Fiche no 1, correction UE 306, M2 MEEF PE 2016-2017 Autour de la numération Exercice1 : compilation de sujets "vrai / faux" de la Copirelem Pour chacune des armations suivantes préciser si elle est vraie ou fausse, votre réponse doit être justiée. Armation 1 (2012) : un nombre décimal est toujours un nombre rationnel. Réponse : vrai. Un nombre décimal s'écrit sous la forme 10a où n et a sont des entiers relatifs. n C'est donc en particulier un nombre rationnel. Armation 2 (2012) : un nombre rationnel est toujours un nombre décimal. Réponse : faux. Le nombre rationnel 31 fournit un contre-exemple à cette armation. Armation 3 (2015) : la somme de deux nombres rationnels non décimaux est un rationnel non décimal. Réponse : faux. On a par exemple tier). 1 2 3 + = = 1 qui est un rationnel décimal (et même en3 3 3 Armation 4 (2014) : les nombre p et q sont des entiers strictement positifs. 105 480 est toujours un nombre décimal non entier. 5q 2p 105 480 = 10 548 qui est un nombre entier. : faux. Si on prend p = q = 1 on obtient 51 21 Le nombre Réponse Armation 5 (2014) : ABCD est un rectangle de longueur a cm et de largeur b cm. Les nombres a et b sont deux entiers strictement supérieurs à 1. La mesure de la diagonale du rectangle, avec le cm comme unité de longueur, est toujours un nombre rationnel. Réponse : faux. On peut prendre carré est aussi un rectangle), dans ce √ a =√b = 2 cm√(et oui, √ un √ cas la mesure de la diagonale est 8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 qui n'est pas un nombre rationnel. Armation 6 (2012) : la 1 348 décimale et la 5 428 décimale du nombre 12 sont les mêmes. 13 Réponse : vrai. La division de 12 par 13 permet de constater que la partie décimale a une période de ime ime 6. Le reste de la division euclidienne de 1348 par 6 est 4, de même que le reste de la division euclidienne 12 de 5428 par 6 . On en déduit que la 1 348ime décimale et la 5 428ime décimale du nombre sont bien 13 les mêmes. Armation 7 (2012) : la racine carrée d'un nombre positif est toujours inférieure ou égale à ce nombre. Réponse : faux. Tout nombre x tel que 0 < x < 1 permet de fournir un contre-exemple à cette armation. Armation 8 (2012) : 21,36 et 21,37 sont deux nombres décimaux consécutifs. Réponse : faux. Le nombre 21,362 un contre-exemple à cette armation, en eet 21,36 < 21,362 < 21,37. D'une manière générale on peut noter que la notion de nombres consécutifs n'a pas de sens S. Jolivet Page 1 Document placé sous licence CC- by - sa Fiche no 1, correction UE 306, M2 MEEF PE 2016-2017 hors des nombres entiers. Exercice2 : divisibilité par 9 (Groupement 3, septembre 2012) On rappelle la propriété P suivante : Un nombre entier naturel et la somme de ses chires ont le même reste dans la division euclidienne par 9 1. Quel est le reste de la division euclidienne de 164 330 258 647 par 9 ? An d'appliquer la propriété P on commence par calculer 1+6+4+3+3+0+2+5+8+6+4+7 = 49. Le reste de la division euclidienne de 49 par 9 est 4, en eet 49 = 5 × 9 + 4. D'après la propriété P on peut armer que le reste de la division euclidienne de 164 330 258 647 par 9 est 4. 2. L'objet de cette question est de démontrer la propriété P pour un nombre entier naturel strictement inférieur à 10 000. On considère un nombre entier naturel strictement inférieur à 10 000 et on note abcd son écriture en base dix. (a) Montrer qu'il existe un nombre entier naturel k tel que abcd = a + b + c + d + 9k abcd = a × 1 000 + b × 100 + c × 10 + d = a + 999a + b + 99b + c + 9c + d = a + b + c + d + 9(111a + 11b + c) = a + b + c + d + 9k (b) On note r le reste de la division euclidienne de abcd par 9, et r0 le reste de la division euclidienne de a + b + c + d par 9. Montrer que r = r0 . On a d'une part abcd = 9q+r avec q et r entiers et r < 9 et d'autre part a+b+c+d = 9q 0 +r0 avec q 0 et r0 entiers et r0 < 9. Or d'après la question (a) abcd = a + b + c + d + 9k donc abcd = 9q 0 + r0 + 9k = 9(q 0 + k) + r0 avec r0 < 9. Par unicité de la division euclidienne de abcd par 9 on en déduit que r = r0 . 3. (a) Déduire de la propriété P un critère de divisibilité par 9 d'un nombre entier naturel utilisant la somme de ses chires. Soit un entier n divisible par 9, alors le reste de la division euclidienne de n par 9 est égal à 0 et d'après la propriété P il en est de même pour la somme de ses chires. La somme de ses chires est donc divisible par 9. Réciproquement, si n est un nombre entier dont la somme de ses chires est divisible par 9 alors le reste de la division euclidienne de n par 9 est aussi 0 (d'après la propriété P) et il est donc divisible par 9. On peut en déduire qu'un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chires est divisible par 9. (b) Déterminer le plus grand diviseur commun de 18 et 163 330 258 643. La somme des chires de 163 330 258 643 est 1 + 6 + 3 + 3 + 3 + 0 + 2 + 5 + 8 + 6 + 4 + 3 = 44. On en déduit que 163 330 258 643 n'est pas divisible par 9 (ni par 3). De plus 163 330 258 643 est impair donc il n'est pas divisible par 2. Or les diviseurs de 18 sont 2, 3, 6 et 9. 163 330 258 643 et 18 n'ont donc pas de diviseur commun et leur PGCD est donc égal à 1 (ils sont premiers entre eux). S. Jolivet Page 2 Document placé sous licence CC- by - sa Fiche no 1, correction UE 306, M2 MEEF PE 2016-2017 Démonstration en géométrie Exercice3 : une première démonstration Dans un triangle BAC rectangle en A, on place un point P, au hasard, sur l'hypoténuse de ce triangle. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par P coupe cette droite (AB) en un point I. La perpendiculaire à la droite (AC) passant par P coupe cette droite (AC) en un point J. Lorsque l'on déplace le point P sur l'hypoténuse on peut remarquer que la longueur du segment [IJ] varie. Où faut-il placer le point P sur l'hypoténuse du triangle BAC pour que le segment [IJ] ait la plus petite longueur possible ? Exercice4 : le quadrilatère de Varignon (extrait d'un problème de Grenoble 1996) Soit un quadrilatère quelconque ABCD et E, F, G, H les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. 1. Démontrer que EF GH est un parallélogramme. 2. Préciser la nature de ce parallélogramme quand ABCD est : (a) un rectangle ; (b) un losange ; (c) un carré ; (d) un trapèze isocèle. S. Jolivet Page 3 Document placé sous licence CC- by - sa