Notation. On appelle nombres de Fermat les nombres F n = 2 2 + 1 où n . n Partie 1 (un peu d’algorithmique) 1. Ecrire un algorithme en langage CASIO qui affiche les 8 premiers nombres de Fermat. (L’écrire sur votre feuille). 2. Conjecturer le chiffre des unités de F n suivant l’entier n. 3. Démontrer que pour tout n de , F n + 1 – 1= (F n – 1) 2. 4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 2, 10 divise F n – 7. En déduire le chiffre des unités de F n. Partie 2 (Etude de la primalité de F 5 ) 1. Sachant que 641 = 5 4 + 2 4 = 5 × 2 7 + 1, démontrer que 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28. 2. Démontrer que 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1. 3. Vérifier que F 5 = 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1). En déduire que 641 divise F 5. Que venez-vous de démontrer ? Partie 3. (deux nombres de Fermat sont premiers entre eux). n 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, F n + p – 1 = ( F p 1 ) 2 où p est un entier naturel fixé. 2. a. Si q R – {1}, et N *, rappeler la valeur de la somme : 1 + q + q 2 + … + q 2 N – 1. b. Soient a * et N *, en remplaçant dans la formule précédente q par 1 – a, démontrer que a divise (a – 1) 2 N – 1. c. Déduire de la relation précédente que F p divise F p + n – 2 pour p et n entiers naturels quelconques. d. Soit maintenant d un diviseur commun de F n et F p pour p et n entiers naturels quelconques, montrer que p divise 2. e. Déduire de tout ce qui précède que deux nombres de Fermat distincts n’ont pas de diviseurs communs (autre que 1). Remarque : on dit que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. Partie 4 Justifier les affirmations suivantes : 1. Si p n diviseur premier de F n et p n + 1 un diviseur premier de F n + 1 alors p n ≠ p n + 1. 2. La suite des nombres de Fermat est strictement croissante et tend vers + ∞. 3. Déduire du 1 et 2 qu’il y a une infinité de nombres premiers. CORRECTION Partie 1 (un peu d’algorithmique) 1. La machine affiche : Programme For 0 N to 8 2^(2^N) + 1 Next 2. n Fn 0 3 1 5 2 17 3 257 4 65537 5 4294967297 6 18446744073709551617 7 340282366920938463463374607431768211457 8 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 9 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690 031858186486050853753882811946569946433649006084097 Apparemment si n 2, le chiffre des unités est 7. 3. n F n – 1 = 2 2 donc (F n – 1) 2 = 2 2 n 2 22 n 2 22 n 1 = F n + 1 – 1. 4. Initialisation : F 2 = 17 donc le chiffre des unités de F 2 est 7. Hérédité : Montrons que pour tout n de , n 2, si le chiffre des unités de F n est 7 alors le chiffre des unités de F n + 1 est 7. 10 divise F n – 7 donc il existe un entier naturel k tel que F n = 10 k + 7 F n + 1 – 1 = (F n – 1) 2 = (10 k + 6) 2 = 100 k 2 + 120 k + 36 F n + 1 = 100 k 2 + 120 k + 37 = 100 k 2 + 120 k + 30 + 7 F n + 1 = 10 (10 k 2 + 12 k + 3) + 7 donc F n + 1 – 7 = 10 (10 k 2 + 12 k + 3) 10 k 2 + 12 k + 3 est un entier naturel donc 10 divise F n + 1 – 7 donc le chiffre des unités de F n + 1 est 7. Partie 2 (Etude de la primalité de F 5 ) 1. 5 4 = 641 – 2 4 donc 2 32 + 5 4 × 2 28 = 2 32 + (641 – 2 4) × 2 28. 32 2 + 5 4 × 2 28 = 2 32 + 641 × 2 28 – 2 4 × 2 28 or 2 4 × 2 28 = 2 32 donc 2 32 + 5 4 × 2 28 = 641 × 2 28 donc 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28. 2. 5 4 × 2 28 – 1 = (5 2 × 2 14 ) 2 – 1 = (5 2 × 2 14 – 1 ) (5 2 × 2 14 + 1 ). 4 28 5 × 2 – 1 = [(5 × 2 7 ) – 1 ] (5 2 × 2 14 + 1 ). 5 4 × 2 28 – 1 = (5 × 2 7 – 1) (5 × 2 7 + 1) (5 2 × 2 14 + 1 ). (5 × 2 7 + 1) (5 2 × 2 14 + 1 ) est un entier donc 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1. 5 3. F 5 = 2 2 + 1 = 2 32 + 1 = 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1). 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28. 641 = 5 × 2 7 + 1 et 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1 donc 641 divise 4 × 2 28 – 1. 641 divise donc la somme de ces deux nombres donc 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1). 641 divise F 5. F 5 ≠ 641 donc F 5 admet un diviseur autre que 1 et lui-même donc F 5 n’est pas premier. Partie 3. (deux nombres de Fermat sont premiers entre eux). 1. n Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, F n + p – 1 = ( F p 1 ) 2 où p est un entier naturel fixé. n 0 Initialisation : si n = 0, ( F p 1 ) 2 = ( F p 1 ) 2 F p 1 F p 0 1 . La propriété est vérifiée pour n = 0. n Hérédité, montrons que pour tout entier n, si F n + p – 1 = ( F p 1 ) 2 alors F n + p + 1 – 1 = ( F p 1 ) 2 p F p – 1 = 2 2 donc ( F p 1 ) 2 n1 = 22 p 2 n1 22 p 2 n1 n1 2 n p 1 = F n + p + 1 – 1. La propriété est initialisée et est héréditaire donc pour tout n de , F n + p – 1 = ( F p 1 ) 2 n q 2N 1 q 1 2. a. 1 + q + q2 + … + q2N–1 = 2. b. Si q = 1 – a alors 1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 = ( 1 a) 2 N 1 1 a 1 donc (1 – a) 2 N – 1 = – a [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ] (1 – a) 2 = (a – 1) 2 donc (1 – a) 2 N = (a – 1) 2 N donc (a – 1) 2 N = – a [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ] – [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ] Z donc a divise (a – 1) 2 N – 1. 2. c. n n F p + n – 1 = ( F p 1 ) 2 donc F p + n – 2 = ( F p 1 ) 2 – 1 n d’après la question précédente, 2 n étant un entier pair alors 2 n est de la forme 2 N donc F p divise ( F p 1 ) 2 – 1 n F p + n – 2 = ( F p 1 ) 2 – 1 donc F p divise F p + n – 2. 2. d. d est un diviseur commun à F n et à F p donc d divise F p or F p divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – 2. p p F p + n – 1 = ( F n 1 ) 2 donc F p + n – 2 = ( F n 1 ) 2 – 1 p D’après la question 2. b., 2 p étant un entier pair alors 2 p est de la forme 2 N donc F n divise ( F n 1 ) 2 – 1 p F p + n – 2 = ( F n 1 ) 2 – 1 donc F n divise F p + n – 2. d divise F p or F n divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – 2. d divise F n + p et d divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – (F p + n – 2) soit d divise 2. 2. e. Tout diviseur positif commun à F n et à F p est un diviseur de 2 donc est soit égal à 1 ou à 2. F n est un nombre impair donc d ≠ 2 donc d = 1. Deux nombres de Fermat distincts n’ont pas de diviseur commun positif autre que 1 PARTIE 4 1. D’après la question 1 de la partie 3, F n + 1 – 1 = (F n – 1) 2 F n + 1 = F n 2 – 2 F n + 2 = F n (F n – 2) + 2 Soit p n un diviseur premier de F n, F n est un nombre impair donc p n ≠ 2 donc p n est un nombre premier et p n 3 p n divise F n (F n – 2), si p n divise F n + 1 alors p n divise F n + 1 – F n (F n – 2) donc p n divise 2 Ce qui est impossible car p n 3 donc tout diviseur premier de F n n’est pas un diviseur de F n + 1 donc p n ≠ p n + 1. 2. F n + 1 – F n = F n (F n – 3) + 2 n n 1 donc 2 2 2 2 donc F n 2 2 – 1 soit F n 3 donc F n (F n – 3) + 2 2 donc F n + 1 – F n > 0 La suite (F n ) est strictement croissante. n lim 2 n = + ∞ donc lim 2 2 = + ∞ donc lim F n . n n n 3. Supposons que le nombre de nombres premiers soit fini, Il existerait donc p 1, p 2 … p n nombres premiers distincts. Soit N = p 1 × p 2 × … × p n + 1 N est un entier naturel supérieur à chacun des nombres premiers donc N n’est pas premier Il existe donc un nombre premier qui divise N or aucun des nombres p 1, p 2 … p n divise p 1 × p 2 × … × p n + 1 donc il existe un nombre premier qui ne fait pas partie de la suite donnée donc la suite des nombres premiers n’est pas finie.