Séries de Fourier III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d’approche. b. Deuxième exercice d’approche c. Convergences. III 2 - Séries de Fourier a. Définition. b. Exemples. c. Convergence dans L1 . d. Convergence dans L2 . e. Opérations sur les séries de Fourier. Séries de Fourier 1 III - 1a Nous considérons la série de fonctions trigonométriques définie par u0 up 1 2 2 sin ( 2p − 1) π t = π 2p−1 = Ex er cic e p≥1 1° Etablir la convergence uniforme sur R \ Z. 2° Tracer (pour quelques valeurs de n) la fonction n fn (t ) = ∑u p p =0 3° Formuler une hypothèse sur la somme de la série f (t ) = +∞ ∑u p=0 p Séries de Fourier 2 > u := (p,t) -> 2 / Pi*sin((2*p-1)*Pi*t) / (2*p-1) : > asympt(u(p,t), p, 2); M AP LE 1 sin ( 2p − 1) π t + O 2 πp p Conclusion u(p,t) = α(p,t) v(p) : { } 1 * la série α p ( t ) = sin ( 2 p + 1) π t est majorée par sin π t * la suite v p = 1 est positive et décroissante vers 0 π p Donc il y a convergence uniforme (Critère d’Abel), sur R \ Z. > f :=(n,t) -> 1/2+sum(u(p,t), p=1..n) : Séries de Fourier 3 > with(plots) : > a := plot(f(5,t), t=-1..2, y=-0.2..1.2, color=blue): > b := plot(f(100,t),t=-1..2,y=-0.2..1.2,color=red) : > display(a, b) ; f(5,t) M AP LE f(100,t) Séries de Fourier 4 Nous pouvons présumer que la fonction f(t) est une fonction 2-périodique, définie par 0 f(t)= 1 Ex er cic e si − 1 < t < 0 si 0 < t < 1 Nous remarquons que f(t) est bien discontinue, ce qui résulte de la CU sur R \ Z. La valeur de f(t) pour t entier relatif n’est pas précisée. Nous contrôlerons ce résultat au III 2 b Exemple 1. Séries de Fourier 5 > d := plot( f(75, t), t=0..0.1, y=0.9..1.1, color=blue, numpoints=1500) : > e :=plot( f(100, t), t=0..0.1, y=0.9..1.1, color=red, numpoints=1500) : > display( d, e) ; M AP LE Mêmes maxi relatifs Séries de Fourier 6 III - 1b Nous considérons la série de fonctions trigonométriques définie par u0 up 1 2 4 cos ( 2p − 1) π t = 2 π ( 2p − 1)2 Ex er cic e = p≥ 1 1° Etablir la convergence uniforme sur R. 2° Tracer (pour quelques valeurs de n) la fonction n fn (t ) = ∑u p p=0 3° Formuler une hypothèse sur la somme de la série Séries de Fourier 7 > u := (p,t) -> 4/Pi^2*cos((2*p-1)*Pi*t)/(2*p-1)^2 : M AP LE > asympt(u(p,t), p, 3); 1 cos ( 2p − 1) π t O + 3 p π 2 p2 Conclusion : up ≤ 1 π 2 p2 Il y a convergence normale (Critère de Riemann), ce qui entraîne la convergence uniforme sur R. > f :=(n,t) -> 1/2+sum(u(p,t), p=1..n) : Séries de Fourier 8 > with(plots) : > a := plot(f(1,t), t=-1..2, y=0..1, color=blue): > b := plot(f(5,t),t=-1..2,y=0..1,color=red) : > display(a, b) ; M AP LE f(1,t) f(5,t) Séries de Fourier 9 Nous pouvons présumer que la fonction f(t) est une fonction 2-périodique, paire, définie par Ex er cic e t + 1 si − 1 ≤ t ≤ 0 f(t)= − t + 1 si 0 ≤ t ≤ 1 Nous remarquons que f(t) est bien continue, ce qui résulte de la CU. Nous contrôlerons ce résultat au III 2 b Exemple 2. Séries de Fourier 10 III 1 c - Critères de convergence Série trigonométriques {u n = vn e − i n ω t } n∈Ζ Théorème : Il y a convergence uniforme sur R \ T Z avec T = 2π / ω si (v |n| ) est positive et décroissante vers 0 pour n → +∞ . f (t ) = +∞ ∑u n est continue sur R \ T Z. n=−∞ Il y a convergence normale donc uniforme sur R si convergente. { vn } est absolument +∞ f (t ) = ∑u n est continue sur R. n=−∞ Séries de Fourier 11 III 2 a - Série de Fourier f une fonction T-périodique, sa série de Fourier S f est +∞ 1 cn e i n ω t où cn = f ( t ) e − i n ω t dt (1) S f ( t ) = T ∆ ∑ ∫ n=−∞ ∆ est un intervalle d’amplitude T et ω = 2π / Τ . Il est possible d’exprimer (1) sous la forme (2) et +∞ ∑ a cos nω t +∑ b sin nω t 2 a = f ( t ) cos n ω t dt pour 1 ≤ n T∫ 2 b = f ( t ) sin n ω t dt pour 1 ≤ n . T∫ S f ( t ) = a0 + a0 = c0 , +∞ n n= 1 n n n n= 1 ∆ ∆ Seule condition : existence des intégrales soit f ∈L 1 ( ∆ ) . Séries de Fourier 12 III 2 b - Exemple 1 : Ex er cic e Soit la fonction 2-périodique définie par si 0 < t < 1 1 f(t)= 0 si − 1 < t < 0 1 / 2 si t = −1, 0 , 1 1° Déterminer la série Sf de Fourier de f. 2° Examiner la convergence de la série trigonométrique obtenue. La série S de Fourier est : f S f (t ) = +∞ ∑ cn e i n π t n=−∞ 1 avec cn = 2 ∫ 1 e − i n π t dt car f est nulle sur [-1, 0]. 0 Séries de Fourier 13 > > > > M AP LE T := 2 : omega := 2*Pi / T : assume( n, integer ) : Int(1 / 2*exp(-I*n*omega*t), t=0..1 ) : value( " ) : c[n] := simplify( (evalc( " ) ) ; valable pour n ≠ 0 1 − 1 + ( − 1) cn = I πn ~ 2 Conclusion : c2 p n~ i = 0 et c2 p− 1 = − . π ( 2 p − 1) > Int(1 / 2, t=0..1 ) : c[0] = value( " ) ; c0 = 1 2 Séries de Fourier 14 La série de Fourier de f est donc S f (t ) = 1 + 2 +∞ ∑ p =−∞ − i e i ( 2 p− 1) π t π ( 2 p − 1) Ex er cic e Nous pouvons regrouper 0 et 1, puis -1 et 2, ... , -p+1 et p − = i i i − 2 p+ 1) π t i 2 p − 1) π t e( − e( π (− 2 p + 1) π ( 2 p − 1) 2 sin ( 2 p − 1) π t π ( 2 p − 1) 1 S f (t ) = + 2 +∞ ∑ p=1 2 sin ( 2 p − 1) π t π ( 2 p − 1) Il y a convergence uniforme (Critère d’Abel), sur R \ Z. Nous retrouvons l’exercice III 1 a. Séries de Fourier 15 III 2 b - Exemple 2 : Ex er cic e Soit la fonction 2-périodique définie par t + 1 si − 1 ≤ t ≤ 0 f(t)= − t + 1 si 0 ≤ t ≤ 1 1° Déterminer la série Sf de Fourier de f. 2° Examiner la convergence de la série trigonométrique obtenue. la série S de Fourier est : f S f ( t ) = a0 + ∫ 1 (1 − t ) dt ∑ a cos n π t n n= 1 car f est paire, avec a0 = +∞ et an = 2 ∫ 1 (1 − t ) cos n π t dt 0 0 Séries de Fourier 16 > > > > M AP LE T := 2 : omega := 2*Pi / T : assume( n, integer ) : Int( 2*(1-t)*cos(n*Pi*t), t=0..1) : a[n] := factor( value( " ) ) ; valable pour n ≠ 0 1 − (− 1) π 2 n ~2 n~ an = 2 Conclusion : a2 p = 0 et a2 p− 1 = 4 π 2 ( 2 p − 1) 2 . > Int(1-t, t=0..1) : a[0] := value( " ) ; a0 = 1 2 Séries de Fourier 17 Ex er cic e La série de Fourier de f est donc S f (t ) = 1 + 2 +∞ ∑ p= 1 4 cos ( 2 p − 1) π t π 2 ( 2 p − 1) 2 Il y a convergence normale donc uniforme sur R. Nous retrouvons l’exercice III 1 b. Séries de Fourier 18 III 2 c - Convergence dans L1( ∆) f une fonction T-périodique, de série de Fourier +∞ 1 cn e i n ω t où cn = f ( t ) e − i n ω t dt (1) S f ( t ) = T ∆ ∑ ∫ n=−∞ ∆ est un intervalle d’amplitude T et ω = 2π / Τ . Théorème de Dirichlet : Si f est de classe C 1 par morceaux alors converge ponctuellement vers {c i nω t e n } 1 f ( t + ) + f ( t − )] = S f ( t ) . [ 2 Il y a convergence uniforme sur tout intervalle fermé où f est continue. Séries de Fourier 19 III 2 c - Convergence dans L2( ∆) L2(∆) Le produit scalaire dans u, v = ∫ est défini par u( t ) v( t ) dt ∆ Théorème : 1 i nω t e = e , n ∈Ζ n T est une base orthonormée de L2( ∆) . ( Le contrôler avec MAPLE ) L2(∆) est appelé espace de Hilbert. Séries de Fourier 20 Remarque et propriété : La fonction appartient à f (t ) = 1 t L2(∆) ⊂ L1(∆) 0<t≤1 L1(]0,1]) mais pas à L2 (]0,1]) . > Int(1/sqrt(t), t=0..1) : " = value( " ) ; ∫ 2 0 1 dt = 2 t M M AAPPL LEE > Int(1/t, t=0..1) : " = value( " ) ; ∫ 2 0 1 dt = ∞ t Séries de Fourier 21 Théorème de Parseval : n fn (t ) = La suite de fonctions ∑ c p ei pπ t , n ∈Ν p=− n converge dans L2( ∆) vers f ( t ) . Cela exprime que Lim f n , fn = f n→+∞ 2 ce qui est la formule de Parseval. +∞ f 2 =T ∑ cn 2 n=−∞ Séries de Fourier 22 Ex er cic e Soit la fonction 2π-périodique f (t ) = e t 0 ≤ t ≤ 2π 1° Dire pourquoi f admet un développement en série de Fourier. 2° Etudier la convergence dans 3° Déterminer S f (t) . L1([0,2π]) et L2([0,2π]). 4° Calculer la somme des séries numériques +∞ (− 1) +∞ ∑ 1+ n ∑ n= 1 n , 2 n= 1 1 et 2 1+ n Séries de Fourier +∞ ∑ (1 + n ) n= 1 1 2 2 . 23 III 2 e - Opérations sur les séries de Fourier 1) Dérivation terme à terme. f satisfaisant Dirichlet, alors f’ s’obtient en dérivant terme à terme ( ATTENTION : Dans le cas général la convergence n’a lieu que dans L2 ∆ . ( ) ( Il faudra examiner la série dérivée pour étudier la convergence dans L1 ∆ ) ( ) +∞ ' +∞ cn e i n ω t = i n ω cn e i n ω t n=−∞ n=−∞ ∑ ∑ Le terme n=0 disparaît dans la série dérivée. Séries de Fourier 24 2) Intégration terme à terme. f satisfaisant Dirichlet, alors ∫ f (t )dt s’obtient en intégrant terme à terme . ( ATTENTION : La présence de c0 implique l’ajout de la série de Fourier de la fonction correspondante) +∞ ∫∑ n=−∞ n≠0 +∞ cn e i n ω t dt = ∑ n=−∞ n≠ 0 1 cn e i n ω t i nω Le terme n=0 est à examiner tout particulièrement. Séries de Fourier 25