PCSI2 Chapitre 10 : Entiers naturels, ensembles finis, dénombrement-résumé 1. Entiers naturels, un peu d’arithmétique 1.1 L’ensemble . On considère l’ensemble des entiers naturels noté = {0,1,2,...,n,n+1,...}, muni de l’addition, de la multiplication et de la relation d’ordre usuel. Si on admet les 3 propriétés suivantes comme des axiomes : Toute partie non vide de admet un plus petit élément. Toute partie non vide de et majorée admet un plus grand élément. n’est pas majoré. On peut alors montrer que possède un plus petit élément qui est 0. Tout entier n a un successeur noté (n+1) Tout entier n, n ≥ 1 a un prédécesseur noté (n-1) Le principe de récurrence et ses variantes sont vraies 1.2 Multiples et diviseurs Déf: Soient a et b deux entiers naturels. On dit que b divise a lorsqu’on peut écrire a = kb avec k. Symboliquement b/a k tel que a = kb On dit que a est un multiple de b lorsque b divise a. Remarque: L'égalité a = kb donne deux diviseurs de a: b et k. Vocabulaire: Lorsque b/a, b est un diviseur de a et a est un multiple de b. Proposition 10.1: Propriétés de la relation divise: a,b et c sont des entiers naturels a/a si b/a et a/b alors a = b si a/b et si b/c alors a/c si d/a et d/b alors (u,v)², d/(au + bv) Remarque: La relation divise est une relation d'ordre sur . Notations On note a l’ensemble des multiples de a dans . na k, n = ka Les entiers naturels pairs sont les multiples de 2 soit 2. On notera D(a) l’ensemble des diviseurs de a dans D(a) contient toujours au moins 1 et a. D(a) est une partie finie de car majorée par a. 1.3 Nombres premiers Déf: Un entier naturel p est premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs. En notant l’ensemble des nombres premiers, on a : p D(p) = {1, p} Conséquence : 1 n'est pas premier 2 est le seul premier pair Propriété 10.2 : Tout entier n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier p avec p ≤ premier. n si n n’est pas N.Véron-LMB-dec 2013 PCSI2 Conséquence : Pour tester si un nombre est premier, il suffit de tester s’il est divisible par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée. Avec Python : Une fonction naïve à appliquer à n ≥ 3 def est_premier(n): ”””test de primalité de n””” from math import sqrt if n%2==0: return False for i in range (3,int(sqrt(n)+1),2) if n%i==0: return False return True Premiers=[2]+[i in range(3,101) if est_premier(i)==True] print(Premiers) #Affiche la liste des premiers inférieurs à 100. Proposition 10.3 : L'ensemble des nombres premiers est infini Démo (Euclide): Par l'absurde. On suppose = {p1,...pn} On pose N = p1...pn + 1 N admet un diviseur premier p = pi avec 1in. On a N - p1....pn = 1 or pi divise N et divise p1...pn donc pi divise 1 ce qui est absurde. Théorème fondamental de l'arithmétique: Tout entier n2 s'écrit de manière unique à l'ordre des facteurs près comme produits de nombres premiers Algorithme de décomposition en nombres premiers : Soit n, n ≥ 2. n admet un diviseur premier p1. On pose n = n1p1 on a n1. Si n1 = 1, on s’arrête et n est premier. Sinon n1 est supérieur à 2 donc il admet un diviseur premier p2, on pose n1 = p2n2. On a 1 n2 < n1 Si n2 = 1, on s’arrête et n = p1p2 Sinon on réitère le processus tant que le quotient nk obtenu est différent de 1. La suite des quotients est strictement décroissante dans [1,n] et donc il existe un entier p tel que np = 1 et cet algorithme se termine principe de descente infinie. Le regroupement des facteurs premier égaux donne alors : n = p1a1p2a2…pkak 1.4 Division euclidienne, congruences Def: Pour couple (a,b) de x*, il existe un unique couple (q,r) de ², vérifiant a = bq+r et 0 ≤ r < b. On dit que q est le quotient et b le reste dans la division euclidienne de a par b. Attention: La condition 0 ≤ r < b est indispensable. Le reste ne peut donc prendre que b valeurs dans [0, b-1] Def : Soit a, a ≥ 2. On dit que n est congru à p modulo n et on note n p [a] lorsque n et p ont le même reste dans la division euclidienne par b. Caractérisations : np[a] (n-p) multiple de a k, n = p + ka Proposition 10.4 : Pour tout entier a ≥ 2, n p [a] est une relation d’équivalence sur Dans la pratique: Pour démontrer une propriété portant sur n, on peut faire une disjonction des cas en raisonnant modulo a. 1.5 PGCD et PPCM N.Véron-LMB-dec 2013 PCSI2 Def : Soit deux entiers a et b non nuls. Considérons l’ensemble des diviseurs commun à a et à b. C’est une partie non vide de car elle contient 1 et est majorée par a donc elle possède un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD(a,b) ou ab. Considérons l’ensemble des multiples commun à a et à b. C’est une partie non vide de car elle contient ab donc elle possède un plus petit élément appelé plus petit commun multiple de a et b et noté PPCM(a,b) ou ab. Obtention du PGCD Algorithme d’Euclide : cf cours d’info Utilisation de la décomposition en produit de facteur premier : on fait le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, affectés du plus petit exposant rencontré. Obtention du PPCM Utilisation de la décomposition en produit de facteur premier : on fait le produit des facteurs premiers présents dans chacune des deux décompositions, affectés du plus grand exposant rencontré. PPCM(a,b) = a.b/PGCD(a,b) 2. Ensembles finis : Dans ce paragraphe E désigne un ensemble et n un entier naturel non nul. 2.1 Des définitions Def : E est un ensemble fini lorsque E est vide ou lorsqu’il existe une bijection de E sur [1,n]. Conséquence : Cette bijection permet de numéroter les éléments de E et donc on peut écrire : E = { x1, x2, ...,xn }. Lemme 10.1 (admis) : Si il existe une bijection de [1,n] sur [1,p] alors n = p Def : Soit E un ensemble fini, card(E) est l’entier défini par card(E) = 0 si E = card(E) = n si il existe une bijection de E sur [1,n] Remarque : Si E n’est pas un ensemble fini, on dit qu’il est infini. Notation : card(E) = |E| = #E 2.2 Parties d’un ensemble fini Lemme 10.2 (admis) : Toute partie P de [1,n] est finie et card(A) ≤ n Proposition 10.5 : Soit E un ensemble fini et A une partie de E A est finie et card(A) ≤ card(E) card(A) = card(E) A = E 2.3 Applications entre ensembles finis Théorème 10.1 : Soit E et F deux ensembles finis Il existe une injection de E dans F card(E) ≤ card(F) Il existe une surjection de E sur F card(E) ≥ card(F) Il existe une bijection de E sur F card(E) = card(F) N.Véron-LMB-dec 2013 PCSI2 Corollaire : Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal et f :E→F une application. f est surjective f est injective f est bijective Dans la pratique : Si on f :E→F avec E et F finis et de même cardinal alors pour montrer que f est bijective il suffit de montrer qu’elle est injective ou surjective. 3. Outils pour le dénombrement Dans ce paragraphe E désigne un ensemble fini de cardinal n. On va donner des résultats et des méthodes permettant de dénombrer c’est à dire de déterminer le cardinal d’un ensemble fini 3.1 Opérations ensemblistes Proposition 10.6 : Soit A et B deux parties de E. Si A et B sont disjointes alors card(AB) = card(A) + card(B) Méthode: Pour démontrer que E est de cardinal n, on montre que E est en bijection avec 1,n. Corollaire : Si (Ai)iI est une famille de parties disjointes de E alors card Ai card(Ai ) iI iI Si A et B sont deux parties de E alors card(AB) = card(A) + card(B) – card(AB) Si A est une partie de E alors card( A ) = n – card(A) Def : On dit que la famille (Ai)iI est une partition de E lorsque iI, Ai, (i,j)I², ijAiAj= et E A i iI Proposition 10.7: Si (Ai)iI est une famille partition de E alors card(E) = card(A ) i iI Méthode : Pour dénombrer un ensemble on peut trouver une famille partition dont les parties sont plus simples à dénombrer. Proposition 10.8: Soit E et F deux ensembles finis. Le produit cartésien EF est fini et card(EF) = card(E).card(F) Remarque : On peut généraliser cette propriété à n ensembles finis E1, …, En. n On a E1 …. En est un ensemble fini et Card (E1 …. En) = card(E ) . i i 1 Méthode : Pour dénombrer un ensemble on peut représenter ses éléments dans une structure de données (arbre, tableau...) qui permet de compter. Corollaire : Soit E et F deux ensembles finis de cardinal respectifs p et n. L’ensemble des applications de E dans F noté F(E,F) ou EF est fini et card(FE) = (card(F))card(E) = np Théorème 10.2 : Soit E un ensemble fini de cardinal n, l’ensemble P(E) des parties de E est fini et card(P(E)) = 2n. 3.2 p-listes Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1 et p 1;n. On appelle p-liste de E ou p-uplet d’éléments de E, un élément ( x1,x2,...,xp ) de Ep N.Véron-LMB-dec 2013 PCSI2 Remarque : Il s’agit d’une liste ordonnée de p éléments de E avec possibilité de répétitions. Proposition 10.9 : Soit E un ensemble fini de cardinal n, le nombre de p-listes de E est card(Ep) = np 3.3 p-arrangements, permutations Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1 et p 1;n. On appelle p-arrangement ou arrangement de p éléments de E, une p-liste d’éléments distincts de E. On appelle permutation de E un arrangement de n éléments de E. Remarque : Il s’agit d’une liste ordonnée de p, ou n, éléments de E sans possibilité de répétitions. Proposition 10.10 : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Le nombre de p-arrangements de E est Anp n(n 1).....(n p 1) n! (n p)! Le nombre de permutations de E est n ! Corollaire : Soit E et f deux ensembles finis de cardinal p et n. n! Si p ≤ n, le nombre d’injections de E dans F est Anp (n p)! Si n = p, le nombre de bijections de E dans F est n ! 3.4 p-combinaisons Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n et p0;n. On appelle p-combinaison de E, une partie de E de cardinal p : { x1, 2, ...,xp } Remarque : Il s’agit d’une liste non ordonnée de p éléments de E, sans possibilité de répétitions. Proposition 10.11: Soit E un ensemble fini de cardinal n et p0;n. n n! Le nombre de p-combinaisons de E est . p p!(n p)! Remarque : Il est possible de redémontrer les propriétés des coefficients binomiaux avec des méthodes de dénombrement pour tous entiers n et p tels que 0 ≤ p ≤ n Rappels : n n n 1 et n 0 n 1 n n p n p n (a,b)², n*, (a b)n n k n k a b k k 0 n n n n n 1 pour 0 ≤ p < n p p 1 p 1 k a n k bk k 0 Démonstrations combinatoires à savoir refaire N.Véron-LMB-dec 2013