Chapitre 8 : Quantité de mouvement et collisions

Chapitre 8 : Quantité de mouvement et collisions
1. Quantité de mouvement
• Définition : soit un système isolé de N particules en interaction
F!ij
F!ji
paires action-réaction
F!ji + F!ij = !0
F!12 + F!13 + F!14 + ...F!N 1 + F!N 2 + ... = !0
m1!a1 + ... + mN !aN = !0
d!v1
d!vN
m1
+ ... + mN
= !0
dt
dt
d
(m1!v1 + ... + mN !vN ) = !0
dt
Un système isolé voit sa quantité de mouvement
!
mi!vi conservée.
• Notations : la quantité de mouvement
p! = m!v
• C’est une autre façon de lire la seconde loi de Newton.
!
d!v
d!
p
!
F = m!a = m
=
dt
dt
(si la masse est constante)
En l’absence de forces extérieures, la quantité de mouvement est constante.
2. Impulsion
d!
p
!
F =
dt
• Définition : seconde loi de Newton
d!
p = F! dt
p!f − p!i =
!
tf
F! dt
ti
impulsion :
I! =
!
tt
F! dt
ti
• Illustration :
|F! |
! = ∆t F̄
aire = |I|
F̄
t
ti
tf
• Impulsion utile dans l’étude des chocs/crashs :
3. Collisions (1d)
• Collisions élastiques : Conservation de la quantité de mouvement
Conservation de l’énergie
v1i
v2i
v1f
v2f
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
2
2
2
2
• En résolvant le système de 2 équations à 2 inconnues
!
"
!
"
m1 − m2
2m2
v1f =
v1i +
v2i
m1 + m2
m1 + m2
!
"
!
"
2m1
m1 − m2
v2f =
v1i +
v2i
m1 + m2
m1 + m2
• Pour simplifier : se placer dans le référentiel d’une bille
• Cas particulier : masses identiques
la première bille est stoppée, la seconde bille se met en mouvement
• Collisions inélastiques : Conservation de la quantité de mouvement
Pas de conservation de l’énergie
• Collisions parfaitement inélastiques :
v1i
v2i
vf
m1 v1i + m2 v2i = (m1 + m2 )vf
m1 v1i + m2 v2i
vf =
m1 + m2
• Multipendule :
!v
mv = m(v1 + v2 + ...)
1
1
2
mv = m(v12 + v22 + ...)
2
2
ces 2 équations interdisent le mouvement de plus d’une bille !
!v
idem avec 2 billes en mouvement après collision
• Rapport de masse élevé
−v
v
la balle de basket rebondit avant la
balle de tennis.
3v
vf = −
!
m−M
m+M
"
v+
!
2M
m+M
"
v
v
si m ! M alors vf ≈ 3v
4. Collisions (2d)
v1i
v1f
θ
ϕ
v2f
m1 v1i = m1 v1f cos θ + m2 v2f cos ϕ
0 = m1 v1f sin θ + m2 v2f sin ϕ
1
1
1
2
2
2
m1 v1i = m1 v1f + m2 v2f
2
2
2
3 équations pour 4 inconnues !
5. Propulsion des fusées
Lancement de V2 (1944)
v + ∆v
v
M + ∆m
∆m
M
v + ∆v
ve
v
M + ∆m
∆m
M
(M + ∆m)v = M (v + ∆v) + ∆m(v − ve )
M ∆v = ve ∆m
M dv = ve dm = −ve dM
! vf
! Mf
1
dv = −ve
dM
vi
Mi M
vf = vi + ve ln
!
Mi
Mf
"
!
!
!
dv ! dM !!
= !ve
• On définit la poussée par M
dt
dt !
• Extincteur :
• Moteurs ioniques = la nouvelle génération de propulseurs
poussée = 90 mN
Deep Space 1, NASA
6. Centre de masse
• Définition :
!rCM =
!
mi!ri
M
le CM du système Terre-Soleil est dans le Soleil !
• Barycentre : version mathématique (objets homogènes)
• Vitesse du centre de masse :
d!rCM
1 ! d!ri
1 !
mi
mi!vi
!vCM =
=
=
dt
M
dt
M
M!vCM =
!
p!i
• Accélération du centre de masse :
!aCM
d!vCM
1 ! d!vi
1 !
mi
mi!ai
=
=
=
dt
M
dt
M
M!aCM = F!i
F!i = F!int + F!ext
Or les forces internes sont des couples action-réaction
M!aCM = F!ext
Tout se passe comme si les forces externes s’appliquent au CM.
• Application : vol parabolique du CM
Bâton de majorette
• Sirius A/B :
Observations de Sirius au cours des siècles.