Terminale S Devoir surveillé n° 6 exercice 1 : sur 6 points mardi 24 mars 09 les 4 questions sont indépendantes 1. Résoudre l’équation différentielle : 2y’-4y = 3 puis déterminer la solution dont la courbe passe par le point K(ln2 ; 0) 1 2. Vérifier que la fonction u : t a est solution de l’équation : y’= 2y(1–y) . 1 + 9 e −2 t 3. On joue à un jeu où la probabilité de gagner est 0,3. On joue 7 fois de suite ( les jeux sont identiques et indépendants). Quelle est la probabilité de gagner : a) exactement 2 fois ? b) au plus deux fois ? On donnera les résultats à 10-3 près. 4. Vrai ou Faux ? Justifier la réponse « J’ai les mêmes chances de gagner une fois en jouant deux fois à un jeu où l’on gagne une fois sur deux et en jouant cinq fois à un jeu où l’on gagne une fois sur cinq ». exercice 2 : sur 8 points Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues. La règle du jeu est la suivante : le joueur mise 1€ et lance la roue A • S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B , note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête. • S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête. 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2. Soient E et F les événements : E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge » Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur ( rappel : le joueur mise 1€) a) Déterminer la loi de probabilité de X b) Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation. 4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes ( n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) a) Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn=1–(0,9)n b) Déterminer la limite de la suite (pn). c) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle pn est supérieure à 0,9 ? exercice 3 : sur 6 points On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ vérifiant l’équation différentielle : (E) : xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = 8 x ² . 1. a) Démontrer que ,si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par f ( x) g ( x) = est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8 x b) Démontrer que, si h est solution de (E’) alors la fonction f définie par f(x)= xh(x) est solution de (E). 2. Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E). Corrigé exercice 1 : sur points les 4 questions sont indépendantes 3 équation différentielle du type y’=ay+b avec a =2 et 2 3 b b= . On sait que toutes les solutions sont les fonctions f définies sur IR par f ( x) = Ceax − donc 2 a 3 ici f(x) = Ce 2 x − 4 On cherche la solution f telle que f (ln 2) = 0 3 3 3 f (ln 2) = 0 ⇔ Ce 2 ln 2 − = 0 ⇔ Celn 4 = ⇔ 4C = ¾ ⇔ C = 4 4 16 3 2x 3 La solution cherchée est donc la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = e − 16 4 1. L’équation 2y’-4y = 3 équivaut y’=2y + 2. La fonction u est définie et dérivable sur IR et de type 1/f de dérivée –f ’/f ² et on sait que (ev)’= v’ev Pour tout réel t , u '(t ) = 2u(t) (1-u(t)) = 18e −2t (1 + 9e−2t )² d’autre part , 2 1 2 2 2(1 + 9e −2t ) − 2 18e−2t (1 − ) = − = = 1 + 9e −2t 1 + 9e −2t 1 + 9e −2t (1 + 9e−2t )² (1 + 9e −2t ) (1 + 9e −2t )² Conclusion u est bien solution de l’équation proposée. 3. Le jeu a deux issues : un succès « gagner » de probabilité p=0,3 et un « échec » de probabilité 1p=0,7. C’est donc une épreuve de Bernouilli. Cette épreuve est répétée n=7 fois de suite de façon indépendante. La variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves suit une loi binomiale 7 B(n,p) et pour tout k entier tel que 0 ≤k ≤ 7 on a p(X=k)= 0,3k 0, 7 7 − k k a) p(X=2)= 0,318 b) p(X ≤ 2) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) = 0,77 +7 × 0,3× 0,76+p(X=2) soit p(X ≥ 2) ≈ 0,647 4. Il s’agit de comparer deux probabilités calculées avec deux variables aléatoires X et X’ suivant chacune une loi binomiale B(n,p). Pour X les paramètres sont n= 2 et p=1/2 et pour X’ , n=5 et p=1/5 1 4 2 1 1 1 1 1 5 1 4 44 p(X= 1) = ( ) ( ) = et p(X’=1)= = 5 × 5 ≈0,4096 2 5 1 2 2 1 5 5 Conclusion : l’affirmation est fausse. exercice 2 : sur points 1. Notons NA l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue A» et NB l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue B» La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges toutes équiprobables donc la probabilité de 18 9 tomber sur une case noire sur la roue A est p(NA ) = =0,9 NA 20 10 et donc celle de tomber sur une case rouge p( NA) = 0,1 0, 9 16 4 De façon analogue p (NB)= = =0,8 et p ( NB )= 0,2 20 5 On peut donc visualiser la situation à l’aide de l’arbre pondéré 0,1 0, 9 NA 0,1 NA 0,8 NB 0, 2 NB NA E = N A ∩ N B événements indépendants donc p(E)= 0,1 × 0,2 d’où p(E) = 0,02 F est réalisé par une rouge sur la roue A suivie d’une noire sur la roue A ou bien une noire sur la roue A suivie d’une rouge sur la roue B F= (N A ∩ N A ) ∪ (N A ∩ N B ) donc selon la formule des probabilités totales p(F) = 0,9 × 0,1 +0,1 × 0,8 d’où p(F)= 0,17 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ donc X = 9 et p(X=9)= p(E) = 0,02 Si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € donc X = 1 et p(X=1)= p(F) Sinon il ne reçoit rien donc X = –1 et p(X=–1) = 1–(p(X=9)+p(X=1))= 0,81 La loi de probabilité de X est donc 1 –1 valeurs de X 9 probabilité 0,02 0,17 0,81 b) L’espérance mathématique E(X)= 9 × 0,02+1× 0,17-1× 0,81 Conclusion : E(X) = –0,46 Cela signifie que sur un grand nombres de parties en moyenne le joueur va perdre 0,46 € par partie jouée lorsqu’il mise 1 €. (Le jeu est défavorable au joueur car l’espérance est négative). 4. Le joueur décide de jouer n parties ( n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) Lors d’une partie, la probabilité de lancer la roue B est celle d’obtenir une case rouge sur la roue A donc 0,1. Donc la probabilité de ne pas lancer la roue B est 0,9. Avec n parties consécutives et indépendantes, la probabilité de ne pas lancer la roue B est donc 0,9n. Et la probabilité de l’événement contraire , c'est-à-dire , lancer au moins une fois la roue B est 1– 0,9n notée pn b) On sait que la suite de terme général 0,9n est une suite géométrique de raison q= 0,9 avec –1 < q < 1 . Donc elle est convergente vers 0 . On en déduit que lim pn = 1 c) On cherche la plus petite valeur de n telle que pn ≥ 0,9 . pn ≥0,9 ⇔ 1– 0,9n ≥ 0,9 ⇔ 0,9n ≤ 0,1 ⇔ ln(0,9n) ≤ ln(0,1) la fonction ln étant croissante sur ]0 ; + ∞ [ ln 0,1 soit encore n ln (0,9) ≤ ln(0,1) ⇔ n ≥ car ln ( 0,9) <0 ln 0,9 ln 0,1 ≈ 21,9 on déduit que la plus petite valeur de n telle que pn ≥ 0,9 est 22 Comme ln 0,9 exercice 3 : 1. La fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par g ( x) = f ( x) est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et x xf '( x) − f ( x) f '( x) f ( x) = − x² x x² Par hypothèse f est solution de (E) donc pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = 8 x ² xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) 8 x ² ⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, = d où en divisant par x² x² x² f '( x) f ( x) f ( x) ⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, −2 − =8 x x x² g '( x) = f '( x) f ( x) f ( x) − =2 +8 x x² x ⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, g’(x) =2g(x)+8 ⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [,, bien mettre en évidence que les équivalences sont valables pour tout réel x>0 ce qui démontre que si f est solution de (E) alors g est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8 bien mettre en évidence l’implication démontrée ( même si on a pu raisonner par équivalence) 2. Par hypothèse : f(x)= x h(x) et h est solution de (E’). Pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [ , f '( x) = h( x) + xh '( x) et h’(x)=2h(x)+8 soit encore h’(x)–2h(x)=8 Alors , en remplaçant f(x) par x h(x) et f '( x) par h( x) + xh '( x) on a : Pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [ xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = x(h( x) + xh '( x)) – (2x+1) x h(x) = xh( x) + x ² h '( x) − 2 x ² h( x) − xh( x) = x² ( h '( x) − 2h( x) )= 8x² ce qui démontre que : si f(x)= x h(x) avec h est solution de (E’) alors f est solution de (E) 3. L’équation (E’) est du type y’=ay+b avec a = 2 et b=8 de solutions toutes les fonctions g définies sur ]0 ; + ∞ [ par g ( x )= Ce 2 x − 4 avec C décrivant IR. On a vu d’après 1 et 2 que : f solution de (E) ⇔ f(x) = x g(x) avec g solution de (E’) bien faire apparaître l’équivalence démontrée aux questions 1 et 2 Donc les solutions de (E) sont les fonctions f définies par f(x) = x ( Ce 2 x − 4 ) avec C ∈ IR.