math français

PREMIERES NOTIONS DE GEOMETRIE
POINT, DROITE, DEMI-DROITE, SEGMENT :
a. Point :
Un point est toujours représenté par deux lignes qui se croisent. Il y a trois cas :
A
C
B
Le point se situe ici
Un point n’a pas d’épaisseur (il est infiniment petit), d’où l’importance d’avoir un crayon
bien taillé.
En général, on désigne les points par des lettres majuscules (des lettres différentes pour
des points différents)
b. Droite :
Une droite se trace avec une règle.
Une droite peut se noter de trois façons différentes :
La droite (d). [Attention : d ne désigne pas un point !]
La droite (AB) ou (BA) où A et B sont des points de la droite.
La droite (xy) ou (yx) où x et y sont des directions.
[Attention : x et y ne désignent pas des points !]
(d)
M
N
A
x
B
y
Le point M est sur la droite (d). On note « M ∈(d) » qui signifie « M appartient à (d) »
Le point N n’est pas sur la droite (d). On note « N ∉ (d) » qui signifie « N n’appartient
pas à (d) »
Lorsque trois points appartiennent à une même droite (pas nécessairement tracée), on dit
qu’ils sont alignés.
Remarque : Deux points sont toujours alignés.
Attention :
Ne pas oublier les parenthèses.
Une droite est illimitée, ce qui signifie qu’on peut prolonger son dessin autant
que nécessaire.
c. Demi-droite :
Le point A partage la droite (xy) en deux demi-droites notées [Ax) et [Ay).
[Ot) et [MN) sont aussi des demi-droites. A, O et M sont appelés les origines des demix
droites.
A
O
y
t
M
N
d. Segment (de droite) :
La partie de la droite (AB) située entre A et B (y compris A et B) s’appelle le segment
[AB].
A et B sont ses extrémités.
On peut le mesurer (avec une règle graduée) et sa longueur se note AB.
Codag
A
I
B
Codag
Ici, AB = 6 cm
Le milieu I du segment [AB] est le point de ce segment tel que IA = IB (= 3cm).
POSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES :
a. Droites sécantes :
Les droites (d) et (d’) se coupent en I :
on dit qu’elles sont sécantes en I.
I est leur point d'intersection
(c’est le seul point appartenant aux deux droites).
(d)
I
(d’)
b. Droites parallèles :
Les droites (d) et (d’) n’ont pas de point d’intersection, même en les prolongeant
indéfiniment.
On dit qu’elles sont parallèles.
(d)
On note : (d) // (d’)
(d’)
Remarque :
Les droites (d) et (AB) se superposent.
On dit qu’elles sont confondues.
A
B
(d)
c. Droites perpendiculaires :
Les droites (d) et (d’) se coupent en formant un angle droit (on le vérifie avec une
équerre).
(d)
Codag
On dit qu’elles sont perpendiculaires.
(d’)
On note : (d) ⊥ (d’).
Remarque :
Deux droites perpendiculaires sont sécantes.
Deux droites sécantes ne sont pas toujours perpendiculaires.
POSITIONS RELATIVES DE 3 DROITES :
a. Droites concourantes :
Quand trois droites passent toutes par le même point, elles sont concourantes.
Exemples :
B
I
A
C
Ces trois droites sont concourantes en I.
Ces trois droites ne sont pas
concourantes, mais elles sont
sécantes deux à deux
b. Propriétés des figures formées par trois droites :
Propriété 1 (admise) : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors
ces deux droites sont parallèles entre elles.
Propriété 2 (admise) : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,
alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Propriété 3 (admise) : Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est
perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
LES TRIANGLES :
Définition et vocabulaire :
Définition : Un triangle est une figure géométrique ayant trois côtés.
Vocabulaire :
A
. A, B et C sont les trois sommets.
. [AB], [AC] et [BC] sont les trois côtés.
. B Â C, A B̂ C et A Ĉ B sont les trois angles.
B
. [AC] est le côté opposé au sommet B.
. [AB] est le côté opposé au sommet C.
. [BC] est le côté opposé au sommet A.
C
Le périmètre du triangle ABC est la somme : AB + BC + CA.
Le triangle rectangle :
Définition : Un triangle rectangle est un triangle ayant deux côtés perpendiculaires.
Exemple :
U
EAU est un triangle rectangle en A : (EA) ⊥ (AU)
E Â U est un angle droit.
A
E
Exercice commenté : Construire un triangle HSM rectangle en H tel que HS = 3 cm et
SM = 5 cm.
S
On commence par faire un croquis (à main levée) :
3
H
5 cm
M
• Le triangle SHM est rectangle en H, donc le point M est situé sur la droite qui est
perpendiculaire à (SH) et qui passe par H.
On trace cette droite.
• SM = 5 cm, donc le point M est situé sur le cercle de centre S et de rayon 5 cm. On
trace une partie de ce cercle, qui coupe la droite en deux points.
Il y a donc deux solutions possibles.
Le triangle SHM dessiné est l’une de ces deux solutions.
S
H
M
Le triangle isocèle :
Définition : Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.
Exemple :
M
MER est un triangle isocèle en M : ME = MR
M est le sommet principal.
[ER] est la base.
Les angles Ê et R̂ sont les angles à la base.
E
R
Ils sont égaux : Ê = R̂
Le triangle MER a un axe de symétrie : c’est la
médiatrice de [ER].
Propriétés (admises) :
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Construction (exemple) : Construire un triangle isocèle ABC tel que : AB = AC = 2,5 cm
et BC = 1,5 cm.
Remarque : Puisque AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A et [BC] est sa base.
. On trace un segment [BC] mesurant 1,5 cm.
. On trace le cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
On trace le cercle de centre C et de rayon 2,5 cm.
. Ces deux cercles se coupent en deux points. Il y a donc deux solutions possibles.
Le triangle ABC tracé est l’une de ces solutions.
Remarque : on se contentera de tracer
les arcs « utiles ».
A
B
C
Le triangle équilatéral :
Définition : Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même
longueur.
Exemple :
LAC est un triangle équilatéral : LA = AC = CL.
Les trois angles L̂ ; Â et Ĉ sont égaux. Chacun d’eux mesure 60°.
Le triangle LAC a trois axes de symétrie : ce sont les médiatrices des trois côtés.
L
A
C
Périmètre du triangle équilatéral :
P = côté × 3
Construction (exemple) : Construire un triangle équilatéral ABC de 4 cm de côté.
Remarque : Puisque ABC est un triangle équilatéral, les trois longueurs AB, BC et CA
sont égales et mesurent 4 cm. La méthode est la même que pour un triangle isocèle,
mais le rayon des deux cercles est égal au côté du triangle : 4 cm.
C
A
B
LES QUADRILATÈRES:
Définition et vocabulaire :
Définition : Un quadrilatère est une figure géométrique qui a quatre côtés.
Vocabulaire :
R
O
. Ce quadrilatère est un quadrilatère non croisé.
. Il peut se nommer : ROSE ; OSER ; SORE ; RESO
…..
E
. R, O, S et E sont les quatre sommets.
. [RO], [OS], [SE] et [ER] sont les quatre côtés.
. [RS] et [OE] sont les diagonales.
. [RO] et [SE] sont deux côtés opposés.
. [OR] et [RE] sont deux côtés consécutifs.
Le périmètre du quadrilatère ROSE est la somme :
S
RO + OS + SE + ER.
Le trapèze :
Définition : Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et seulement
deux.
Exemples :
A
ABCD est un trapèze : (AB) // (CD)
[AB] s’appelle la grande base
[CD] s’appelle la petite base
h est la hauteur relative au côté [CD]
B
h
D
C
Le parallélogramme :
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux
à deux.
Exemple :
O
U
A
S
R
. OURS est un parallélogramme :
(OU) // (SR) et (OS) // (UR)
. Il a ses côtés opposés égaux deux à deux :
OU = SR et OS=UR
. Ses diagonales se coupent en leur milieu :
A est le milieu de [OR] et A est le milieu
de [US].
Le rectangle :
Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Exemple :
I
L
.LION
est
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L = I = O = N = 90°
un
rectangle :
. Ses diagonales se coupent en leur
milieu et ont la même longueur
N
O
. Il a deux axes de symétrie : ce sont
les médiatrices des côtés opposés
Périmètre du rectangle :
P = (L + l) × 2
ou
P = (2 × L) + (2 × l)
Construction : a) On peut construire un rectangle lorsque l’on connaît sa longueur et sa
largeur.
Exemple : Construire un rectangle de 5 cm de longueur et de 3 cm de largeur :
b) On peut aussi construire un rectangle connaissant la longueur d’une de
ses diagonales, car :
Propriété (admise) :
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu et ont la
même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle.
Exemple : Tracer un rectangle dont une diagonale mesure 5 cm :
Le losange :
Définition : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
C
Exemple :
CHAT est un losange : CH = HA = AT = TC
H
T
A
Ses diagonales se coupent en leur milieu
et sont perpendiculaires.
Il a deux axes de symétrie : ce sont les
diagonales
Périmètre du losange : P = côté × 4.
Construction :
a) On peut construire un losange connaissant la longueur d’un côté.
b) On peut aussi construire un losange connaissant les mesures des
deux diagonales car :
Propriété (admise) : Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu et
sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère est un losange.
Le carré :
Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et dont les quatre
côtés ont la même longueur.
Remarque : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Exemple :
B
L
. BLEU est un carré.
ˆ=ˆ
ˆ = 90°
. Il a quatre angles droits : B
L=ˆ
E=U
. Ses quatre côtés ont la même longueur :
BL = LE = EU = UB
U
E
. Ses diagonales se coupent en leur milieu sont
Perpendiculaires et de même longueur
. Il a quatre axes de symétrie : ce sont les deux diagonales et les médiatrices des
côtés opposés.
Périmètre du carré : P = côté × 4.
Construction : a) On peut construire un carré connaissant la longueur d’un de ses
côtés.
b) On peut aussi construire un carré connaissant la mesure d’une des
diagonales, car :
Propriété (admise) : Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, sont
perpendiculaires et ont
la même longueur, alors ce quadrilatère est un carré.
Exemple : Construire un carré dont une diagonale mesure 3,5 cm :