Energie potentielle
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La conservation de l’énergie Chapitre 8 OSPH 38 8. L’énergie potentielle Si l’énergie cinétique d’un système est attribuable au mouvement, l’énergie potentielle est attribuable à la position de cet objet. Pour soulever une gomme du sol jusqu’à une certaine hauteur, il faut soit la ramasser avec la main, soit la projeter avec une énergie cinétique initiale suffisante. Si la gomme revient à son point de départ, elle a la même grandeur de vitesse que lorsqu’elle a été lancée. L’énergie cinétique initiale est en quel que sorte emmagasinée puis restituée à nouveau sous forme d’énergie cinétique. La gomme, lorsqu’elle est à une certaine hauteur, possède donc quelque chose qu’elle n’a pas au sol, l’énergie potentielle. On peut définir l’énergie potentielle en fonction du travail extérieur. Si l’objet est déplacé à vitesse constante, le travail extérieur accroît l’énergie potentielle. WEXT E p E p ( f ) E p (i ) Comme seule la différence d’énergie potentielle intervient, on peut choisir l’endroit où Ep 0 . L’énergie potentielle d’un objet est le travail extérieur fournit à l’objet pour l’amener, à vitesse constante, d’un point de référence à énergie potentielle nulle, au point considéré. 8.1. Les forces conservatives Nous avons montré que le travail effectué sur un corps par la force de gravité, Wg mg( y f yi ) , ou le travail effectué par la force de rappel d'un ressort, 1 Wres k ( x 2f xi2 ) , 2 dépend uniquement des positions initiale et finale et non du trajet parcouru. Par contre, le travail effectué par la force de frottement, par exemple sur un bloc qui glisse sur un sol rugueux dépend de la longueur du parcours et pas seulement des bornes. La force de gravité et la force exercée par un ressort idéal sont appelées forces conservatives, alors que la force de frottement est une force non conservative. Montée s Les expressions de Wg et de Wres montrent également que V1 h si le point final coïncide avec le point initial, alors Wg 0 f et W 0 . Autrement dit, le travail effectué sur un res parcours fermé est nul. Descente s f V2 h Par exemple, si l'on considère un bloc qui, après avoir été projeté vers le haut d'un plan incliné sans frottement, revient à son point de départ (figure), le travail effectué par la force de gravité sur le bloc pendant son déplacement vers le haut est Wg mgh et pendant son déplacement vers le bas, Wg mgh . Le travail sur l'ensemble du trajet est Wg 0 . Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 39 Si le plan incliné est rugueux, le travail effectué par la force de frottement pendant le déplacement vers le haut est W f fs et pendant le déplacement vers le bas, W f fs . Le travail pour l'ensemble du trajet est alors W f 2 fs . Ainsi: lorsqu'une particule est en mouvement sous l'action d'une force conservative entre A et B (figure), le travail effectué sur la particule par la force conservative est le même pour le trajet 1 et pour le trajet 2: 2) WA(1) B WA( B Le travail effectué par une force conservative est indépendant de la trajectoire. Si l'on inverse le sens du parcours sur la trajectoire 2 à la figure, la force ne change pas mais chaque déplacement infinitésimal est dirigé dans le sens opposé. Le signe du travail va donc 2) ( 2) changer : WA( B WB A On peut alors écrire : 2) WA(1) B WB( A 0 Le travail effectué par une force conservative sur une trajectoire fermée quelconque est nul. Pour que le travail effectué par une force conservative ne dépende pas de la trajectoire, la force doit dépendre uniquement de la position, et non de la vitesse ni du temps. La force magnétique sur une charge en mouvement et la résistance d'un fluide dépendent de la vitesse, et sont donc des forces non conservatives. La force exercée par une main peut varier dans le temps; ce n'est donc pas non plus une force conservative. 8.2. L’énergie potentielle et les forces conservatives Puisque Ec 0 dans la définition de l'énergie potentielle de la première équation, le travail total effectué sur la particule par la force extérieure ( WEXT ) et par la force intérieure conservative ( Wc ) est nul. Autrement dit, WEXT Wc 0 . On peut donc définir la variation d'énergie potentielle en fonction du travail effectué par la force conservative : E p Wc Cette équation est préférable à la précédente parce qu'elle ne fait pas intervenir d'agent extérieur. Elle n'exige pas non plus que la particule se déplace à vitesse constante. La variation d'énergie potentielle lorsqu'une particule se déplace du point A au point B est égale au travail effectué par la force conservative correspondante, précédé du signe moins. On ne peut définir l'énergie potentielle que pour une force conservative, car le travail effectué par une telle force est le seul qui ne dépende pas de la trajectoire. Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 40 8.3. Les fonctions énergie potentielle Energie potentielle de pesanteur : Le travail de la force de pesanteur est : Wg mg( y f yi ) si bien que E p Wg , en choisissant E p 0 pour y=0, on a : E p mgy Energie potentielle du ressort : Le travail de la force du ressort est : 1 Wres k ( x 2f xi2 ) si bien que E p Wres , en 2 choisissant E p 0 pour x=0 la position du repos du ressort, on a : Ep 1 2 kx 2 L’énergie potentielle d’un ressort est une fonction parabolique du déplacement x à partir de la position d’équilibre. Exemples : Un homme de 75 kg monte, à vitesse constante, un escalier de 3 m de haut. a) Quel est son gain d’énergie potentielle ? b) Sachant qu’un gramme de graisse libère environ 37'700 J, quelle est la perte de poids associée à cet exercice ? Quelle est la quantité de travail nécessaire pour faire passer l’allongement d’un ressort de 0,33 m à 0,50 m ? ( k 12 N m ). 8.4. La conservation de l’énergie mécanique Dans le cas d’une particule soumise uniquement à des forces conservatives, on peut combiner le théorème d’énergie cinétique et la définition de l’énergie potentielle : Wnet Ec E p Wc comme : Wnet Wc , on a que Ec E p on peut écrire la relation ainsi : Ec (2) Ec (1) ( E p (2) E p (1)) en regroupant les termes de même situation : Ec (1) E p (1) Ec (2) E p (2) on peut écrire, à l’aide de l’énergie mécanique : Em (1) Em (2) car Em Ec E p Le principe de conservation de l'énergie mécanique permet souvent d'aborder les problèmes de façon plus simple que ne le fait l'application directe des lois de Newton. Il offre plusieurs avantages. Premièrement, alors que la force est un vecteur, le travail et l'énergie sont des scalaires, plus faciles à manier. Deuxièmement, on ne doit considérer que les états initial et final d'un système, ce qui évite de devoir tenir compte de l'évolution du système dans le temps. Troisièmement, la notion d'énergie est utile, même lorsque la deuxième loi de Newton Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 41 n'est pas facilement applicable. Par exemple, en physique et en chimie modernes, on peut mesurer les énergies des atomes et des molécules mais non les forces mises en jeu. 8.5. La pesanteur L’énergie mécanique : 1 Em mv 2 mgy 2 Le principe de conservation permet de poser l’équation : 1 2 1 mvi mgyi mv 2f mgy f 2 2 où i représente la position initiale et f la position finale. Exemple : un pendule de masse 𝑚 = 0,5 kg, dont la longueur du fil est de 3 m est lâché lorsque la suspente forme un angle avec la verticale de 10°. Calculer sa vitesse maximale (au bas de la trajectoire) 8.6. Le ressort L’énergie mécanique : 1 1 E m mv 2 kx2 2 2 Le principe de conservation permet de poser l’équation : 1 2 1 2 1 2 1 2 mvi kxi mv f kx f 2 2 2 2 Exemples : 1. On comprime un ressort de constante k=50 N/m, de 3 cm. On place un chariot de m=120 g au bout du ressort. En lâchant le tout, le chariot est catapulté. Calculer la vitesse atteinte par le chariot. 2. On pose un objet de 𝑚 = 0,1 kg sur un ressort de rigidité 𝑘 = 12 N m. On presse sur le ressort sur une distance de 5 cm supplémentaire et on lâche le tout. Le bloc est catapulté. Calculer la hauteur maximale attente par ce bloc. Pour appliquer le principe de conservation de l’énergie mécanique, il faut : s’assurer qu’aucun travail ne sera effectué par des forces non conservatives plusieurs particules peuvent contribuer à l’énergie cinétique, il peut y avoir plusieurs type d’énergie potentielle (on somme les énergies) il faut préciser la position de référence où E p 0 lorsque plusieurs corps sont reliés par une corde, la corde transfert l’énergie mécanique d’un corps à l’autre. Il faut appliquer le principe de conservation à l’ensemble du système et non à chaque corps séparément. Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 42 8.7. L’énergie mécanique et les forces non conservatives Si des forces non conservatives entrent en jeu, on peut utiliser le théorème de variation de l’énergie cinétique : Wnet Wc Wn.c Ec et comme E p Wc , on peut écrire : E p Wn.c Ec E p (1) E p (2) Wn.c Ec (2) Ec (1) d’où on tire : Wn.c Ec E p et le théorème de variation de l’énergie mécanique : Wn.c Em Exemple : On comprime un ressort de constante k=500 N/m, de 3 cm. On place un bloc de 120 g au bout du ressort. En lâchant le tout, le bloc est catapulté. Le coefficient de frottement entre le bloc et le sol est c 0,7 . Calculer la distance parcourue par le bloc. 8.8. Energie potentielle de gravitation L’expression E p mgy n’est valable qu’au voisinage de la Terre, lorsque la force de gravitation peut-être supposée constante. Si la particule considérée s’éloigne notablement de la surface de la Terre, ou si l’on suppose un mouvement dans le système Solaire, on utilisera l’expression de l’énergie potentielle de gravitation : Mm r Cette définition suppose que le zéro de l’énergie potentielle est choisi à r=. Le signe moins signifie qu’un agent extérieur doit effectuer un travail sur les particules pour augmenter la distance qui les sépare. Cette équation est valable non seulement pour des particules ponctuelles, mais aussi pour des sphères de masse uniformément répartie. Dans ce cas, r désigne la distance séparant les centres des sphères. E p G L’énergie mécanique En supposant que l’une des masses est beaucoup plus grande que l’autre, ( M m ) 1 Mm Em mv 2 G 2 r Exemple Calculer l’énergie mécanique de la navette spatiale (m=104 tonnes) qui gravite autour de la Terre à une altitude de 300 km. La conservation de l’énergie Chapitre 8 OSPH 43 La vitesse de libération Une particule au repos à la surface de la Terre ou en orbite stable autour de la Terre est dans un état lié. Nous allons essayer de déterminer la valeur minimale de sa vitesse initiale pour que la particule puisse quitter le champ gravitationnel de la Terre, sans qu'elle ait besoin d'une force de propulsion après le lancement. Une fusée qui s'éloigne de la Terre remonte un puits d'énergie potentielle. Pour devenir une particule non liée, elle doit recevoir suffisamment d'énergie cinétique initiale pour pouvoir atteindre le point d'énergie potentielle maximale avec une vitesse égale ou supérieure à zéro. Dans le cas de la gravitation, la valeur maximale de l'énergie potentielle est zéro au point r . Une particule est donc liée si son énergie mécanique est négative et elle est non liée si Em E p Ec 0 . Si la fusée est lancée avec la vitesse de libération minimale vlib , elle atteindra r avec une vitesse nulle, c'est-à-dire avec Em ( f ) 0 . Son énergie initiale à la surface de la Terre est E m (i ) M m 1 2 mvlib G T 2 RT En posant Em ( f ) Em (i ) 0 , on trouve vlib 2GM T RT On remarque que la vitesse de libération ne dépend pas de la masse de la fusée. Pour une particule à la surface de la Terre, vlib 11,2 km s par rapport au centre de la Terre et ne dépend pas de la direction dans laquelle la particule est lancée. Exemples 1. Une fusée est lancée verticalement avec une vitesse égale à la moitié de sa vitesse de libération. Quelle est son altitude maximale en fonction du rayon de la Terre RT ? On néglige la rotation de la Terre. 2. Quel devrait être le rayon du Soleil pour que la vitesse de libération soit la vitesse de la lumière c ? Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 44 8.9. Exercices 1. Un chariot démarre et descend le long d’un plan d’inclinaison 25° sans frottement. Calculer la vitesse atteinte par le chariot après avoir parcouru 35 cm. 2. Un chariot est lancé sur une piste horizontale (voir figure de droite). Calculer la vitesse qu’il doit avoir pour atteindre une hauteur de 60 cm. 3. Un ressort de constante k=200 N/m est comprimé sur une distance x=5 cm. Lorsqu’il est lâché, il catapulte un chariot de masse m=350 g. Calculer la distance parcourue par le chariot (voir à gauche). 4. On comprime de 24 cm un ressort ( k 8 N m ) à l'aide d'un bloc de 0,3 kg (figure). Lorsqu'on relâche le bloc, celuici se déplace de 52 cm avant de s'arrêter. Quel est le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la surface horizontale ? 5. Un parachutiste de 62 kg atteint sa vitesse limite de 55 m/s lorsqu'il est dans la position du saut de l'ange, jambes et bras écartés. À quel taux la force de résistance de l'air dissipe-telle l'énergie potentielle du parachutiste ? Chercher d’abord la signification physique du taux. 6. Un enfant de 25 kg glisse d'une hauteur de 2,4 m vers le bas d'une pente inclinée à 30°. Le coefficient de frottement est c 0,12 . Quel est sa vitesse en bas de la pente ? 7. À la figure, on a m1 1 kg et m2 3 kg , 25 et k 16 N m . Si c 0,11 et que le système est initialement au repos et le ressort à sa position naturelle, quelle est la vitesse de m2 après une chute de 20 cm ? 8. Un bloc de 2 kg part du repos à une hauteur de 40 cm et glisse sans frottement le long d'une rampe (figure). Il glisse ensuite sur une distance de 83 cm le long d'une surface horizontale rugueuse avant de s'arrêter. Quel est le coefficient de frottement cinétique sur la surface horizontale ? 9. Deux blocs, m1 1,5 kg et m2 0,8 kg , sont reliés par une corde (figure). La surface horizontale a un coefficient de frottement c 0,2 . Si les blocs sont Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 45 initialement au repos, quel est la grandeur de leur vitesse lorsque m2 a chuté de 30 cm ? 10. Un bloc de 0,2 kg est appuyé sur un ressort k 16 N m incliné à 30° (figure). Le coefficient de frottement est c 0,1 et le ressort est initialement comprimé de 25 cm. On relâche le bloc : quel est la vitesse du bloc lorsque ce dernier quitte le ressort ? 11. Un projectile est lancé de la surface de la Terre atteint une altitude maximale de 4 RT . Calculer le module de la vitesse initiale (on néglige le mouvement de la Terre et la résistance de l’air). 12. Un satellite est en orbite circulaire stable avec une vitesse vorb . Montrer qu’il lui faut une vitesse 2vorb pour se libérer de son orbite. 13. Calculer la vitesse de libération de la surface de la Lune. 14. Une comète imaginaire de 3 108 kg passe à une distance de 0,5 UA du Soleil. Une analyse spectroscopique de sa lumière nous indique que sa vitesse est approximativement de 59'000 m/s lorsqu’elle est au périhélie (le lieu où la distance entre le Soleil et la comète est la plus petite). a) Calculer l’énergie mécanique de la comète au périhélie. b) Calculer sa vitesse lorsqu’elle croise l’orbite de Pluton (39,44 UA). c) Si sa vitesse à l’aphélie est négligeable, calculer d’où provient cette comète (éloignement du Soleil à l’aphélie) Indication : ne tenir compte que du système comète-Soleil.
