CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

CIRCUIT RLC SÉRIE EN
RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ
I. ÉTUDE DE LA TENSION AUX BORNES DE LA RÉSISTANCE
I.1 Calcul de la fonction de transfert
On étudie la tension aux bornes de la résistance d’un circuit RLC
série.
Un GBF délivre une tension sinusoïdale vE ( t ) = Em cos (ω t ) .
On chercher vS ( t ) en régime sinusoïdal forcé.
i
C
vE
Méthode de résolution des exercices en régime sinusoïdal forcé :
¾ Redessiner le circuit en indiquant les amplitudes et impédances
complexes. Simplifier le circuit en utilisant les lois
d’association série, parallèle.
¾ Écrire vS ( t ) sous la forme : vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ ) .
1
jCω
VE
résultats du continu : diviseur de tension, diviseur de courant,
loi des mailles, loi des nœuds en termes de potentiel ou
théorème de Millman.
R
On peut écrire un diviseur de tension : VS = VE
. D’où la fonction de transfert :
1
R+
+ jLω
jCω
VS
Ve
=
R
vS
R
VS
I
¾ On cherche à exprimer VS en fonction de VE . On utilisera les
H ( jω ) =
L
R
1 

R + j  Lω −
Cω 

jLω
(eq.1)
I.2 Forme canonique
Il existe plusieurs formes canoniques possibles (voir chapitre sur les filtres). On cherche à identifier à :
H0
H ( jω ) =
(eq.2)
 ω ω0 
1 + jQ 
− 
 ω0 ω 
Pour identifier les équations (1) et (2), il faut transformer l’équation 1 pour faire apparaître le terme 1 + j (…). On
1
.
divise par R au numérateur et au dénominateur : H ( jω ) =
1 
 Lω
1+ j 
−

 R RCω 

H = 1
 0
Lω0
1
Q L
Identification :  =
. D’où ω02 =
; Q=
et H0 = 1.
R
ω
LC
R
 0

1
Qω0 =
RC

On va donc étudier par la suite la fonction de transfert H ( jω ) =
1
 ω ω0 
1 + jQ 
− 
 ω0 ω 
1
ω
. On a donc : H ( ju ) =
La pulsation réduite est définie par u =
1

ω0
1 + jQ  u − 
u

Q Circuit RLC série – Régime sinusoïdal forcé (32-100)
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vE = Em cos (ωt )
⇒ VE = Em
vS = S m cos (ωt + ϕ ) ⇒ VS = S m exp ( jϕ )
H ( jω ) =
VS
VE
H ( jω ) =
⇒
VS
VE
=
Sm
= rapport des amplitudes (appelé gain et noté G)
Em
( )
( )
arg ( H ( jω ) ) = arg VS − arg VE = ϕ = déphasage de vS par rapport à ve.
I.3 Étude du gain G en fonction de la pulsation réduite
1
Le gain est défini par G = H ( ju ) =
. On se contente souvent de trois points particuliers :
2
1


1 + Q2  u − 
u

2
1
1

G est maximum1 si le dénominateur est minimum, c’est à dire pour  u −  = 0, c'est à dire u − = 0, soit u = 1 ,
u
u

•
Gmax = 1 quelque soit Q.
1
j
si u → 0 , H ( ju ) =
≈ u donc G → 0
 1 Q
jQ  − 
 u
1
−j 1
si u → ∞ , H ( ju ) =
≈
donc G → 0 .
jQ ( u ) Q u
•
•
G est maximum pour u = 1, c’est à dire pour ω = ω0 . On dit qu’il y a résonance en tension aux bornes de la
résistance ou résonance en intensité.
Remarque : il y a toujours résonance en intensité (par rapport à Q) contrairement à la résonance en tension aux bornes du
condensateur (voir paragraphe suivant).
G
1
Q=1
0.8
0.6
Q=5
0.4
Q = 20
0.2
0.5
1
1.5
2
u
Interprétation :
•
Les signaux dont les pulsations s’éloignent de ω0 ont des amplitudes de plus en faibles. Les signaux de pulsations
voisines de ω0 ont des amplitudes importantes : on a un filtre passe-bande.
•
1
2
La courbe admet une tangente à l’origine2 qui n’est pas horizontale.
Il n’est pas utile de dériver car la fonction est simple à étudier. Mais attention aux conclusions trop hâtives. Dans le doute, il faut mieux dériver…
Quand on demande l’allure d’une courbe dans un problème, il faut respecter les tangentes aux points particuliers.
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On peut définir la bande passante à –3 dB. On a deux pulsations ω1 et ω2 pour lesquelles
H max
. La bande passante est : ∆ω = ω2 − ω1 .
H ( jω1 ) = H ( jω2 ) =
2
•
On cherche u1 et u2 tels que :
G
G ( u1 ) = G ( u2 ) = max . D’où :
2
1
1

1+ Q u − 
u


2
=
2
2
2
1
1
1


⇒ Q2  u −  = 1 ⇒  u −  − 2 = 0
u
u Q
2


1

1 1 
1 1
Il faut résoudre l’équation :  u − −   u − +  = 0 .
u Q 
u Q



1 1
u
1
1 
¾ Étude de  u − −  = 0 ⇒ u 2 − − 1 = 0 . Le discriminant vaut ∆ = 2 + 4 = 4  1 +
>0
2 
u Q
Q
Q

 4Q 
u=
1
1
± 1+
. Une seule solution est physiquement acceptable (u > 0).
2Q
4Q 2
ω2
1
1
=
+ 1+
4Q 2
ω0 2Q
D’où u2 =


1 1
u
1
1 
¾ Étude de  u − +  = 0 ⇒ u 2 + − 1 = 0 . Le discriminant vaut ∆ = 2 + 4 = 4  1 +
>0
2 
u Q
Q
Q

 4Q 
u=−
1
1
± 1+
. Une seule solution est physiquement acceptable (u > 0).
2Q
4Q 2
D’où u1 =
ω1
1
1
1 ∆ω
=−
+ 1+
. On en déduit donc que : ∆u = =
.
2Q
4Q 2
ω0
Q ω0
Remarque : Ce résultat est à connaître. Si le facteur de qualité est grand, la bande passante est petite, le circuit est sélectif.
La largeur de la bande passante pour un passe-bande est : ∆ω =
réduites, on a : ∆u =
ω0
Q
. En fréquence, on a ∆f =
f0
. En pulsations
Q
1
. Le circuit est d’autant plus sélectif (bande passante étroite) que le facteur de qualité est
Q
grand (résistance petite).
Les courbes tracées précédemment confirment bien le résultat.
G
Gmax
Gmax
1
0.8
2
0.6
Q=5
0.4
∆u
0.2
u
0.5
1
1.5
2
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2.5
3
3.5
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I.4 Étude du déphasage de la sortie par rapport à l’entrée

1 

Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est : ϕ = arg ( H ( jω ) ) = − arg  1 + jQ  u −  
u



a) Étude simplifiée du déphasage
j
1
π
≈ u , donc ϕ ≈
• Si u → 0 , H ( ju ) =
1
Q
2


jQ  − 
 u
1
−j 1
−π
≈
• Si u → ∞ , H ( ju ) =
.
donc ϕ ≈
jQ ( u ) Q u
2
Si u = 1, H ( ju ) = 1 , donc ϕ = 0
•
b) Étude complète
Pour déterminer ϕ, l’expression de tan ϕ ne suffit pas, l’angle ne serait déterminé qu’à π près. Il faut donc préciser
cos ϕ ou sin ϕ.

1

 tan ( −ϕ ) = Q  u − 
u



 π π
1
cos ϕ > 0, donc ϕ ∈  − ,  .
cos ( −ϕ ) =
2
 2 2

 
1 

1+ Q u − 

u 
 
L’étude de la dérivée de ϕ par rapport à u se fait plus facilement en dérivant tan ϕ.
d ( tanϕ )
dϕ
1
dϕ 1  1

<0.
=
=
−
− 1 < 0 ⇒
du
du
cos 2 ϕ du Q  u 2

La fonction ϕ est donc décroissante.
π
si u << 1 (ω << ω0 ) , ϕ →
•
2
si u >> 1 (ω >> ω0 ) , ϕ → −
•
ϕ
π
2
.
1
u
0
0.5
1
1.5
Q=1
2
2.5
Q=5
-1
Q = 20
Interprétation : on a un saut de phase de π qui se fait autour de ω0. Il est d’autant plus rapide que le facteur de
qualité est grand (résistance petite).
Si u <1, la sortie est en avance de phase sur l’entrée. Si u > 1, la sortie est en retard de phase sur l’entrée.
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II. ÉTUDE DE LA TENSION AUX BORNES DU CONDENSATEUR
II.1 Calcul de la fonction de transfert
On étudie la tension aux bornes de la résistance d’un circuit RLC
série.
Un GBF délivre une tension sinusoïdale vE ( t ) = Em cos (ω t ) .
On chercher vS ( t ) en régime sinusoïdal forcé.
i
R
vE
C
On reconnaît un diviseur de tension.
1
jCω
H ( jω ) =
1
R + jLω +
jCω
I
II.2 Forme canonique
Il existe plusieurs formes canoniques possibles (voir chapitre sur
les filtres). On cherche à identifier à :
H0
H ( jω ) =
(eq.2)
2
ω
j ω
1− 2 +
Q ω0
ω0
L
R
jLω
1
jCω
VE
Pour identifier les équations (1) et (2), il faut transformer l’équation
1 pour faire apparaître le terme 1 + j (…). On multiplie par jCω au numérateur et au dénominateur :.
H ( jω ) =
1
.
1 − LCω 2 + jRCω

H = 1
 0
1
1
1

Identification : ω02 =
. D’où ω02 =
; Q=
et H0 = 1.
LC
LC
RC
ω0

 1
 Qω = RC
 0
La pulsation réduite est définie par u =
1
ω
: H ( ju ) =
u
ω0
1− u2 + j
Q
vE = Em cos (ωt )
⇒ VE = Em
vS = S m cos (ωt + ϕ ) ⇒ VS = S m exp ( jϕ )
H ( jω ) =
VS
VE
H ( jω ) =
⇒
VS
VE
=
Sm
= rapport des amplitudes (appelé gain et noté G)
Em
( )
( )
arg ( H ( jω ) ) = arg VS − arg VE = ϕ = déphasage de vS par rapport à ve.
II.3 Étude du gain G
G = H ( ju ) =
1
(1 − u )
2
2
+
=
2
u
Q2
Q
u + Q 2 (1 − u 2 )
2
2
Pour étudier G en fonction de u, il faut étudier le signe de la dérivée.
3
−
2
dG
Q 2
2
2
2

 2u − 2Q 2 2u (1 − u 2 ) 
=−
u + Q (1 − u )




du
2
3
−
2
dG
Q
2
= − u 2 + Q 2 (1 − u 2 )   2Q 2 (1 − u 2 ) − 1

du
2
dG
= 0 ⇔ u = 0 ou 1 − 2Q 2 + 2Q 2 u 2 = 0
du
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vS
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VS
1
dG
1
. Ceci n’est possible que si Q >
= 0 ⇔ u = 0 ou u = uR = 1 −
2
du
2Q
2
On a donc deux cas :
1
dG
< 0 . G est toujours décroissante.
Si Q ≤
:
•
du
2
G(0) = 1, G(1) = Q et si u → ∞, G → 0 .
•
Si Q >
1
2
:
dG
1
s’annule pour u = 0 et u = uR = 1 −
.
du
2Q 2
G passe par un maximum pour u = uR.
Q
Q
Gmax =
=
1
 1 
1
1−
1−
+ Q2 
2
2
2 
4
Q
2Q
 2Q 
G
Gmax
≈ Q si Q >> 1
G u=0
10
b
g
8
Q = 10
6
1
2
⇒ résonance
Q>
Q=5
Q=2
4
2
Q<
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
On a une résonance en tension si Q >
2
1.8
2
u
Interprétation :
•
1
1
2
. La pulsation réduite de résonance uR est inférieure à 1 donc ωR < ω0 .
Si Q est très grand (en pratique3 Q > 5), alors u R ≈ 1 , soit ωR ≈ ω0 et
Gmax
≈ Q . Ce résultat se généralise si
G (u = 0)
G ( u = 0 ) ≠ 1 . Q s’appelle aussi le facteur de surtension. Il faut prendre des précautions en TP puisqu’on peut avoir
une tension supérieure à la tension de claquage du condensateur !
•
•
La courbe présente une tangente horizontale en 0.
1
Si Q >
, on peut définir la bande passante à –3 dB. On a deux pulsations ω1 et ω2 pour lesquelles
2
G
ω
G (ω1 ) = G (ω2 ) = max . La bande passante est : ∆ω = ω2 − ω1 . On peut montrer que si Q >> 1, ∆ω ≈ 0 . Le
Q
2
circuit est d’autant plus sélectif (bande passante étroite) que le facteur de qualité est grand (résistance petite).
Pour Q = 1, on a un maximum peu contrasté : résonance floue alors que Q très grand devant 1, on a une
résonance aigue.
3
1/(4Q2)=1/100. Cela revient à négliger 1/100 devant 1.
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II.4 Étude de la phase de la sortie par rapport à l’entrée
1
La fonction de transfert est : H ( ju ) =
.
u
1− u2 + j
Q

u
Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est : ϕ = arg ( H ( jω ) ) = − arg  (1 − u 2 ) + j  .
Q

a) Étude simplifiée du déphasage
• Si u → 0 , H ( ju ) ≈ 1 , donc ϕ → 0
•
1
donc ϕ ≈ −π ou π . Comment conclure ? La partie réelle du dénominateur ≈ −u 2 .
−u 2
u
π
La partie imaginaire du dénominateur ≈
. L’argument du dénominateur est compris entre
et π . Comme
Q
2
Si u → ∞ , H ( ju ) ≈
ϕ est l’opposé de l’argument du dénominateur, on a ϕ ≈ −π .
•
Si u = 1, H ( ju ) = 1 , donc ϕ = 0
b)Étude complète
u
Q
tan ϕ = −
et sin ϕ = −
1− u2
u
Q
(1 − u )
2
2
sin ϕ < 0, donc ϕ ∈ [ −π , 0]
u
+ 
Q
2
Pour étudier la dérivée de ϕ par rapport à u, il est plus simple de dériver tan ϕ.
2
2
2
d ( tanϕ )
1 dϕ
1 (1 − u ) + 2u
1 (1 + u )
dϕ
=
=
−
=
−
<0 ⇒
<0
2
2
2
2
2
du
cos ϕ du
Q (1 − u )
Q (1 − u )
du
La fonction est donc décroissante.
si u << 1, ϕ → 0
•
si u >> 1, ϕ → −π (et non pas π car ϕ ∈ [ −π , 0] )
•
u
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.5
-1
Q = 0,5
-1.5
Q=2
ϕ
-2
Q=5
-2.5
Q = 10
-3
On a toujours ϕ < 0, la tension de sortie est donc toujours en retard de phase par rapport à la tension d’entrée.
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