proposé Jury | MM. BOTJLIGAI{D CHOQT'DT .GERMAÏN RESUME DE LA T}T$SE DD DOC?ORAI ES SCTENCES MA:IHDMAIIS.UES présentée par Licenciée e s-Matlrématiques Docteur solls la Andrée Jème cyc1e en Mathématiques préparée thèse BASTIAIII directlon à ltlnstitut de U. le H. Polnearé Professeur CHOQUPT DÏFFERENTTABILITD DAI{S LES ESPACES LOCALEMENT CONITE]GS - .DTSTRUCTURtsS II La première tion partj.e à 1t étude et de la de La notion thèse est consacrée à La définl-- de d,ifférentiabtl-ité dans les espaces LocaLement convexes. Soient ouvert est de D et tangente F et pour et tvr conserve (r), une application à pour LocaLement convexes, de A dans F. tout voisinage On dit Y de A un que f O dans de O dans E, { E, iL existe deux voisinages teLs que Les conditions r vt É v + Ut (.r) composition, continue tangente deux espaces entratnent différentiable llnéaire soit v ( U (.r) par f F à O en O slr tout U (.r) et Ut est E et en x Df (") O en O, (tvt 1 Ê w. Cette notion se produit. J.inéarité, On dit que f f € A etj-I" existe une appJ.ioation telLe que ltappJ.ioation r 2 Si E est partl-elles des dérj-vées est différentiable pour tout sir est oontinues sur A. v un scalalre, sL J.lapplication Si eontlnue f est { E, lrapplicatlon ! sur tout polnt admet t -.--*5f (*, D.f aLors de A, ce théorème au cas sur A (x + tr), en t v) f où = O et r o.r (*, v) A r ( E .O n a J . e s t h é o r è m e s de A. f différentlable admet une dérivée différentiable poi,nt tout Pour étendre : que si salt en tout est D.f sur or f (*, v) ---; est finier amené à poser on est J-nfLni, t de dimension sur De plus compact de E. t alors f est différentiable en est rruniformément différentiablerl A, f La différentiablllté par se congerve Une autre notj.on dtapplication oompositj-on. différentiable . i n t r o d u i t e A est et les relations entre ces deux notj.ons (q,rf coincident exemple) sont E est si 1a différentiablllté de A , p u L s s u r A ! e n x s i f e s t rf. I Pour tout exlste yt si vérifiant v € E pour et de f que f à tout est $<t"1 n fois sous-espace tl-abJ.e, de différentieLle et contlnue suivante stll exiete (*) Dnf r de O dans F, tl, (.r) de O dans D tels € U (r), tvr n de f dl.fférentiable en x woisinage tout dtordre n fols séparément U (r.) et Ur (.r) et On dlt est La condition deux voisinages € v + Ut f foi.s différentiab].e une appJ-J-cation multil-inéaire d,e En dans F par étudléee, De même o n é t u d i e gn un point un espace de Banach réflexif sur on alt guer t . o . 1 v ) ;D n r ( * ) ) e t \ . différentiable sur A si de dlmension Dnf (*) et n est sl la n fois restrlction dlfféren- lrapplication r 3, (*rtt! est n fois sur A sont tiables Des topologies n fois fonctions si F est mes locaux l-nverses, aéparde, définit si atlas de dimension à groupe structuraL finl.e compJ.et A des automorphis- des prolongements (sauf de ce que les de La théorie topologique à groupe gue le dlune varlété dans certains n foi.s dee iets lnfinis t étend aux E- provlent cJ-assigue devi.ennent i-cl des espaces flbrés Il- en résulte ral. appelé I'hypotopologlquerf , pJ-us aux E-variétés un espace de E-variété comment La théorie difficulté de transitivité F est précompact. La donnée dtun La prlncJ.pale espaces fibrés c compl,et e t un espaee de Montel D. est sur V une structure des variétés et alors et D Oto que ainsi sont n fois différentiables sur V tel 'que J.a topologj-e comespondante On montre dlfférentiabLe. variétés. et et avec l-e pseudogroupe compatible de E qui alors complet, borné de D. est tout V un ensemble, de E dans V, tésimaux t un espace (Of') et Si E est dans Fr ainsi différentiables Si E est métrisable complets. alors Solt soit exemple un espace de Montel, de Montel, 1 respace Dn des consid.érées sur métrLsabl-e et F (quasi-) quasi-compJ.et. leurs par différen- comparées avec celle-ci. lndéfiniment On obtl-ent (quasi-) n fols D des fonctions sur A. conservée par est sur A, à valeur ltespace sont n différentiable que sur Sl E est sont de A (formuJ-e dtapplicatlons et définies dlfférentLable point dlordre notions Dtautres composition. r !. r t r) n foig en tout différentlable Lo différentiabil-ité de Taylor). (tt, (*) Dnf Une fonctLon sur A x En. contlnue sur A est -*.-./ trr) ..., cas''par structuthéorème ne ntétend exemple sL 4, métrlsabLe). E est pour vériflé Etant tions données une E-variété n fois de V, à valeurs plus (j"ts utlles dtordre r, si et v ou vt cas général, Dans le et une F-variété V différentiab]-es dans Vt de différentielLes convexe, le€ proJ-ongenents tensorlels). .les applications variable oû montre que ce théorèrne est 1es pnolongements Gr - vitesses, étudie loutefolsr Vt r on ouvert A drun on définlt différentes no- est un espace locaLement ltespace de ces appllcations est muni de topol-ogies. Partant de La catégorj-e (' c o n t j - n u e s t) a t u n sur laqueJ-le notion on définit est un élément (topologique) gébrlque (.t à la dtune culier; que la lnductives construetion permettent ind.uctlve nant une catégorie dant à certaines employée conslste simultanément topologieue r puls moyen algébrique, topologique). faites aux dLstructures. de former complet catégorie vectorielle (topologique) les En partJ.- catégorJ.es consldéré pJ-us petlte sur de passage aux et de nouvelres problène est de compJ.étlon al- pJ.upart des opérations dté.largissement (topologi- Une dlstructure une condition stétendent la de c.lasse vectoriel1e de complétion Le prLncipal de la orr introduit vectorteLI-e lrétude. de plus une condition 1es procédés Jets locaux dlstructures. sant catégorLe aans un autre, dtordrer de classe base de toute vérifiant On montre catégories une structure inductive J-inéaires (topoLoglque) espace vectoriel de catégorie gue) qui des applications est cetui de Ia de distructures aonnée et de conte- répon- condLtions suppléraentalres , La néthod.e à résoudre ce problème Ilocaler:entfr en utL]-l- La structure à rrrecoLlerrt de sorte algébrlque ces solutions à obtenlr et la strueture par un locales une catégorle de 5. On donne certains dLstructures. trouver aussi les l-ocales dtune façon solutions on peut cas dans lequels purement algé- brrique. Cas particuliers notlons au sens dtAronazajn rentiables ("t Etude de ; eourants ; divj-seurs. courants) générallsant les appllcations diffé- dtune E-variété principales propriétés et possédant dans une F-variété des distributions vectorielles les de Schwartz. permettent Les distructures de généraliser résultats certains de retrouver connusr par théorème dtéchange de la multiplicati-on par de Fourier transformation étude des parties flnies. vées partielles type simple de problèmes et la ou mixte. Elles résolution problème de Burmister. dans un article ultérieur. et exemple r et de la convolutlon généraux, ont beaucoup dfapplications des équations de problèmes En particulier de mécanique simplement dans des cas plus nouveJ-Les, notamment dans La théorLe le ; différentes de distrj-bution distributions L. : Complétlon de Cauchy de I résol-ution ou de physique aux dérieffective mattrématique Ces appJ-ications seront conure déveJ-oppées