TD1. Représentations linéaires

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
2007-08
Algèbre approfondie
Master de Mathématiques, 2e semestre
TD1. Représentations linéaires
Exercice 1
Soit W un C-espace vectoriel de dimension #G. Vérier qu'il admet une base de la forme {eh , h ∈
G}. On dénit l'application regG : G → GL(W ) par
regG (g)(eh ) = egh .
a)
b)
c)
Montrer que regG est une représentation linéaire de G. C'est la représentation régulière de G.
P
Soit H le sous-espace de W engendré par le vecteur G eg . Montrer que H est une sousreprésentation de W , isomorphe à la représentation unité 1G : G → C× , g 7→ 1.
Soit V un espace de représentation de G, contenant un vecteur v tel que {g(v), g ∈ G} soit une
base de V . Montrer que V est isomorphe à regG .
Exercice 2
Soit ABC un triangle équilatéral. On fait agir le groupe S3 des permutations de l'ensemble à trois
éléments S = {A, B, C} sur les sommets du triangle.
1. À quelle transformation géométrique correspond la transposition (A B) ? le 3-cycle (A B C) ?
2. On dénit la représentation de permutation ρ de S3 en choisissant un C-espace vectoriel V de
dimension 3, de base B = {eA , eB , eC } et en posant
ρ(σ)(eS ) = eσ(S) ,
pour tous σ ∈ S3 , S ∈ S .
a) Donner les matrices dans la base B des applications ρ(A B) et ρ(A B C).
b) Calculer les composées (A B C)(A B) et (A B)(A B C) ; en déduire les matrices dans la base
B des applications ρ(A C) et ρ(B C).
c) Déterminer les matrices dans la base B des images par ρ des autres éléments de S3 .
Exercice 3
Soit G un groupe ni. On considère l'ensemble V = CG des applications à valeurs complexes
dénies sur G.
1. Montrer que V , muni des opérations usuelles sur les applications, est un espace vectoriel sur
C ; en déterminer une base.
2. a) Soient V V l'ensemble des applications de V dans lui-même et ρ : G → V V l'application
dénie par
ρ(g)(α)(h) = α(g −1 h) .
b)
3. a)
Montrer que ρ est une représentation linéaire du groupe G. Quel est son degré ?
Montrer que ρ est isomorphe à regG . À quel sous-espace de V le sous-espace H de W
(notations de l'exercice 1) est-il isomorphe ?
Soit σ : G → V V l'application dénie par
σ(g)(α)(h) = α(hg) .
Montrer que σ est une représentation linéaire du groupe G.
b)
c)
En va-t-il de même si l'on remplace σ par σe dénie par σe(g)(α)(h) = α(gh) ?
Montrer que les deux représentations ρ et σ sont isomorphes.
Exercice 4
Soient U , V , W des espaces de représentation d'un groupe ni G.
a) Montrer que (U ⊕ V ) ⊕ W est isomorphe à U ⊕ (V ⊕ W ) en tant que C-espace vectoriel et en
tant que représentation.
b) Même question concernant (U ⊕ V ) ⊗ W et (U ⊗ W ) ⊕ (V ⊗ W ).
Exercice 5
Soient G un groupe ni et V, W deux espaces de représentation de G de dimensions nies.
a) Montrer que l'ensemble L(V, W ) des applications C-linéaires de V dans W est un C-espace
vectoriel de dimension nie.
b) On note ρ l'application de G dans l'ensemble des applications de L(V, W ) dans lui-même dénie
par
ρ(g)(α)(v) = gα(g −1 v) ,
c)
où, pour g ∈ G et v ∈ V , gv est la notation abrégée de ρV (g)(v), ρV désignant la représentation
de G dans V (idem avec W ). Montrer que ρ est une représentation de G dans L(V, W ).
Peut-on obtenir ce résultat sans supposer que V et W sont de dimensions nies ?
Exercice 6
Soient G un groupe ni et U un espace de représentation de G. On note U G l'ensemble des u ∈ U
tels que gu = u pour tout g ∈ G (même abréviation que dans l'exercice précédent).
a) Montrer que U G est une sous-représentation de U .
b) Décrire L(V, W )G dans la situation de l'exercice précédent.