En début de marché, deux marchands vendent une même variété
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Niveau : 1STMG Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 Taux d’évolution / Approfondissement correction Approfondissement 1 Quelle offre est la plus avantageuse ? En début de marché, deux marchands vendent une même variété de pomme de terre au même prix. En fin de marché, un premier vendeur de pommes de terre propose « Ici, 20% de produit en plus ». Son voisin, pour la même variété de pommes de terre propose « Ici, 20% de remise ». Vaut-il mieux acheter chez le premier vendeur ou chez son voisin ? Raisonnons sur l’achat d’un kilogramme de pomme de terre à un prix de x euros. Le premier marchand propose 20% de produit en plus : Le client aura alors 1,2 kg pour un prix de x euros. Le prix au kg sera alors de : 𝑥 1,2 = 10𝑥 12 5 = x 6 Le marchand voisin propose 20% de réduction et donc le prix final pour 1 kilogramme sera de (1 – 0,20)x Soit de 0,8x. 5 5 6 6 Et comme > 0,8 on a aussi x > 0,8x et le prix au kilogramme chez le premier marchand est donc plus élevé que chez le marchand voisin. Conclusion : Il vaut donc mieux acheter chez le marchand voisin. Approfondissement 2 Cours d’un action… Une valeur boursière subit les variations suivantes : +4%, -1%, +2%, 0%, +1%, -3%, +5%. 1. Si sa valeur d'origine est 53 euros, comment peut-on calculer rapidement sa valeur finale ? On utilise ici les coefficients multiplicateurs associés aux 7 évolutions successives de la valeur : k1 = 1 + k6 = 1 - 4 100 3 100 = 1,04 ; k2 = 1 = 0,97 ; k7 = 1 + 1 100 5 100 = 0,99 ; k3 = 1 + 2 100 = 1,02 ; k4 = 1 + 0 100 = 1 ; k5 = 1 + 1 100 = 1,01 = 1,05 Et on calcule alors : 53 1,04 0,99 1,02 1 1,01 0,97 1,05 = 57,26 Conclusion : Après les 7 évolutions, la valeur atteint 57,26 €. 2. Comment calculer le pourcentage d'augmentation global entre la première et la dernière valeur ? t= t= 𝑦2 −𝑦1 𝑦1 avec ici y2 – y1 = 53 et y2 = 57,26 57,26−53 53 0,080 ou encore 8,0%. Conclusion : le taux d’évolution global de la valeur est donc de 8,0 %. Taux d’évolution / Approfondissement - correction 1 Approfondissement 3 M. Prévoyant, le retour. M. Prévoyant projette d’acheter un véhicule coutant 20 000 € au début de l’année 2022. Il décide alors de placer un capital C au 1er janvier 2017 au taux annuel de 4,5% afin d’obtenir 20 000 € au 1er janvier 2022. Quel est le capital C que M. Prévoyant doit placer au 1er janvier 2017 ? On part ici de la valeur finale correspondant au capital que M. Prévoyant veut obtenir au début de l’année 2022 , soit 20 000 €, et on utilise le coefficient multiplicateur associé à la situation : k = 1 + 4,5 100 = 1,045. On utilise ici un pourcentage indirect (on remonte le temps !) et il faut diviser la valeur 20 000 par le coefficient k = 1,045 autant de fois que le nombre d’années : c’est-à-dire 5 fois. On calcule alors : 20 000 1,045 1,045 1,045 1,045 1,045 = 20 000 1,0455 = 15 670,53 € (on arrondit ici au centime supérieur pour être sûr d’atteindre le capital de 20 000 €). Conclusion : M. Prévoyant doit placer un capital de 15 670,53 au 1er janvier 2017 afin d’obtenir 20 000 € au début de l’année 2022. Approfondissement 4 Des différences de point de vue… Un employé affirme que son patron gagne 45% de plus que lui. Son patron affirme quant à lui que son employé gagne 31% de moins que lui. Explique par un calcul que les deux personnes ont raison ! Appelons y1 le salaire de l’employé et y2 le salaire du patron. Du point de vue de l’employé : il affirme que son patron gagne 45% de plus que lui : En utilisant le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 45% on a alors : y2 = (1 + 45 100 )y1 soit y2 = 1,45y1 Du point de vue du patron : il affirme que son employé gagne 31% de moins que lui : En utilisant le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 31% on a alors : y1 = (1 - 31 100 )y2 soit y1 = 0,69y2 Le problème est de savoir si on les relations y2 = 1,45y1 et y1 = 0,69y2 sont équivalentes. 𝑦 2 Or y2 = 1,45y1 y1 = 1,45 (rappel : le symbole traduit une équivalence et se traduit par si et seulement si) Et 1 1,45 0,69 et on a bien l’équivalence y2 = 1,45y1 y1 = 0,69y2 Conclusion : Les deux personnes ont raisons ! Remarque : Une autre méthode aurait été de calculer le taux réciproque d’une augmentation de 45% et de montrer qu’il vaut -31% Taux d’évolution / Approfondissement - correction 2 Approfondissement 5 Une publicité mensongère ? TVA à taux réduit. 5,5% au lieu de 20% Devenez propriétaire aujourd’hui. -14,5% sur votre acquisition immobilière Un promoteur immobilier a réalisé la publicité ci-dessus et affirme que, puisque le taux de TVA habituellement à 20% est réduit à 5,5%, alors les prix diminuent de 14,5%. a) En prenant un appartement à 150 000 € hors taxe, calculer le prix TTC avec le taux normal puis avec le taux réduit. En utilisant le taux normal de 20% : on calcule le prix TTC : 150 000 (1 + En utilisant le taux réduit de 5,5 % : on calcule le prix TTC : 150 000 (1 + 20 100 5,5 100 ) = 180 000 € ) = 158 250 € b) Calculer alors le taux d’évolution du prix entre le montant au taux normal et au taux réduit. On calcule alors le taux d’évolution avec y1 = 180 000 et y2 = 158 250 Taux d’évolution t = t= 158 250−180 000 180 000 𝑦2 −𝑦1 𝑦1 -0,121 ou encore -12,1%. Conclusion : le taux d’évolution entre le montant au taux normal et au taux réduit vaut -12,1%. c) Le promoteur doit-il corriger sa publicité ? La publicité annonce une baisse de 14,5% qui est très ambigüe car sur le montant de l’acquisition la baisse n’est que de 12,1%. La publicité peut être corrigée de 2 manières : « -14,5% sur le taux de TVA » ou « -12,1% sur le montant normal de votre acquisition ». Approfondissement 6 Un capital doublé… au bout de combien d’année ? Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 3,5%. a) Quel est le capital obtenu au bout de 2 ans ? Le coefficient multiplicateur associé à la situation est k = 1 + 3,5 100 = 1,035. Et au bout de 2 ans le capital disponible est de 2 000 1,035² = 2 142,45 € Taux d’évolution / Approfondissement - correction 3 b) A l’aide de la calculatrice, trouver le nombre d’année nécessaire pour que le capital double. On utilise ici la calculatrice en calculant 2 000 1,035n pour différente valeur de n afin de trouve la première valeur de n qui permet d’obtenir un résultat supérieur à 4 000 € (capital doublé). Et on trouve n = 21 : 2 000 1,03521 = 4 118,86 Conclusion : Il faut attendre 21 années pour voir le capital de 2 000 € doubler avec un taux annuel de 3,5%. Approfondissement 7 Promotion dans un hypermarché. Sur un ensemble de produits deux supermarché propose les promotions suivantes : HYPERMARCHE LA BONNE AFFAIRE HYPERMARCHE PRIX DE OUF Du 1er septembre au 15 septembre : Du 1er septembre au 15 septembre : Linge de maison : prenez 4 produits pour le prix de 3 ! Linge de maison : 30% sur tous les produits ! Dans quel hypermarché vaut-il mieux allez acheter du linge de maison ? Appelons x le prix unitaire normal d’un produit (avant la promotion). Avec l’hypermarché la bonne affaire : On paie un montant de 3x pour 4 produits. Le nouveau prix unitaire est donc de 3𝑥 4 = 0,75x. Ce qui correspond à un taux d’évolution t = 0,75 – 1 = -0,25 ou encore -25%. L’hypermarché la bonne affaire propose donc en fait une réduction de 25% sur le linge de maison. L’hypermarché prix de ouf est donc plus intéressant avec une réduction de 30%. Conclusion : Il vaut mieux acheter du linge de maison dans l’hypermarché prix de ouf. Approfondissement 8 Un journaliste parle de pourcentage… Après avoir regardé la vidéo sur le site de la classe, relève les deux erreurs commises par le journaliste et propose une correction des chiffres annoncés par ce dernier (Reprend notamment l’exemple concret donné par le journaliste). Première erreur : Le journaliste affirme qu’il ne faut pas sortir de Polytechnique pour comprendre que 5 augmentations successives de 6% cela correspond à une hausse de 30%. Ceci est faux ! En utilisant le coefficient multiplicateur associé à cette situation k = 1 + multiplicateur unique sur les 5 années : k’ = (1,.06)5 1,338 6 100 = 1,06, on calcule le coefficient Cela correspond alors à un taux global de 1,338 – 1 = 0,338 ou encore 33,8%. Donc 5 augmentations successives de 6% cela correspond à une hausse de 33,8% ! Taux d’évolution / Approfondissement - correction 4 Deuxième erreur : L’exemple concret proposé par le journaliste : une facture EDF de 693€ en 2012 va passer à 900 € en 2017. Le taux d’évolution correspondant à cet exemple est t = t= 900−693 693 𝑦2 −𝑦1 𝑦1 avec ici y1 = 693 et y2 = 900 0,299 ou encore 29,9%. Conclusion : le taux d’évolution global de l’exemple proposé correspond alors à environ 30%. Ceci est erroné car en fait on a vu que la hausse réelle est de 33,8%. Pour arriver à une facture de 900 € en 2017, le journaliste aurait dû calculer 900 1,338 = 672,65 € comme montant de facture en 2012 (arrondir à 673 € pour simplifier l’exemple). Taux d’évolution / Approfondissement - correction 5
