Compléments d`arithmétique sur Z

Compléments d’arithmétique sur Z
Dans ce chapitre nous alons exposer des résultats classiques mais plus spécialisés qui seront utiles
dans les applications cryptographiques que nous étudierons par la suite.
Théorème 1 Petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier alors tout entier n véri…e
np
n [p]
Démonstration. Vue en exercice. C’est un raisonnement par récurrence sur n (p …xé) en
utilisant la formule (a + b)p ap + bp [p].
Proposition 2 Soit n un entier et soit x_ 2 (Z=nZ) on a
x_ '(n) = 1_
_ x;
Démonstration. Considérons l’ensemble des puissances de x_ : X = 1;
_ x_ 2 ; : : : comme X est
p
q
…ni (car inclus dans Z=nZ) il existe deux entiers p et q tels que x_ = x_ et donc il existe un entier
m tel que x_ m = 1_ (si p > q on peut prendre m = p q) car x_ est inversible. Soit d l’entier minimal
_ (d s’appelle l’ordre de x). alors X s’écrit 1;
_ x;
pour lequel on a x_ d = 1.
_ x_ 2 ; : : : ; x_ d 1 et X contient
d éléments distincts.
Si X = (Z=nZ) alors ils ont le même nombre d’éléments et d = ' (n) ce qui donne le résultat.
Sinon il existe y_ 2
= X, on note yX
_ = y;
_ y_ x;
_ y_ x_ 2 ; : : : ; y_ x_ d 1 . Tout d’abord notons que yX
_
r
s
r
s
contient d éléments distincts, en e¤et si y_ x_ = y_ x_ alors x_ = x_ (car y_ est inversible) ce qui est faux
par dé…nition de X. D’autre part yX
_ \ X = ?, en e¤et si il existait r et s tels que y_ x_ r = x_ s alors
on aurait y_ = x_ s r et donc y_ appartiendrait à X.
2
_
Si (Z=nZ) = X [ yX
_ alors ' (n) = 2d et donc x_ '(n) = x_ 2d = x_ d = 1_ 2 = 1.
Sinon on prend un élément z_ de ceux qui restent et on montre de même que X [ yX
_ [ zX
_ contient
3d éléments distincts et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait pris tous les élément de (Z=nZ) et donc
m
_
il existe un entier m tel que ' (n) = md et donc x_ '(n) = x_ md = x_ d = 1_ m = 1.
Remarque 3 Cette proposition est un cas particulier du résultat suivant :
Si (G; ) est un groupe …ni de cardinal égal à n alors pour tout g de G on a
gn = 1
La preuve de ce résultat peut s’obtenir de façon similaire à la preuve ci-dessus.
En fait, on même démontré un résultat plus fort. On appelle l’ordre de g le plus petit entier k tel
que g k = 1. On vient de voir que l’ordre de g divise le cardinal du groupe.
Remarque 4 L’hypothèse que x_ soit inversible est importante, si on prend 3_ dans Z=9Z par exemple.
_
On a 3_ 2 = 0_ donc 3_ '(9) = 0.
1
Théorème 5 Théorème des restes chinois. Soit n = n1 n2
deux à deux premiers entre eux. Alors le système d’équation
8
>
x a1 [n1 ]
>
>
< x a2 [n2 ]
..
>
.
>
>
: x a [n ]
k
k
nk avec les nombres (ni )1
i k
admet une unique solution dans Z=nZ et celle ci se calcule par la formule
x
où qi =
n
n1
0
0
a1 q1 q1 + a2 q2 q2 +
0
+ ak qk qk [n]
0
et qi est l’inverse de qi dans Z=ni Z.
Démonstration. Tout d’abord notons que qi ^ ni = 1 (car les nombres (ni )1 i k sont premiers
entre eux) et donc qi est inversible dans Z=ni Z.
On va montrer que x est une solution du système, donc que pour tout i on a x ai [ni ].
0
0
Si i 6= j alors qj est un multiple de ni donc qj 0 [ni ] donc x ai qi qi [ni ] or par dé…nition de qi
0
on a qi qi 1 [ni ] donc x ai [ni ].
Montrons maintenant l’unicité de la solution. Si x et y sont deux solutions du système alors pour
tout i on a
x y 0 [ni ]
donc x y est multiple de tous les entiers ni donc x
sont premiers entre eux donc
x
y
x
y est multiple du produit des ni car ceux-ci
0 [n]
y [n]
Ce qui conclut la preuve.
Exemple 6 Considérons le problême suivant :
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils
décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait
trois pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4
pièces. Survient alors un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage
laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer ce dernier
s’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
Pour trouver la solution il faut résoudre le système :
8
< x 3 [17]
x 4 [11]
:
x 5 [6]
Alors n = 1122, q1 = 66, q2 = 102 et q3 = 187.
0
Donc q1 15 [17]
2 [17] donc q1 = 9 [17] = 8 [17],
0
q2 3 [11] donc q2 = 4 [11]
0
q3 1 [6] donc q3 = 1 [6]
et x = 3 66 8 + 4 102 4 + 5 187 1 [1122] = 1584 + 1632 + 935 = 4151 [1122] = 785 [1122].
Remarque 7 Soit m et n deux entiers positifs premiers entre eux. Soit
dans Z=m Z Z=n Z dé…nie par
x
x
(x) = (a; b) où
l’application de Z=mn Z
a [p]
b [q]
Le théorème précédent nous dit que pour tout couple (a; b) il existe un unique antécédent par ,
et donc que est bijective.
Notons que l’on peut dé…nir une addition et une multiplication sur Z=m Z Z=n Z, en faisant les
opérations termes à termes. On obtient une structure d’anneau sur Z=m Z Z=n Z et
est alors
compatible avec cette structure, c’est à dire
(x + y) =
(xy) =
On dit
(x) + (y)
(x) (y)
est un isomorphisme d’anneaux entre Z=mn Z et Z=m Z
Z=n Z
Exemple 8 Si p et q sont deux nombres premiers
' (pq) = (p
1) (q
1)
Corollaire 9 ' désignant la fonction indicatrice d’Euler, si m ^ n = 1 alors on a
' (mn) = ' (m) ' (n)
Démonstration. Un élément inversible de Z=mn Z correspond par à un couple (a; b) d’éléments
inversibles comme ' (m) est le nombre d’éléments inversibles dans Z=m Z et ' (n) est le nombre
d’éléments inversibles de Z=n Z le nombre de ces couples est ' (m) ' (n) d’où le résultat.
Proposition 10 Soit n 2 N notons sa décomposition en facteurs irréductibles :
n = p1 1 p2 2
Alors on a
' (n) = n
p1
1
p1
pk k
p2
1
pk 1
pk
p2
Démonstration. D’après la propriété de multiplicativité de ' il su¢ t de montrer la formule
pour n = p où p est premier.
Or dans ce cas le calcul est très simple, en e¤et un nombre est premier avec p si et seulement si
il n’est pas divisible par p. Entre 1 et p il y a p 1 multiples de p (on les obtient en multipliant par
p tous les nombres de 1 à p 1 ) et donc
' (p ) = p
ce qui conclut la démonstration.
p
1
=p
1
1
p
=p
p
1
p