Les triangles semblables ~ Les triangles semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on peut utiliser les propriétés suivantes: CCC : 3 paires de côtés homologues proportionnels; CAC : une paire d’angles homologues isométriques compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels; AA : deux paires d’angles homologues isométriques; Propriété CCC : Deux triangles possédant 3 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. A D 5 cm 4 cm 10 cm 8 cm B 3 cm C E m AB = m DE 4 8 m BC = m EF = 3 6 F 6 cm m AC m DF = 5 10 = 1 2 Remarque: CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels. Propriété CAC : Deux triangles possédant 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels E B 5 cm cm 5 7, 500 A BAC ~ = C 8 cm EDF F de plus m ED = m AB 7,5 5 Remarque: 500 12 cm D m FD m AC = 12 8 = 3 2 CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques. Propriété AA: Deux triangles possédant au moins deux paires d’angles homologues isométriques sont semblables. Construisons deux triangles ayant deux paires d’angles homologues isométriques. 700 500 700 500 On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement. Remarque: Pour démontrer que cette propriété assure des triangles semblables, il n’est pas nécessaire de démontrer la 3e paire d’angles homologues isométriques puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800. Il est donc certain que cette 3e paire d’angles homologues sont isométriques. Problèmes: Démontre que les triangles suivants sont semblables. B A Le ∆ ABC et le ∆ BDC . C D Affirmations 1) m ABC = 900 et m 2) m BCD = m 3) ∆ ABC ~ BCA ∆ BDC BDC = 900 Justifications 1) Les triangles sont rectangles. 2) Il est commun aux deux triangles . 3) AA Démontre que les triangles suivants sont semblables. E D 5,2 3 Le C 4,2 ∆ ECD et le ∆ ACB . 7,28 A B Affirmations 1) m CA = m CD 2) m 3) m CE ECD = m ∆ ECD m CB ~ ACB ∆ ACB Justifications 1) 4,2 3 = 7,28 5,2 = 1,4 2) Angles opposés par le sommet . 3) CAC Démontre que les triangles suivants sont semblables. D A ∆ ADC et le ∆ ABC . 7,5 10 ,6 25 Le 6 4,8 C 5 8, B Affirmations 1) m AD m BC 2) = m DC m AC ∆ ADC ~ ∆ ABC . = Justifications m AC m AB 1) 10,625 8,5 2) CCC = 7,5 6 = 6 4,8 = 1,25 Démontre que les triangles suivants sont semblables. D Le ∆ AED et le ∆ ACB . B A E C Affirmations 1) m ACB = 900 et m 2) m A=m 3) ∆ AED ~ A ∆ ACB AED = 900 Justifications 1) Les triangles sont rectangles. 2) Il est commun aux deux triangles . 3) AA Démontre que les triangles suivants sont semblables. D 15 Le ∆ ABC et le ∆ ACD . C 20 A 12 B 16 Affirmations 1) m AC = 1) m AC = 20 2) m 3) ABC = 900 et m m AC m AB 4) = Justifications m DC m CB ∆ ABC ~ ∆ ACD . ACD = 900 ( m AB )2 + ( m CB )2 2) Les triangles sont rectangles. 3) 20 16 4) CAC = 15 12 = 1,25 B Dans la figure suivante, les triangles SAP et BDP sont semblables. Détermine les mesures des segments AP et PD. S 15 Posons les expressions algébriques pour représenter les segments AP et PD 9 (18 – x) x Établissons les rapports des segments homologues: m SA m BD = m AP 9 m PD 15 A P D 18 x = (18 – x) 9 (18 – x) = 15x 162 – 9x = 15x 162 = 24x 6,75 = x m AP = 6,75 m PD = 18 - 6,75 = 11,25