CORRECTION de “Sur C et des anneaux liés à C"

DEUG MAAS-MIAS 1e année - Math 1
Université de Metz
10 octobre 2002
CORRECTION de “Sur C et des anneaux liés à C"
Correction de l’exercice 1
a) Posons z = 1+ √i3 . Alors An = z n − z̄ n .
√
On trouve la forme trigonométrique de z: z = √23 ( 23 + 12 i) =
n
π
π
D’où: An = √23 [ein 6 − e−in 6 ] (formule de Moivre).
n
On en déduit que: An = √23 2i sin(n π6 ) (formule d’Euler).
π
√2 ei 6 .
3
n
b) Tout d’abord, si n est multiple de 6, c’est-à-dire, si n = 6m, alors An = √23 2i sin(mπ) = 0.
D’autre part, en utilisant la formule du binôme de Newton, on trouve que:
An =
n
X
Cnk
k=0
1
√
3
k
ik −
n
X
Cnk
k=0
1
√
3
k
(−i)k =
n
X
Cnk
k=0
1
√
3
k
ik − (−i)k .
Lorsque k est impair, c’est-à-dire si k = 2p + 1, alors ik − (−i)k = (i2 )p i − (−1)2p+1 (i2 )p i = (−1)p 2i.
Et lorsque k est pair, c’est-à-dire si k = 2p, alors ik − (−i)k = (i2 )p − (−1)2p (i2 )p = 0.
On en déduit, en se rappelant que n est supposé pair:
n
2 −1
An =
X
Cn2p+1
p=0
1
√
3
2p+1
n
n
2 −1
Comme An = 0, on conclut que:
n
2p
p
2 −1
2 −1
1 X
1
1 X
1
p
p 2p+1
p 2p+1
√
(−1) 2i = 2i √
(−1) Cn
= 2i √
(−1) Cn
.
3
3 p=0
3
3 p=0
X
p
(−1)
Cn2p+1
p=0
p
1
= 0, ce qu’il fallait démontrer.
3
Correction de l’exercice 2
Notons A = F(C, C).
1. Soient f, g, h ∈ A.
def.
• Pour tout z ∈ C, (f +
+ g)(z) = f (z) + g(z)
commutative.
(C,+) comm.
=
def.
g(z) + f (z) = (g +
+ f )(z) donc f +
+g = g +
+ f . + est donc
def.
• Pour tout z ∈ C, ((f +
+ g) +
+ h)(z) = (f (z) + g(z)) + h(z)
Donc (f +
+ g) +
+h = f +
+ (g +
+ h). + est donc associative.
(C,+) assoc.
=
def.
f (z) + (g(z) + h(z)) = (f +
+ (g +
+ h))(z).
def.
• Soit OA ∈ A définie par OA (z) = 0 , ∀z ∈ C. Pour tout z ∈ C, on a (f + OA )(z) = f (z)+OA (z) = f (z)+0 = f (z)
et donc f +
+ OA = f (=OA +
+ f par commutativité). + a donc un élément neutre: OA .
def.
• Soit f¯ ∈ A définie par f¯(z) = −f (z) , ∀z ∈ C. Pour tout z ∈ C, on a (f +
+ f¯)(z) = f (z) + f¯(z) = f (z) − f (z) =
0 = OA (z) et donc f +
+ f¯ = OA . Tout élément de A a donc un inverse pour + .
Par ces quatres points on vient de montrer que (A, + ) est un groupe commutatif.
def.
• Pour tout z ∈ C, (f • g)(z) = f (z).g(z)
commutative.
def.
(C,.) comm.
=
def.
g(z).f (z) = (g • f )(z) donc f • g = g • f . • est donc
• Pour tout z ∈ C, ((f • g) • h)(z) = (f (z).g(z)).h(z)
(f • g) • h = f • (g • h). • est donc associative.
(C,.) assoc.
=
def.
f (z).(g(z).h(z)) = (f • (g • h))(z). Donc
def.
• Soit IA ∈ A définie par IA (z) = 1 , ∀z ∈ C. Pour tout z ∈ C, on a (f • IA )(z) = f (z).IA (z) = f (z).1 = f (z) et
donc f • IA = f (=IA • f par commutativité). • a donc un élément neutre: IA .
def.
def.
distrib.dansC
• Pour tout z ∈ C, ((f + g) • h)(z) = (f (z) + g(z)).h(z)
=
f (z).h(z) + g(z).h(z)) = ((f • h) + (g • h))(z).
Donc (f +
+ g) • h = (f • h) +
+ (g • h). Par commutativité de •, on a aussi f • (g +
+ h) = (f • g) +
+ (f • h) et on a donc
bien la distribitivité.
Les trois dernières propriétés ajoutées à (A, + ) groupe commutatif montrent que A est un anneau. La première propriété prouve que A est un anneau commutatif.
1 si |z| < 1
0 si |z| < 1
2. Soient f ∈ A définie par f (z) =
et g ∈ A définie par g(z) =
. Donc, pour tout z ∈ C tel
0 si |z| > 1
1 si |z| > 1
que |z| < 1, on a (f •g)(z) = f (z).g(z) = 1.0 = 0 et pour tout z ∈ C tel que |z| > 1, on a (f •g)(z) = f (z).g(z) = 0.1 = 0.
Par suite on a (f • g)(z) = 0 , ∀z ∈ C, autrement dit, f • g = OA . Or f 6= OA et g 6= OA . Donc A n’est pas intègre.
3.
•
– OA (z0 ) = 0 donc OA ∈ Iz0 .
def.
– Soient f, g ∈ Iz0 . (f +
+ g)(z0 ) = f (z0 ) + g(z0 ) = 0 + 0 = 0 donc f +
+ g ∈ Iz0 .
– Si g ∈ Iz0 , ḡ(z0 ) = −g(z0 ) = 0, donc ḡ ∈ Iz0 .
Donc (Iz0 , + ) est un sous-groupe de (A, + ).
def.
• Soient f ∈ A et g ∈ Iz0 . (f • g)(z0 ) = f (z0 ).g(z0 ) = 0.0 = 0 donc f • g ∈ Iz0 .
Ces deux propriétés montrent que Iz0 est un idéal de A
Correction du problème
1. (a)
Sur des extensions simples de Z et de Q
• Comme j 3 = 1, ∀k ∈ N on a j k = 1 ou j ou j 2 suivant que k = 3n ou 3n + 1 ou 3n + 2 et donc si z ∈ Z[j] on
peut écrire, en regroupant les termes, z = a + bj + cj 2 . Comme, de plus, j est une racine cubique imaginaire
de l’unité (i.e. j 6= 1) on a j 2 + j + 1 = 0 (car u3 − 1 = (u − 1)(u2 + u + 1)). Donc j 2 = −j − 1 et donc pour
tout z ∈ Z[j] on peut trouver a et b tel que z = a + bj.
• Unicité: supposons que l’on obtienne deux formes de ce type pour un z ∈ Z[j] ç. à d. z = a + bj = a0 + b0 j.
On a alors (a − a0 ) = j(b0 − b). Or j ∈ C − R et a − a0 ∈ Z ⊂ R et b0 − b ∈ Z ⊂ R. Donc la seule façon d’avoir
l’égalité est d’avoir a − a0 = b0 − b = 0 ç. à d. a = a0 et b = b0 . On a donc bien l’unicité de cette écriture d’un
élément de Z[j] sous la forme a + bj , a, b ∈ Z.
(b) On va tout de suite donner les lois d’addition et de multiplication dans Z[j] et ainsi vérifier la stabilité des deux
lois de composition de C dans Z[j] (i.e. si z1 , z2 ∈ Z[j], z1 + z2 ∈ Z[j] et z1 z2 ∈ Z[j]):
• z1 + z2 = (a1 + b1 j) + (a2 + b2 j) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )j ∈ Z[j]
• z1 z2 = (a1 + b1 j)(a2 + b2 j) = a1 a2 + a1 b2 j + b1 a2 j + b1 b2 j 2 = a1 a2 + (a1 b2 + a2 b1 )j + b1 b2 (−j − 1) =
(a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 − b1 b2 )j ∈ Z[j]
On a également la stabilité par passage à l’opposé: −z1 = −(a1 + b1 j) = (−a1 ) + (−b1 )j ∈ Z[j]. Par ces stabilités
et comme 0 (= 0 + 0j) et 1 (= 1 + 0j) sont dans Z[j], Z[j] est un sous-anneau de C et donc Z[j] est un anneau
commutatif intègre puisque C l’est (on pourra vérifier que ces propriétés “passent" aux sous-anneaux).
(c) Z ⊂ Z[j] en remarquant que Z = {a + bj ∈ Z[j] | b = 0}.
On a alors, si z1 , z2 ∈ Z, z1 + z2 (= (z1 + z2 ) + 0j) ∈ Z, z1 z2 (= (z1 z2 ) + 0j) ∈ Z et −z1 (= (−z1 ) + 0j) ∈ Z.
Comme 0 (= 0 + 0j), 1 (= 1 + 0j) ∈ Z, Z est bien un sous anneau de Z[j]. Par contre, si z ∈ Z∗ , jz 6∈ Z et donc Z
n’est pas un idéal de Z[j].
2. (a)
• Soient a, b ∈ U (A). Montrons que ab ∈ U (A): soit ã ∈ A tel que aã = 1A et soit b̃ ∈ A tel que bb̃ = 1A . En
multipliant ces deux équations et par la commutativité de A on obtient abãb̃ = 1A et donc ab ∈ U (A).
• La commutativité et l’associativité de la multiplication dans A induisent ces propriétés dans U (A).
• 1A .1A = 1A et donc 1A ∈ U (A).
• Soit a ∈ U (A). Par définition il existe ã ∈ A tel que aã = 1A et donc on a (tout est commutatif) ã ∈ U (A) et ã
est l’inverse de a. On a donc montré que tout élément de U (A) a un inverse dans U (A).
Par ces propriétés on a bien montré que U (A) est un groupe commutatif.
(b) Soit a + bj ∈ U (Z[j]) c. à d. il existe c + dj ∈ Z[j] tel que (a + bj)(c + dj) = 1. En prenant le module de cette
équation, on obtient |a + bj||c + dj| = 1 ce qui est vérifié si et seulement si |a + bj|2 |c + dj|2 = 1 car l’équation
ne comporte que des réels positifs. Cela donne: (a2 + b2 − ab)(c2 + d2 − cd) = 1. Comme (a2 + b2 − ab) ∈ Z et
(c2 + d2 − cd) ∈ Z les seules solutions sont a2 + b2 − ab = c2 + d2 − cd = 1 ou a2 + b2 − ab = c2 + d2 − cd = −1.
Cela ce résume en définitive à la seule équation a2 + b2 − ab = 1 car ∀a, b ∈ Z, a2 + b2 − ab > 0. En effet, si ab 6 0,
a2 + b2 − ab > 0 et si ab > 0, a2 + b2 − ab = (a − b)2 + ab > 0.
Maintenant, si a2 + b2 − ab = 1 on a
• a2 + b2 = 1 + ab donc 1 + ab > 0 et donc ab > −1.
• a2 + b2 − ab = (a − b)2 + ab = 1 donc (a − b)2 = 1 − ab donc 1 − ab > 0 et donc ab 6 1.
D’où −1 6 ab 6 1 et on trouve {(a, b) ∈ Z × Z | a2 + b2 − ab = 1} = {(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1), (1, 1), (−1, −1)},
ce qui donne U (Z[j]) = {1, −1, j, −j, 1 + j, −1 − j} (= {1, −1, j, −j, −j 2 , j 2 } ' Z/6Z).
3. (a) L’intégralité de ce qui est écrit en 1a et 1b s’applique en remplaçant Z par Q.
(b) Soient a, b ∈ Q vérifiant a2 + b2 − ab = 0. On obtient immédiatement a2 + b2 = ab et donc ab > 0 (?). On a
également a2 + b2 − ab = (a − b)2 + ab = 0, donc (a − b)2 = −ab et on obtient ab 6 0 (??). Par (?) et (??) on a
ab = 0. L’équation de départ donne alors a2 + b2 = 0 et donc a = b = 0. La réciproque est évidente.
(c) Soient a, b ∈ Q∗ . Calculons dans C:
a + j2b
a + jb
a + jb
1
j 2 =j
=
=
=
(a + jb)(a + j 2 b)
a + jb
(a + jb)(a + jb)
(a + jb)(a + jb)
j 3 =1, j 2 =−j−1
=
a − b − jb
a2 + b2 − ab
a−b
b
−j 2
∈ Q[j].
2
+ b − ab
a + b2 − ab
On a αβ = 1 et donc pour chaque élément non nul de Q[j] il existe un inverse dans Q[j]. Q[j] est donc un corps.
Maintenant revenons dans Q[j]: soit α = a + jb ∈ Q[j]∗ . On considère β =
a2