G.1 Parallélogrammes Triangles, milieux et parallèles I) Parallélogrammes Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie. dessin modifié jusqu’à ce que le quadrilatère ait un centre de symétrie. Dessin avec côté [LM] tracé et centre de symétrie O, à compléter. KLMN est un parallélogramme. Le centre de symétrie O est appelé centre du parallélogramme KLMN. C’est le point d’intersection des diagonales. Conséquences : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors : - ses diagonales se coupent en leur milieu (on le même milieu) - ses deux paires de côtés opposés sont parallèles et de même longueur - ses deux paires d’angles opposés sont de même mesure II) Caractérisation d’un parallélogramme Les propriétés suivantes servent : - à prouver que des figures sont des parallélogrammes - à dessiner des parallélogrammes a) Propriété concernant les diagonales Propriété Dessin Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu (se coupent en leur milieu) alors c’est un parallélogramme. b) Propriété concernant les côtés Propriété 1. Si un quadrilatère a ses deux paires de côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme. Dessin (AB) // (CD) et (AD) // (BC) 2. Si un quadrilatère a ses deux paires de côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme. (AB) // (CD) 3. Si un quadrilatère a une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme. III) Parallélogrammes particuliers Voir livre page 152 IV) Triangles, milieux et parallèle Propriété 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au 3ème côté. Propriété 2 : Dans un triangle, un segment qui a pour extrémités les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3ème côté. Exemple : A J I C B I est le milieu de [AB], que J est le milieu de [AC] Donc (IJ) // (BC) (d’après la propriété 1) BC Donc IJ = (d’après la propriété 2) 2 Propriété 3 : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un 2ème côté alors elle coupe le 3ème en son milieu. Exemple : A (d) U V B C U est le milieu de [AB], (d) // (BC) et (d) coupe [AC] et V Donc V est le milieu de [AC] (d’après la propriété 3)