NOMBRES COMPLEXES : FORME TRIGONOMÉTRIQUE I. Forme trigonométrique : 1°) Module d’un nombre complexe (rappel) : Définition : Le module du complexe z = a + ib est le réel positif noté |z| tel que |z| = a 2b 2 . Interprétation géométrique : Si zM est l’affixe du point M, |zM| = OM (distance de O à M). ⃗ z AB| = AB (distance de A à B). Si z ⃗ AB est l’affixe du vecteur AB , | ⃗ Propriété : Pour tout nombre complexes z, zz = |z|2. Preuve : zz = (a + ib)(a – ib) = a2 – (ib)2 = a2 + b2 = |z|2. Exemple : Calculons le module de chacun des nombres complexes suivants : |3 + 4i| = |1 − i| = 3 24 2 1 21 2 =5 |−5 − 2i| = = 2 −52 −2 2 = 29 |−5| = 5 |9i| = 9 2°) Arguments d’un nombre complexe : y Définition : Soit z = a + ib non nul et M le point d’affixe z. On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que M θ = ( u , ⃗ OM ) [2] |z| On note θ = arg (z) θ vérifie : { v ⃗ a a b 2 b sin = 2 2 a b cos = 2 O u ⃗ b θ = arg(z) a H x L'unique argument compris dans l'intervalle ]– ; ] est appelé l'argument principal de z. Exemple : Soit z = 2 3 – 2i. Calculons le module et l'argument principal de z. |z| = 2 3 2 2 2 = 124 = 4 2 3 3 = . Donc = . Mais attention, on se souvient que sur le cercle trigonométrique il y a 6 4 2 deux angles qui ont le même cosinus : 6 et – 6 . Pour savoir duquel des deux il s'agit, il faut regarder le signe −2 1 de sin ou plus simplement le signe de b. Ici, sin = = − < 0 (tout comme b = –2 < 0). On en conclue 4 2 que = – . 6 cos = Remarque : Nous remarquons donc que, si ∈ ]– ; ], cos permet de trouver la valeur absolue de et que sin ou b permettent d'en déterminer le signe. Propriété : Deux nombres complexes z et z' sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux à 2 près (modulo 2 pour les spécialistes). si a > 0, alors z ∈ ℝ+∗ et on a donc arg(z) = 0 :a rg si a < 0, alors z ∈ ℝ et on a donc arg(z) = -∗ si a = 0 alors )= 3 /4 )= –3 / 4 2 a = 0 et b < 0 : arg (z) = – /2 0 :a rg (z si a = b alors = b et a < 0 si a et b sont positifs, arg(z) = 4 a 3 si a et b sont négatifs arg(z) = – 4 (z )= a > 0 et b = 0 : arg (z) = 0 a < 0 et b = 0 : arg (z) = si b > 0, M ∈ [0 ; v ) et on a donc arg(z) = 2 si b < 0, M ∈ [0 ; – v ) et on a donc arg(z) = – (z :a rg 0 0 < > a a si b = 0 alors et et –b b = = Quelques cas simples : soit z = a + ib non nul affixe du point M : y a = 0 et b > 0 : arg (z) = /2 a a Remarque : / 4 z = z' ⇔ |z| = |z'| et arg (z) = arg (z') à 2 près. a = x –b et a > 0 :a rg (z )= – /4 si a = –b alors si a > 0, arg(z) = – 4 3 si a < 0, arg(z) = 4 . Exemples : 3 arg(1 + i) = 4 ; arg(2i) = 2 ; arg(3) = 0 ; arg(–2 + 2i) = 4 . 3°) Forme trigonométrique : y Définition : Soit z le nombre complexe de module et d’argument . D’après la figure ci-contre, z peut s’écrire z = cos + isin cos + i sin ). Cette écriture est appelée trigonométrique du nombre complexe. forme Réciproquement, si z = cos + i sin ) avec et réels et > 0, alors = |z| et = arg(z) (2). M sin sin O 1 cos cos x II. Propriété des module et arguments : 1°) Propriétés immédiates : Propriété : Pour tout nombre complexe non nul : (1) |–z| = |z| ; arg(–z) = arg(z) + [2]. (2) |z| = |z| ; arg(z) = –arg(z) [2]. y M1' (–z = –a + ib) (3) z est un nombre réel non nul si et seulement si arg (z) = 0 []. M (z = a + ib) b –a (4) z est un nombre imaginaire pur non nul si π et seulement si arg (z) = 2 []. M1 (–z = –a – ib) O –b a x M' (z = a – ib) 2°) Opérations : Propriété : Pour tous nombres complexes non nuls z et z', et pour tout entier naturel n, (1) |zz'| = |z|.|z'| arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2] (2) |zn| = |z|n arg(zn) = n arg(z) [2] ( 1z ) = –arg (z) z arg ( ) = arg (z) – arg (z') z' |1z| = |1z| z' |z '| (4) | | = |z| z (3) arg (5) |z + z'| |z| + |z'| c'est l'inégalité triangulaire. Preuve : (1) on pose z = (cos + i sin ) et z = '(cos ' + i sin '). On a alors zz' = (cos + i sin ) × '(cos ' + i sin ') = '(cos + i sin )(cos ' + i sin ') = '(cos cos ' + i cos sin ' + i sin cos ' + i2 sin sin ') = '(cos cos ' – sin sin ' + i (cos sin ' + sin cos ')) = '(cos ( + ') + i sin ( + ')) d'après les formules d'addition vue en première (chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie). (3) On pose z = 1 , d'où zz' = 1. z' Donc 1 = '(cos ( + ') + i sin ( + ')). Or |1| = 1 et arg (1) = 0 donc ' = 1 et + ' = 0 donc = 1 et = –'. ρ' 3°) Lien avec le plan complexes : Propriété : Si A et B sont deux points du plan complexes muni du repère orthonormal (O; ⃗ u,⃗ v ) ayant pour affixes respectives zA et zB, alors AB = |zB – zA| et si A et B sont distincts, (⃗u ; ⃗ AB) = arg (zB – zA). Corollaire (hors programme) : Soient A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) quatre points deux à deux distincts. Alors : z −z CD z D− z C = AB; ⃗ CD)=arg D C . et (⃗ AB z B −z A z B −z A | | ( ) Preuve : z −z CD |z D− z C| z D− z C = = AB; ⃗ CD)=( ⃗u ; ⃗ CD)−(⃗ AB; ⃗u )=arg ( z D −z C )−arg ( z B −z A )=arg D C . et (⃗ AB |z B −z A| z B− z A z B− z A | | ( ) III. Notation exponentielle : 1°) La fonction θ cos θ + i sin θ : Propriétés : Soit f la fonction définie pour tout réel par f () = cos + i sin . (1) f ( + ') = f ()f ('). (2) f est dérivable sur ℝ et f ' () = if (). Preuve : (1) On a f ()f (') = (cos + i sin ) × (cos ' + i sin ') = (cos cos ' + i cos sin ' + i sin cos ' + i2 sin sin ') = (cos cos ' – sin sin ' + i (cos sin ' + sin cos ')) = (cos ( + ') + i sin ( + ')) d'après les formules d'addition vue en première (chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie). = f ( + ') Conclusion : La fonction f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle. (2) On l'admet pour le moment, on pourra le démontrer aisément lorsque l'on aura étudié les fonctions sinus et cosinus et que l'on saura que (cos)' = –sin et que (sin)' = cos. Conclusion : Cette relation est à rapprocher du fait que si g (x) = ekx, alors g est dérivable sur ℝ et g' (x) = kekx. Notation : Ces analogies avec la fonction exponentielle conduisent à la notation : Pour tout nombre réel , ei = cos + i sin . Ainsi ei désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est . |ei| = 1 et arg (ei) = [2] Exemples : e0i = e2i = 1 ; ei = e–i = –1 ; e iπ 2 −i π 2 =i; e = –i ; e iπ 4 = √ 2 + √ 2 i ; i 23π = − 1 + √ 3 i ; −iθ = e iθ . e e 2 2 2 2 2°) Forme exponentielle d'un nombre complexes : Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module = |z| et dont un argument est θ = arg (z). Une forme exponentielle de z est z = eiθ. Cette écriture est appelée notation exponentielle de z. Remarque : On a alors z = eiθ = (cos θ + i sin θ) = cos θ + i sin θ = a + ib. Exemple 1 : Exemple 2 : Passage de la forme algébrique à la forme Passage de la forme exponentielle à la forme exponentielle : algébrique : z=1+i |z| = 1 21 2 = 2 arg (z) = 4 (cas où a = b > 0) Donc z = iπ √2 e 4 . z = 4e i 3π 4 [ ( ) ( )] 3π 3π +i sin z = 4 cos 4 [ 4 √ √ z = 4 – +i 2 2 2 2 ] z = – 2 √ 2+2 i √ 2 . Propriétés : Pour tous nombres réels non nuls et ' et pour tout entier naturel n, (1) ei × ei' = ei(+') ; (2) (e i θ)n = ein ; (3) 1 ei θ iθ –i i( – ') = e = et (4) . e iθ i θ' = e e e