Fonction exponentielle et asymptotes 2ex . e x 1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O. f est la fonction définie sur ℝ par f x =x 1− 1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x). Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 2. a) Déterminer la limite de f en -∞ . b) Démontrer que pour tout réel x, f x =x 1− 2 et en déduire la limite de f en +∞ ? 1e−x 2 . e 1 b) En déduire que la droite d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ . c) Préciser la position de C par rapport à . d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ . 3. a) Démontrer que pour tout réel x, f x − x−1= x 4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [. 5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0. 6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes et ' . Fonction exponentielle et asymptotes 2ex f est la fonction définie sur ℝ par f x =x 1− x . e 1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O. 1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x). Que peut-on en déduire pour la courbe C ? donc . On a donc bien f (-x) = -f (x). Comme f est impaire, la courbe C admet le point O comme centre de symétrie. 2. a) Déterminer la limite de f en -∞ . Si x tend vers -∞, alors x + 1 tend vers -∞ et ex tend vers 0, donc f (x) tend vers -∞ et lim f x =−∞ . x −∞ b) Démontrer que pour tout réel x, f x =x 1− En +∞, e-x tend vers 0, donc 2 et en déduire la limite de f en +∞ ? 1e−x 2 2 f x =x 1− tend vers +∞. − x tend vers 2 et 1e 1e−x 3. a) Démontrer que pour tout réel x, f x − x−1= 2 . e 1 x b) En déduire que la droite d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞ . 2 En +∞, ex tend vers +∞, donc f x − x−1= x tend vers 0. e 1 lim f x − x−1=0 , la droite d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +∞. Comme x ∞ c) Préciser la position de C par rapport à . Comme ex est toujours positif, f x − x−1= 2 est toujours positif; la courbe C se e 1 x trouve donc au dessus de l'asymptote . d) Déterminer une équation de la droite ' asymptote à C en -∞ . −2 e x On a f x − x1= x . En -∞, ex tend vers 0 donc f (x) – (x + 1) tend 0. Cela montre e 1 que la droite ' d'équation y = x + 1 est asymptote à C en -∞. −2 e x D'autre part, comme f x − x1= x est négatif, la courbe C se trouve en dessous de e 1 l'asymptote '. 4. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [. Comme ex est toujours positif, on a f '(x) > 0 pour tout réel x; la fonction f est donc croissante sur ℝ. 5. Déterminer une équation de la droite T tangente à C en 0. L'équation réduite de T est donnée par y = f '(0)(x – 0) + f (0). 1 Comme f '(0) = ½ et f (0) = 0, on a finalement y= x . 2 6. Tracer la courbe C, la tangente à C en 0 et les asymptotes et ' .