chap. 1

1MA / Géométrie / 2016-2017
AIDE-MÉMOIRE
GÉOMÉTRIE
http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/cours-ma1-geometrie.pdf
TABLE DES MATIERES
1.A. Introduction...................................................................................................................................1
1.B. Point, droite et segment.............................................................................................................3
1.C. Angle.................................................................................................................................................4
1.D. Triangle...........................................................................................................................................5
Définition..........................................................................................................................................5
Types de triangles..........................................................................................................................6
Triangles semblables......................................................................................................................6
1.E. Théorèmes......................................................................................................................................7
Théorème de Pythagore..............................................................................................................7
Théorème de Thalès.......................................................................................................................8
Rapport de similitude-le théorème de Thalès dans le triangle.........................................10
Théorème de la Hauteur.............................................................................................................10
Théorème d’Euclide.......................................................................................................................11
1.F. Trigonométrie dans le triangle rectangle.............................................................................12
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Aide-mémoire
1.A. Introduction
Les séries d'exercices avec les objectifs sont résumés ci-dessous.
EXERCICES ET OBJECTIFS
Série 1
Identifier les relations entre les angles d'une figure donnée
Construire et reconnaître dan la géométrie : plan, points, droites, angles, triangles, droites
remarquables du triangle
Série 2
Maîtriser une démonstration du théorème de Pythagore
Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de Pythagore
Série 3
Résoudre des problèmes faisant intervenir les rapports de similitude et le théorème de Thalès.
Série 4
Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de la hauteur
Série 5
Comprendre la signification du sinus, du cosinus et de la tangente
Série 6
Utiliser les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles
Résoudre des problèmes divers avec le sinus, le cosinus et la tangente
Série 7
Utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques
Résoudre des problèmes divers avec les fonctions trigonométriques
Trouver les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour des angles particuliers (30°,45° et
60°)
p.2
Aide-mémoire
1.B. Point, droite et segment
POINT
Point : Le plus petit élément constitutif de l’espace géométrique. Il n’a aucune dimension, longueur,
largeur, épaisseur, volume ou autre.
Sa seule caractéristique est sa position.
Illustration :
ºA
Notation : A
DROITE ET SEGMENT
Droite : Ensemble infini de points.
Par deux points : il existe une seule droite qui passe, elle est infinie.
Illustration :
Demi-droite : Partie infinie d’une droite, limitée par un point.
Illustration :
Notation : (AB)
Notation : [AB)
Droites sécantes : Deux droites distinctes sont dites sécantes si elles possèdent un point
commun
Illustration :
Droites parallèles : Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles ne possèdent aucun point
commun
Notation : d // d '
Illustration :
Segment de droite : Partie finie d’une droite, limitée par deux points appelés extrémités du
segment.
Illustration :
Notation : [AB]
Distances, longueurs : Etant donnés deux points
nombre positif appelé distance entre A et B
A
et
B , il est possible de leur associer un
Notation :
AB
ou AB
p.3
Aide-mémoire
1.C. Angle
Angle : Portion de plan limitée par deux demi-droites de même origine.
Illustration :
Notation : lettre grecque minuscule (voir CRM) pour la mesure d'angle ou
^
ABC
Angle plat : Si les deux demi-droites qui le définissent sont dans le prolongement l’une de l’autre.
Illustration :
Angles adjacents : S’ils ont le sommet commun, une demi-droite commune et s’ils sont situés d’une
part et d’autre de cette demi-droite.
Illustration :
Angle droit : Si les deux demi-droites qui le définissent sont perpendiculaires.
Illustration :
Angles isométriques : S’ils sont superposables. Deux angles isométriques ont la même mesure
Angle aigu : Si sa mesure est plus petite que 90°
Illustration :
Angle obtus : Si sa mesure est plus grande que 90°.
Illustration :
Angles complémentaires : Si la somme de leurs mesure vaut 90°.
Angles supplémentaires : Si la somme de leurs mesures vaut 180°
p.4
Aide-mémoire
Angles opposés par le sommet : (voir illustration)
α 1 et α 2 sont opposés par le sommet ainsi que
β 1 et β2
Angles correspondants, angles alternes-internes, angles alternes-externes :
(voir illustration)
Remarque : Deux angles de même nom sont isométriques, lorsque d1 et d2 sont parallèles
1.D. Triangle
Définition
Un triangle est un polygone à trois côtés.
Pour désigner ses différentes composantes, on utilise les conventions suivantes :
➢ Les lettres majuscules désignent les sommets du triangle (souvent A,B, C), ils sont placés
dans l’ordre inverse du sens des aiguilles d’une montre
➢
Les lettres minuscules désignent les côtés ou leur longueur, le côté a est le côté qui est
opposé au sommet A, le côté b est le côté qui est opposé au sommet B, etc.
➢
Les lettres minuscules grecques désignent les angles, l’angle α (alpha) se trouve au
sommet A, l’angle β (bêta) au sommet B et l’angle γ (gamma) au sommet C.
p.5
Aide-mémoire
Types de triangles
Trois types de triangles portent un nom particulier :
➢
Un triangle rectangle qui possède un angle droit.
➢
Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux
( ⇔ 2 côtés égaux).
➢
Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux
( ⇔ 3 côtés égaux).
Si un triangle n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral, on dit qu’il est quelconque.
Triangles semblables
Définitions : deux triangles sont semblables s'ils ont trois angles égaux.
Lorsque deux triangles sont semblables, il existe une correspondance entre leurs côtés.
On appelle homologues, des côtés qui joignent des angles de même valeur.
De même, il existe une correspondance entre leurs sommets.
On appelle aussi homologues, les sommets correspondants des deux triangles.
Remarque : Il suffit que deux angles soient égaux pour que le troisième angle de chaque triangle
soit le même, et donc que les deux triangles soient semblables.
Voici cinq triangles semblables :
Les cinq côtés [AB], [A'B'], [A''B''] , [A'''B'''] , [A''''B''''] sont homologues,
ainsi que les cinq côtés [AC], [A'C'], [A''C''] , [A'''C'''] , [A''''C'''']
et les cinq côtés [BC], [B'C'], [B''C''] , [B'''C'''] , [B''''C'''']
Le triangle ABC a été réduit, pour donner le triangle
A'B'C' qui a été translaté, pour donner le triangle
A''B''C'' qui a été tourné, pour donner le triangle
A'''B'''C''' qui a subit une symétrie, pour donner le
triangle A''''B''''C''''.
p.6
Aide-mémoire
1.E. Théorèmes
Théorème de Pythagore
Pythagore de Samos, né à Samos en environ 580 avant JC, décédé
en Italie en environ 500 avant JC
Théorème de Pythagore :
Si un triangle possède un angle droit,
Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Démonstration : ( voir aussi tutoriel:www.dcpe.net/video/maths/ma1-thm pythagore.mp4 )

c

b
c
a


a
b
On calcule l'aire de ce trapèze de deux façons différentes :
Aire du trapèze
A1 
 a  b  a  b
2
Addition de l'aire de 3 triangles rectangles
Comme
a 2  2ab  b 2
2
ab c 2
c2
A 2=2⋅( )+ =ab+
2
2
2

A1  A2 ,
a 2  2ab  b 2
c2
 ab 
2
2
2
2
a  2ab  b  2ab  c 2
a 2  b2  c2
Réciproque : Dans un théorème, il y a une hypothèse et une conclusion. Si l’on inverse
l’hypothèse et la conclusion, on obtient une nouvelle assertion, appelée réciproque, qui peut
être vraie ou fausse.
Ici, la réciproque est vraie :
Réciproque du Théorème de Pythagore :
Si le carré d’un côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
Alors ce triangle est un triangle rectangle.
p.7
Aide-mémoire
Théorème de Thalès
Thalès de Milet, (environ : 625-547 av. J.-C.) était un mathématicien, astronome, physicien
et philosophe grec.
Théorème de Thalès
On considère :
● deux droites d et d' sécantes en A,
● deux points B et M de d distincts de A,
● deux points C et N de d', distincts de A,
Alors si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, on a :
AM AN MN


.
AB AC BC
Voici 3 configurations possibles :
p.8
Aide-mémoire
Démonstration (la première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans le livre
VI de ses Eléments), en langage moderne :
Les aires des triangles BEF et CEF sont
égales et valent toutes deux =
Or
EF⋅h
2
aire  ABF   aire  AEF   aire  BEF  ,
et de même :
aire  ACE   aire  AEF   aire  CEF  .
Donc
aire  ABF   aire  ACE  .
Nous allons exploiter ces égalités sur les
aires.
En utilisant la hauteur (FI), on trouve
que :
AB⋅FI
2
AE⋅FI
 aire (AEF)
2
aire  ABF  AB

On a donc :
(1)
aire  AEF  AE

aire (ABF)
De même, en utilisant la hauteur (EJ), on
trouve :
aire  ACE 
aire  AEF 

AC
(2)
AF
Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le
théorème de Thalès.
p.9
Aide-mémoire
Rapport de similitude-le théorème de Thalès dans le triangle
Application aux trois côtés d’un triangle :
Rapport de similitude
Dans le cas de deux triangles semblables AMN et ABC,
on a le rapport de similitude suivant :
Voici 3 configurations possibles:
AM AN MN


AB AC BC
(les segments [ BC] et [MN] sont parallèles)
Théorème de la Hauteur
Vérifions que les triangles rectangles ABC, CBH et ACH sont semblables :
A l’aide de la similitude des triangles ACH et CBH, on peut écrire :
AC AH CH
=
=
BC CH BH
Avec la deuxième égalité, on peut obtenir :
AH CH
=
⇒ C H 2= AH ∙ HB C’est le théorème de la hauteur.
CH BH
Le carré de la hauteur issue de l’angle droit est égal au produit des deux longueurs
qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
p.10
Aide-mémoire
Théorème d’Euclide
Avec la similitude des triangles CBH et ABC(ci-dessus), on peut écrire :
CB CH BH
=
=
AB AC BC
Avec le premier et troisième terme, on obtient :
CB BH
=
⇒C B2 =HB ∙ AB
AB BC
C’est le théorème d’Euclide.
Le carré d’une cathète* est égal au produit de l’hypoténuse par
sa projection sur l’hypoténuse.
*Dans un triangle rectangle, un côté adjacent à l'angle droit est appelé une cathète
p.11
Aide-mémoire
1.F. Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le rapport de deux côtés est toujours le même pour un angle
donné. Par conséquent, on définit les rapports suivants en fonction d'un angle α :
le sinus de l'angle α
le cosinus de l'angle α
la tangente de l'angle α
définition :
définition :
définition :
sin( α)=
cos( α)=
tan( α)=
a côté opposé
=
c hypoténuse
b côté adjacent
=
c
hypoténuse
a côté opposé
=
b côté adjacent
Truc mnémotechnique pour s’en souvenir : "sin op hyp / cos adj hyp / tang op adj"
« sin op ip » : sinus = opposé sur hypoténuse
« cos adj ip » : cosinus = adjacent sur hypoténuse
« tang op adj » : tangente = opposé sur adjacent
Avant l'apparition de bonnes calculatrices, les élèves et scientifiques en général utilisaient
des tables de valeurs. Ces formules sont programmées dans vos calculatrices. Il faudra
donc ne pas oublier de vous munir de cet outil précieux en trigonométrie !
p.12
Aide-mémoire
Remarque concernant la calculatrice :
- chaque calculatrice possède des touches permettant de calculer des approximations
numériques des fonctions Sinus, Cosinus et Tangente.
- attention : un angle peut être exprimé autrement qu’en degrés. (Voir en 2e du collège)
Quand vous calculerez le sinus, le cosinus ou la tangente d’un angle en degrés sur la
calculatrice, vous devrez vous assurer d’avoir sélectionné le mode de calcul d’angles en
degrés.
- chaque calculatrice possède des touches permettant de calculer des approximations
numériques des fonctions sinus, cosinus et tangente. Elles permettent aussi d’effectuer le
calcul inverse, c.-à.-d. de calculer un angle si l'on connaît le rapport des longueurs de deux
côtés d’un triangle rectangle.
BC
BC
BC
⇒ α=sin −1
=arcsin
=l' angleopposé à BC
AB
AB
AB
AC
BC
AC
cos ( α )=
⇒ α=cos−1
=arccos
=l ' angle opposé à AC
AB
AB
AB
BC
BC
BC
tan ( α )=
⇒ α =tan−1
=arctan
AC
AC
AC
sin ( α )=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
p.13