suffit de montrer que les deux symétries de plan passant
par les côtés du triangle ∆0 sont combinaison des trois réflexions r1 , r2 et r3 , ce
que montre la figure suivante.
r1 r3 r1
r2
r1
Q
Q
Q r
r2
r3 r1 r3Q3
Q
r3 r2 r3QQ
r1
r2 r3 r2
Puisque le groupe I(P) est engendré par trois générateurs, on peut
représenter un groupe par un graphe à trois noeuds, dit de Coxeter . Les
noeuds représentent les générateurs. Entre deux noeuds, on note un entier p
représentant l’angle π/p entre les deux plans (ou encore la période du produit),
avec la convention que deux noeuds ne sont pas reliés si les plans correspondant
sont perpendiculaires. Le graphe de Coxeter du groupe du cube dont le triangle
fondamental est (4, 3, 2) est donc
s
2.3
s
4
3
s
Symbole {p, q} d’un polyèdre régulier
Définition — Soit P un polyèdre régulier, {p} le symbole de ses faces, q le
nombre de faces autour de chaque sommet. On définit par {p, q} le symbole de P.
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Remarque — S’il existe un polyèdre régulier de symbole {p, q}, alors il est
unique à similitude près.
Proposition — Soit P un polyèdre de symbole {p, q}. Alors le symbole du
dual P ∗ est {q, p}.
Démonstration —Les faces de P ∗ ont pour symbole {q}, et chaque sommet de
P ∗ est entouré des p sommets de P, centres de p faces.
Proposition — Soit P un polyèdre régulier, alors P ∗∗ = P à similitude près.
Démonstration — Si {p, q} est le symbole de P, alors le symbole de P ∗ est
{q, p}, donc P ∗∗ = P à similitude près.
Remarque — Deux polyèdres réguliers duaux {p, q} et {q, p} ont le même triangle fondamental (p, q, 2).
2.4
Classification des polyèdres réguliers
On a vu qu’à un polyèdre régulier P correspond un groupe d’isométries
I(P) généré par trois réflexions par rapport à des plans formant sur la sphère
circonscrite, un triangle fondamental (p, q, 2).
Réciproquement, étant donné un groupe fini d’isométries G, on peut
construire une figure invariante par G en prenant l’orbite d’un point arbitraire x sous l’action de G. En nous restreignant aux groupes générés par
trois réflexions, il nous suffit donc pour obtenir tous les polyèdres réguliers,
d’énumérer tous les triangles fondamentaux (p, q, 2) qui ’carrèlent’ la sphère,
puis d’en choisir un sommet.
Proposition — Les seuls triangles fondamentaux sont (2, 2, n), avec n ≥ 2,
(3, 3, 2), (4, 3, 2) et (5, 3, 2).
Démonstration — L’aire d’un triangle sphérique T = (p, q, 2) est donnée par la
formule de Girard A(T ) = π/p + π/q + π/2 − π. La condition A(T ) > 0 impose
sur p et q les valeurs ci-dessus. Réciproquement, montrons que ces triangles
carrèlent bien la sphère : choisissant un de ses sommets S, et nommons G le
groupe engendré par les trois réflexions dep lans formant les trois côtés du
triangle. La figure géométrique correspondant à l’orbite de S sous G est un
polyèdre invariant par G. Ses plans de symétrie découpent donc la sphère en
triangles isométriques (p0 , q 0 , 2) qui subdivisent le triangle (p, q, 2). Pour des
raisons d’aires, seul le triangle (3, 3, 2) peut être coupé en deux triangles (4, 3, 2).
Mais les générateurs de (3, 3, 2) ne peuvent engendré un élément d’ordre quatre,
donc (p, q, 2) = (p0 , q 0 , 2).
10
Figure 7 — les 4 triangles fondamentaux
Théorème — Les seuls polyèdre réguliers sont, à similitude près, le tétraèdre
{3, 3}, le cube {4, 3}, son dual l’octaèdre {3, 4}, le dodécaèdre {5, 3} et son dual
l’icosaèdre {3, 5}.
Démonstration — S’ils existent, ce sont clairement les seuls. Par dualité, il
suffit de montrer l’existence du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre. Il suffit également de construire le polyèdre sphérique correspondant, et même, de
n’en construire qu’une seule face à l’aide des triangles fondamentaux. La face
construite, les images par réflexions de celle-ci recouvriront nécessairement la
sphère sans s’entrecouper. Or, il est aisé de construire un triangle équilatéral,
un carré et un pentagone à partir des triangles fondamentaux respectifs (3, 3, 2),
(4, 3, 2) et (5, 3, 2), c’est à dire de construire un p−gone à partir d’une mosaı̈que
de triangles (p, q, 2). Il suffit pour cela de choisir le sommet à l’angle π/q et
d’appliquer p − 1 fois la rotation d’angle 2π/p correspondant à la composée des
deux réflexions par les plans faisant l’angle π/p du triangle.
Revenons à la démonstration de la proposition suivante
Proposition — Un polyèdre P est régulier si et seulement si toutes ses faces
sont des polygones réguliers isométriques et si les angles entres deux faces
adjacentes sont tous égaux.
Démonstration — Si P a toutes ses faces régulières isométriques de symbole
{m} et ses angles dièdres égaux. Soit n le nombre de faces ayant un sommet en
commun. Montrons que le couple (m, n) définit un unique polyhèdre à similitude
près. Il suffit pour cela de montrer que (m, n) n’autorise qu’un seul angle dièdre
possible entre deux faces adjacentes, car toutes les faces étant deux à deux
11
Le tétraèdre {3, 3}
Le cube {4, 3}
Le dodécaèdre {5, 3}
L’octaèdre {3, 4}
L’icosaèdre {3, 5}
Figure 8 — Les cinq polyèdres réguliers
adjacentes, on ne peut construire qu’un unique polyhèdre à partir d’un modèle
de face donné et un angle dièdre. Considérons un sommet, une petite sphère
centrée en ce sommet. Elle coupe P en un polygone sphérique S à n côtés
dont les angles sont les angles dièdres de P. Supposons qu’au couple (m, n)
correspondent deux polyhèdres, et donc deux tels polygones sphériques S1 et
S2 . On peut toujours supposer leurs côtés égaux, mais pas leurs angles. Or, dans
un polygone dont on fixe la longeur de tous les côtés sauf un, si on augmente
l’angle entre chaque côté, la longueur de ce dernier côté augmente également,
et inversement si les angles diminuent. Les angles d’un polygone dont les côtés
sont fixes ne peuvent donc ni tous augmenter, ni tous diminuer (lemme dû à
Steinitz [5] p. 235). Ce résultat restant valable pour les polygones sphériques, le
couple (m, n) définit un seul angle dièdre possible.
Cherchons les couples (m, n) possibles. La somme des angles entourant un
sommet ne peut atteindre 2π, donc
n.(π −
2π
) < 2π,
m
d0 où
1
1
1
+ >
m n
2
Il n’y a donc que cinq couples possibles (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5) et (5, 3), soit
cinq polyhèdres qui correspondent nécessairement aux cinq construit ci-avant,
car on a montré que leurs faces sont des polygones réguliers isométriques et les
angles entres deux faces adjacentes sont tous égaux.
12
2.5
Groupes finis de rotations de R3
On cherche ici à énumérer les groupes finis de rotations de R3 . Puisque
en dimension deux les groupes finis de rotations sont les sous-groupes de
rotations des groupes d’isométries des polygones réguliers, il est tout naturel de
considérer les sous-groupes de rotations des groupes d’isométries conservant les
polyèdres réguliers. On notera R({3, 3}) celui du tétraèdre, R({3, 4}) celui du
cube et de l’octaèdre, R({3, 5}) celui du dodécaèdre et de l’icosaèdre, R({n})
s
s
s
celui du n-gone, et R({2, n}) celui du groupe
n
Toutes ces figures étant uniques à similitude près, les groupes sont définis à
isomorphisme de groupe près. R({2, n}) est isomorphe à Dn , on l’appelera donc
le groupe diédral.
Théorème — Les seuls groupes finis de rotations de R3 sont, à isomorphisme
de groupe près, R({3, 3}), R({3, 4}), R({3, 5}), le groupe cyclique R({n})
d’ordre n, et le groupe diédral R({2, n}) d’ordre 2n.
Démonstration — Soit G un groupe fini de rotations de R3 . Considérons l’ensemble des axes des rotations de G. L’image d’un axe de rotation par une autre
rotation est également l’axe d’une rotation de G. Procédons par ordre :
(a) S’il n’y a qu’un axe de rotation, G est le groupe cyclique R({n}).
(b) S’il y a en deux, il sont nécessairement perpendiculaires, et correspondent à
des demi-tours. Mais leur composée est une rotation d’axe perpendiculaire aux
deux premiers. Il y en a donc au moins trois.
(c) S’il y a trois axes ou plus donc, considérons l’ensemble des triangles
sphériques formés par trois axes taillant la sphère. Le groupe G étant fini, on
peut en prendre un d’aire minimale non nulle, P QR. On note RP , RQ , RR des
rotations correspondantes, d’ordres respectifs p, q et r que l’on prend maximaux.
Montrons que l’angle Pb en P et p sont liés, et plus précisément que Pb = π/p.
L’angle Pb est plus petit que π/p, sinon il y a une rotation qui fait tomber l’un
des deux sommets Q, R à l’intérieur du triangle, ce qui contredit le caractère
minimal de l’aire du triangle. plus précisément, π/p est un multiple de Pb. Par
symétrie, le triangle est donc du type (pl, qm, rn) avec l, m et n entiers. Mais,
les seuls triangles de ce type qui ont une aire positive sont (2, 2, n), avec n ≥ 2,
(3, 3, 2), (4, 3, 2) ou (5, 3, 2). Deux des trois nombres pl, qm, et rn sont des entiers
premiers donc par exemple n = m = 1. Mais le produit RQ RR est une rotation
qui fixe l’axe passant par P , et d’angle 2Pb = 2π/lp d’où l = 1 par maximalité
de l’ordre de RP . P QR est donc du type (p, q, 2) avec p, q et 2 les ordres des
rotations RP , RQ , RR . On a donc démontré que R({p, q}) est un sous-groupe
de G. Les images par RP , RQ , et RR , c’est-à-dire par R({p, q}), de P QR et de
l’une de ses réflexions par un de ses côtés recouvrent la sphère. Ainsi il existe
une image de tout point de la sphère dans la région fondamentale formée des
13
deux triangles. Si R({p, q}) est un sous-groupe propre de G, il existe une rotation dont l’axe coupe la région fondamentale, mais pas en ses sommets, ce qui
contredit le caractère minimal de l’aire du triangle P QR. Alors G = R({p, q}).
Remarque — Ces groupes ne sont pas isomorphes entre eux, par cardinalité
par exemple, puis pour des raisons d’ordre. Chaque double triangle de la sphère
étant l’image de la région fondamentale par une rotation, on a
#R({p, q}) =
2π
A(sphère)
=
2.A(triangle)
π/p + π/q + π/2 − π
Les groupes sont donc de cardinaux respectifs 12, 24, 60, n, et 2n.
2.6
Classification des polyèdres semi-réguliers
Revenons à la manière dont on a construit les polyèdres réguliers. Etant
donné un triangle fondamental (p, q, 2), p > 2 on en a choisi un des deux sommets
qui ne soit pas à l’angle droit (le choix de l’autre sommet donne le polyèdre dual),
dont on a pris l’orbite sous l’action du groupe I({p, q}). Comme les côtés du
triangle sont les traces sur la sphères de trois plans de symétrie engendrant le
groupe I({p, q}), choisir un sommet revient à choisir celui de ces trois plans qui
ne contient pas le sommet. Au graphe du groupe, on rajoute un anneau autour
du noeud correspondant au générateur choisi. On notera par exemple le cube
de la manière suivante :
sf
s
s
4
3
Mais on peut généraliser cette construction : au lieu de choisir un sommet, on
peut très bien choisir un point sur le côté du triangle (que l’on prendra sur la
bissectrice de l’angle opposé pour assurer la régularité des faces). On marquera
alors d’un anneau les deux plans sur lequel ne figure pas le point. On peut aussi
le choisir à l’intérieur (à l’intersection des bissectrices, équidistant des côtés, ce
qui assure la réguarité des faces) ; le symbole du polyèdre sera alors le graphe
du groupe dont les trois noeuds sont marqués d’un anneau (voire figure 9).
p
%
%
%
%
%
q r%
2
rd
r
p
q
r
p
%
%
r
%
%
%
q %
2
rd
r
p
q
rd
p
%
%
%
% r
%
q %
2
rd
rd
p
q
rd
Figure 9 — Construction de Whythoff
Par cette méthode de construction, due à Whythoff, on obtient ainsi onze
polyèdres semi-réguliers, dits archimédiens (voire figure 10).
14
Le cuboctaèdre
rd
4
3
r
L’icosidodécaèdre
r
rd
r
5
3
r
Le tétraèdre tronqué
r
rd
rd
3
3
Le dodécaèdre tronqué
rd
r
rd
5
3
Le petit
rhombicosidodécaèdre
rd
rd
r
5
3
L’icosaèdre tronqué
r
rd
rd
5
3
L’octaèdre tronqué
r
rd
rd
4
3
Figure 10 — Les treize polyèdres archimédiens
Le Rhombicuboctaèdre
rd
r
rd
4
3
Le cube tronqué
rd
r
4
3
rd
Le grand
rhombicosidodécaèdre
rd
rd
rd
5
3
Le cuboctaèdre tronqué
rd
rd
rd
4
3
Le cube tordu
d
4
3
d
Le dodécaèdre tordu
d
d
d
5
3
d
Réciproquement, montrons qu’avec les prismes, anti-prismes, et deux
polyèdres dits ’tordus’, ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers à similitude
près. Soit P un polyèdre semi régulier, et I son groupe de symétrie, R le sous
groupe de ses rotations. On passe sur les cas où R est le groupe cyclique ou
diédral, ce qui conduirait facilement aux prismes et anti-prismes. Supposons
plutôt que R soit le groupe de rotations d’un polyèdre régulier. Deux cas se
présentent alors : soit P possède un plan de symétrie, soit il n’en possède pas.
(a) Si P possède un plan de symétrie, par composition, il possède également
tous les plans de symétrie du polyèdre régulier correspondant à R, et qui
découpent la sphère en triangles isométriques. Si l’on choisit un triangle, il ne
peut y figurer qu’un et un seul sommet S de P, puisque le cardinal des triangles
est celui du groupe, et qu’il agit transitivement sur les sommets. Alors S est
soit sur un sommet du triangle, soit sur un côté, ou encore à l’intérieure, et
précisément aux endroits indiqués ci-avant pour assurer la régularité des faces.
P est donc l’un des onze polyèdres issus de la construction précédente.
(b) Si P ne possède pas de plan de symétrie, supposons que I soit différent
de R. On a donc I = R ∪ {−rR} où r est une rotation telle que r2 ∈ R. r ne
peut être l’identité, car on a vu que comme tous les triangles fondamentaux ont
un angle droit, les groupes de rotations des polyèdres réguliers contiennent tous
un demi-tour D. Or −D est une réflexion. Alors, I 0 = R ∪ {rR} est également
un groupe de rotations dont R est un sous-groupe d’indice deux. R ne peut être
que R(3, 3), et r est une rotation d’ordre 4. I(3, 3) possède deux réflexions de
plans perpendiculaires s1 et s2 , et −1 peut être décomposé en produit de trois
réflexions s3 s1 s2 de telle manière que le plan de s3 contienne l’axe de r. On a
donc −rR = rs3 R où rs3 est une réflexions, ce qui est absurde.
Si P ne possède pas de plan de symétrie, I et R sont donc confondus. Choisissons un couple de triangles fondamentaux (p, q, 2) adjacents. Sur ce dernier, P
n’a donc qu’un seul sommet S, non pas sur les bords puisque P n’a pas de plan
de symétrie, mais à l’intérieur d’un des deux triangles. Les trois rotations d’axes
passant par les côtés P , Q et R du triangles envoient S sur respectivement Sp ,
Sq et S2 . La régularité des faces impose l’égalité des trois côtés SSi = 2xi sin π/i
où i parcourt (p, q, 2), et où xi est la distance de S au sommet i.
J
J
J
SP
J
PP
PP J
PP
J
PP S
i
J xi
J
J
J J
i
S est donc à l’intersection de trois cercles de rayons xi où i parcourt (p, q, 2),
lesquels rayons sont proportionnels, de rapports connus. N’existant qu’un seul
16
d
Le cube tordu
d
4
3
d
Le dodécaèdre tordu
d
d
d
4
3
Figure 9 — Les deux polyèdres semi-réguliers sans plan de symétrie
moyen de faire couper ces cercles en un point, S est parfaitement déterminé. Pour
chaque groupe de symétrie d’un polyèdre, P est bien uniquement déterminé. On
note ce polyèdre dit ’tordu’ en évidant les noeuds du graphe de Coxeter, pour
montrer qu’ils ne sont pas plan de symétrie de P :
d
p
d
q
d
3
3
d
d
d dont toutes les faces sont
On élimine le polyèdre
des triangles ayant un plan de symétrie. Les angles entre deux triangles sont
donc égaux, et il est régulier. R({3, 3}) étant de cardinal 12, il a douze sommets,
donc son dual est le dodécaèdre qui a douze faces : c’est donc l’icosaèdre. Le
fait que l’on puisse le construire à partir du groupe R({3, 3}) s’explique car
R({3, 3}) est un sous-groupe de I({3, 5}).
On obtient donc deux nouveaux polyèdres semi-réguliers, qui viennent clore
la liste (voire figure 9).
17
3
3.1
Polytopes réguliers de dimension quatre
Définitions, propriétés
Définition — On appelle polytope de dimension quatre P toute intersection
T
non vide et compacte d’un nombre fini de demi-espaces fermés. Soit Ri une
écriture minimale de P où Ri est un demi-espace de frontière l’hyperplan Hi .
On appelle cellule de P tout polyèdre Hi ∩ P. On appelle, faces, côtés et
sommets de P les faces, côtés et sommets des cellules de P.
Remarque — Avec cette définition, un polytope sera toujours convexe.
Remarque — Si P1 ...Pn sont n points d’une 3−sphère, n’étant pas sur un
même hyperplan, leur enveloppe convexe est un polytope convexe de sommets
P1 ...Pn . C’est le seul polytope ayant exactement pour sommets P1 ...Pn .
Définition —
On appelle drapeau d’un polytope, tout quadruplet
(A, AB, ABC..., Π) où Π est une cellule du polytope, et (A, AB, ABC...)
un drapeau de Π.
Remarque — On préfère la notation Π à celle ABCD... pour une cellule, car
étant donné une face ABC... et un sommet adjacent D, les points A, B, C, et
D n’appartiennent pas nécessairement à une même cellule.
On définit de la même manière qu’au chapitre un, un polytope régulier, et
son angle dièdre. Chacune de ses cellules est un polyèdre régulier. Il possède
un unique point O fixe par son groupe d’isométries I(P), et est inscrit dans
une 3−sphère de centre O. De même que pour les dimensions plus petites, on a :
Proposition — Un polytope P est régulier si et seulement si toutes ses
cellules sont des polyèdres réguliers isométriques et si les angles entres deux
cellules adjacentes sont tous égaux.
Définition — Soit P un polytope régulier, et x un sommet de P. On appelle
étoile de P notée Et(P) le polyèdre, unique à isométrie près, dont les sommets
sont les centres des faces partageant le sommet x.
Proposition — L’étoile d’un polytope régulier est un polyèdre régulier.
Proposition — Soit P un polytope régulier, et x un sommet de P. Le
polyèdre dont les sommets sont les centres des cellules partageant le sommet x
est, à similitude près, l’étoile de P.
Démonstration — Les centres des cellules qui ont x comme sommet étant sur
deux sphères, l’une centrée sur l’autre, il sont sur une 2−sphère. Il s’agit bien
d’un polyèdre. Notons le Q. Un sommet étant entouré d’autant de faces que de
cellules, il suffit de montrer la régularité. I(P) étant transitif sur les drapeaux,
18
il l’est en particulier sur ceux ayant x comme sommet, que l’on peut noter
(x, Πwyz , Πyz , Πy ) où Πwyz est le côté issu de x communs aux trois cellules de
centre y, z et w, Πyz la face communes aux deux cellules de centre y et z, et
Πy la cellule de centre y. Le sous-groupe G0 de I(P) qui stabilise x est donc
transitif sur les drapeaux (y, yz, yzw...) de Q. G0 est clairement un sous-groupe
de I(Q) de cardinal supérieur ou égal à l’ensemble des drapeaux de Q, donc
G0 = I(Q).
Définition — Soit P un polytope régulier. On note P ∗ , appelé polytope dual
de P, le polytope dont les sommets sont au centre des cellules de P.
Proposition — Soit P un polytope régulier, alors P ∗ est également un
polytope régulier.
Démonstration — Par action transitive de I(P) sur les cellules de P, les sommets de P ∗ sont sur une sphère, donc P ∗ est bien défini en tant que polytope.
Mieux, les cellules et faces de P correspondants de manière bijective respectivement aux sommets et côtés de son dual, on en déduit que I(P) est transitif
sur les drapeaux P ∗ . Les sommets de P ∗ étant des barycentres de sommets de
P, et réciproquement, on a I(P) = I(P ∗ ).
Proposition — Soit P un polytope régulier, alors P ∗∗ = P.
Démonstration — P ∗ a ses sommets aux centres des cellules de P. Un sommet
de P possède n cellules adjacentes, et est équidistant de n sommets de P ∗ , qui
forment une cellule de P ∗ . En faisant agir I(P) sur l’hpyerplan ainsi défini,
on obtient un polytope dont les sommets sont bien ceux de P ∗ (un sommet
S de P ∗ appartient à autant d’hyperplans que de sommets de P l’entourant.
Réciproquement, soit S l’intersection de quatre hyperplans libres, alors il est invariant par les quatre transformations qui les ont engendré : c’est nécessairement
le centre d’une cellule de P). Par unicité, il s’agit donc bien de P. Comme
I(P) = I(P ∗ ), toutes les cellules de P ∗ ont pour centre un sommet de P.
3.2
Symbole {p, q, r} d’un polytope régulier
Définition — Soit P un polytope régulier, dont les cellules ont pour symbole
{p, q}, et soit r le nombre de cellules partageant un côté donné. On définit par
{p, q, r} le symbole de P.
Remarque — S’il existe un polytope régulier de symbole {p, q, r}, il est unique
à similitude près.
Proposition — L’étoile d’un polytope de symbole {p, q, r} a pour symbole
{q, r}.
19
Démonstration — En remarquant que ’l’étoile de la cellule’ est ’la face de
l’étoile’, on conclut qu les faces de l’étoile de P ont pour symbole {q}. Qui
plus est, un côté de P est entouré de r cellules, dont les centres forment des
sommets de P ∗ . Ces r points sont coplanaires et forment une face d’une cellule
de P ∗
Proposition — Soit P un polytope régulier de symbole {p, q, r}. Alors le
symbole du dual P ∗ est {r, q, p}.
Démonstration — D’après la dernière proposition les faces de P ∗ ont pour symbole {r, q}, donc le symbole de P ∗ est {r, q, α}. Le biudual P a donc pour
symbole {α, q, β}. D’où α = p.
3.3
Classification des polytopes réguliers
Lemme — L’angle dièdre α d’un polyèdre P de symbole {p, q} est donné par
la formule
cos π/q
α
sin =
2
sin π/p
Démonstration — On peut toujours supposer que les côtés de P sont plus grand
que un. Considérons un sommet, une petite sphère de rayon un centrée en ce
sommet. Elle coupe P en un polygone sphérique S à q côtés de longeur commune
π − 2π
p , dont les angles sont les angles dièdres de P. Considérons un côté de S,
A son milieu, B un sommet et C le centre de S. Le triangle sphérique ABC
b et C
b mesurent respectivement
est rectangle en A, et ses deux autres angles B
et
π
q.
_
− πp . Il suffit alors d’appliquer au triangle ABC
b = cos c. sin B.
b
rectangle en A la formule de trigonométrie sphérique cos C
α
2
De plus, c =AB=
π
2
Théorème — Les seuls polytope réguliers sont, à similitude près, {3, 3, 3},
{3, 3, 4}, {4, 3, 3}, {3, 4, 3}, {3, 3, 5} et {5, 3, 3}.
Démonstration — Soit P un polytope régulier de symbole {p, q, r}. Ces cellules et ses étoiles étant des polyèdres réguliers, il n’y a que onze symboles
possibles pour P. De plus, la condition qu’autour d’un côté de P doivent s’arranger r polyèdres adjacents d’angle dièdre α impose 2π > r.α, c’est-à-dire
sin(π/p) sin(π/r) > cos(π/q). Seuls les six symboles ci-dessus satisfont cette
condition.
20
Références
[1] S.M. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press,
1991.
[2] S.M. Coxeter, Regular Polytopes, Collier-Macmillan, New-York, 1963.
[3] M. Berger, Géométrie, 3, convexes et polytopes, polyèdres régulirs, aires et
volumes, Cedic\Fernand Nathan, 1978.
[4] P. du Val, Homographies quaternions and rotations, Oxford University Press,
1964
[5] P.R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1997.
21