Activité 1. Nombres de Mersenne (5 exercices)

Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Activité 1. Nombres de Mersenne (5 exercices)
Exercice 1 : Présentation générale des nombres de Mersenne
Pré requis : Nombres premiers. Programme de test de la primalité tel que le programme TESTB étudié dans l’activité
2 du thème « Les nombres premiers ».
Objectif : Donner une vision d’ensemble des nombres de Mersenne avant l’étude de quelques propriétés.
Marin Mersenne, né en 1588 près du Mans, et mort en 1648 à Paris est un moine,
philosophe et mathématicien français.
Définition des nombres de Mersenne
Un nombre de Mersenne est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme
2𝑛 − 1, avec 𝑛 ∈ ℕ∗ . Le nième nombre de Mersenne, est noté 𝑀𝑛 .
Marin MERSENNE 1588 - 1648
Exploration
1) Recopier et compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau des 20 premiers nombres de Mersenne.
𝑛
1
2
…
Nombre de Mersenne 𝑀𝑛
𝑀1 = 21 − 1
𝑀2 = 22 − 1
…
Valeur
𝑀1 = 1
𝑀2 = 3
…
20
𝑀20 = ⋯
𝑀20 = ⋯
2) Surligner les cellules du tableau qui contiennent des nombres premiers. On pourra utiliser un programme de test
de la primalité.
3) a) Quelle conjecture sur la primalité de 𝑀𝑛 peut-on faire si n est composé ?
b) Que peut-on dire de la primalité de 𝑀𝑛 si n est premier ?
Quelles sont des propriétés des nombres de Mersenne ?
 𝑀𝑛 est premier équivaut à 2𝑛−1 × 𝑀𝑛 est un nombre parfait1 pair. (voir l’exercice 2).
 Les nombres 𝑀𝑛 premiers sont à chercher parmi ceux dont l’indice n est premier. (voir l’exercice 3).
 Si n est premier et si Mn est composé alors Mn est divisible par d = 2kn + 1 avec 𝑘 ∈ ℕ∗ . (voir
l'exercice 4).
Quels sont les nombres de Mersenne premiers connus ?
En 2015 on ne connait que 48 nombres de Mersenne premiers (en gras ceux indiqués par Mersenne) :
𝑀2, 𝑀3, M5, 𝑀7, 𝑀13, 𝑀17, 𝑀19, 𝑀31, 𝑀61, 𝑀89, 𝑀107, 𝑀127, M521, 𝑀607, 𝑀1 279, 𝑀2 203, 𝑀2281, 𝑀3 217, 𝑀4 253,
𝑀4 423, 𝑀9 689, 𝑀9 941, 𝑀11 213, 𝑀19 937, 𝑀21 701, 𝑀23 209, 𝑀44 497, 𝑀86 243, 𝑀110 503, 𝑀132 049, 𝑀216 091, 𝑀756 839,
𝑀859 433, 𝑀1 257 787, 𝑀1 398 269, 𝑀2 976 221, 𝑀3 021 377, 𝑀6 972 593, 𝑀13 466 917, 𝑀20 996 011, 𝑀24 036 583, 𝑀25 964 951,
𝑀30 402 457, 𝑀32 582 657, 𝑀37 156 667, 𝑀42 643 801, 𝑀43 112 609, 𝑀57 885 161.
1
Un nombre parfait a est un nombre égal à la somme de ses diviseurs positifs sauf lui-même (c’est à dire ses « diviseurs
propres »). Exemple : a = 𝟔 a pour diviseurs positifs 1, 2, 3, 6 et vérifie 1 + 2 + 3 = 6. Donc 6 est un nombre parfait pair. On
conjecture qu’il n’existe aucun nombre parfait impair.
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
Mersenne n’a pas découvert de nombres premiers de la forme 2𝑛 − 1. Il en a seulement donné une
liste qu’il pensait être des nombres premiers. Cette liste incluait par erreur 𝑀67 et 𝑀257.

Aujourd’hui, la recherche des nombres de Mersenne premiers se poursuit dans le cadre
du GIMPS (Great Internet Mersenne Primes Search). Le GIMPS mutualise la
puissance de calcul de milliers d’ordinateurs personnels en proposant un programme
téléchargeable fonctionnant pendant que le processeur n’est pas sollicité. Le plus grand
nombre de Mersenne premier a été découvert par un contributeur du GIMPS en janvier
2013. Il s’agit de 𝑀57 885 161 qui comporte 17 425 170 chiffres.

Une prime de 150 000 $ est offerte pour la découverte du premier nombre premier de plus de cent
millions de chiffres.

La conjecture « il y a une infinité de nombres de Mersenne premiers » n’est toujours pas démontrée.
Logo du GIMPS
Intérêt des nombres de Mersenne premiers
Historiquement, c’est la connexion avec les nombres parfaits qui a motivé l’étude des nombres de Mersenne premiers.
Aujourd’hui, c’est une formule à fabriquer des nombres premiers très grands. Les nombres de Mersenne premiers sont
utilisés pour générer des nombres pseudo aléatoires (permettant de simuler des tirages aléatoires) de très bonne
qualité, utiles par exemple pour la mise au point de correcteurs d’erreurs dans les transmissions numériques.
Exercice 2 : Si Mn est un nombre de Mersenne premier alors a = 2n-1×Mn est un nombre parfait pair
Pré requis : Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Diviseurs d’un entier.
Objectif : Démontrer une première propriété des nombres de Mersenne premiers.
Partie A : Exemples
1) Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.
2) Vérifier que ces deux nombres peuvent s’écrire sous la forme 𝑎 = 2𝑛 × 𝑝 où 𝑝 = 2𝑛+1 – 1 est
premier et 𝑛 un entier naturel non nul.
Partie B : Cas général
Le but de cette partie est de montrer que tout nombre de la forme 𝑎 = 2𝑛 × 𝑝 où 𝑝 = 2𝑛+1 – 1 est
premier et 𝑛 un entier naturel non nul est un nombre parfait.
1) Soit 𝑝 un nombre premier et le nombre 𝑎 = 2𝑛 × 𝑝.
a) Citer les 2𝑛 + 1 diviseurs propres de a.
b) Calculer leur somme en fonction de 𝑛 et 𝑝.
2) Supposons de plus que le nombre premier 𝑝 soit de la forme 𝑝 = 2𝑛+1 − 1
a) Exprimer la somme des diviseurs propres de 𝑎 = 2𝑛 × 𝑝 en fonction de 𝑛.
b) En déduire que 𝑎 est parfait.
3) a) Enoncer le résultat démontré.
b) Donner deux autres nombres parfaits.
Point Info :

Ce résultat était connu d’Euclide (IIIème av JC)
 Deux mille ans plus tard, Leonhard Euler (1707-1883) a démontré la réciproque :
Si 𝑎 est un nombre parfait pair alors 𝑎 s’écrit sous la forme 𝑎 = 2𝑛 × 𝑝
où 𝒑 est un nombre premier de la forme 𝒑 = 𝟐𝒏+𝟏 – 𝟏, c’est-à-dire 𝒑 est un nombre de Mersenne premier.

Aujourd’hui, on connait 48 nombres parfaits pairs correspondant aux 48 nombres de Mersenne premiers
connus. Par ailleurs, on conjecture qu’il n’existe aucun nombre parfait impair.
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Exercice 3 : Si n est composé alors Mn est composé
Pré requis : Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
Objectif : Montrer que les nombres de Mersenne premiers ne sont pas à chercher parmi les nombres Mn dont l’indice n
est composé.
1) a) Montrer que pour tous entiers naturels 𝑝 et 𝑞 on a :
2𝑝𝑞 − 1 = (2𝑝 − 1)(2𝑝(𝑞−1) + 2𝑝(𝑞−2) + ⋯ + 2𝑝 + 1).
b) En déduire que si 𝑛 est composé alors 𝑀𝑛 est composé.
2) Parmi quel type d’indices n doit-on chercher pour trouver un nombre de Mersenne premier ?
Exercice 4 : Si n est premier et si Mn est composé alors Mn est divisible par d = 2kn + 1 avec 𝒌 ∈ ℕ∗
Pré requis : Congruences. Théorème des diviseurs premiers. Définition des nombres de Mersenne.
Objectif : Démontrer une propriété utile pour tester la primalité des nombres de Mersenne dont l’indice n est premier.
Partie A : Forme d’un diviseur d d’un nombre de Mersenne Mp avec p premier
On notera Mp un nombre de Mersenne dont l’indice p est un nombre premier.
1) Préliminaire : On suppose que 𝑀𝑝 admet un diviseur premier d. Justifier que 2𝑝 ≡ 1 (𝑑).
2) On considère un nombre premier p tel que 𝑀𝑝 admette un diviseur premier d.
Soit 𝐼 l'ensemble des entiers naturels n non nuls tels que 2𝑛 ≡ 1 (𝑑).
a) Justifier que 𝐼 est non vide et qu'il admet un plus petit élément 𝑝0 > 1.
b) Soit n un élément de 𝐼. En écrivant la division euclidienne de n par 𝑝0 , montrer que n est multiple de 𝑝0 . En
déduire que 𝑝 = 𝑝0 .
c) On admet que 2𝑑−1 ≡ 1 (𝑑) (c'est le résultat du petit théorème de Fermat). En déduire que 𝑝 divise 𝑑 − 1
et que le quotient 𝑞 est supérieur ou égal à 2.
d) Montrer que le quotient 𝑞 est pair. En déduire qu’il existe 𝑘 ∈ ℕ∗ tel que 𝑑 = 2𝑘𝑝 + 1.
Conclusion : Si le nombre de Mersenne 𝑀𝑝 (𝑝 premier) admet un diviseur premier 𝑑, ce diviseur est de la forme
𝑑 = 2 𝑘𝑝 + 1 (𝑘 ∈ ℕ∗ ).
Partie B : Application à deux nombres de Mersenne Mp avec p premier
1) Le nombre de Mersenne M19 = 219 – 1 = 524 287
a) Montrer que les diviseurs premiers de M19 (s'ils existent) sont de la forme 38𝑘 + 1 avec 𝑘 ∈ ℕ∗ .
b) Combien y-a-t-il de diviseurs de cette forme inférieurs à √𝑀19 ?
c) Démontrer que si k est de la forme 3 m +1 ou 5 m +3 ou 7 m + 2, avec 𝑚 ∈ ℕ, alors d n'est pas premier.
d) Combien y-a-t-il finalement de cas à examiner ? 𝑀19 est-il premier ?
2) Le nombre de Mersenne M23 = 223 – 1 = 8 388 607
a) Quel est le premier diviseur possible de M23 ? (d’après la question 2)d) de la partie A).
b) Le nombre de Mersenne M23 est-il premier ?
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Exercice 5 : Un test de primalité des nombres de Mersenne Mp où p est premier : le test de Lucas – Lehmer (LLT)
Pré requis : Congruences. Connaissances sur les tableurs. Programme de test de la primalité tel que le programme
ESTPREM étudié dans l’activité 2 du thème « Activités autour des nombres premiers ».
Objectif : Connaître un test moderne de primalité pour les nombres de Mersenne 𝑀𝑝 = 2𝑝 − 1 où 𝑝 est premier.
On considère la suite S définie par 𝑆0 = 4 et pour tout entier 𝑖 ≥ 0 𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 2 − 2.
La suite 𝑆 permet de tester si des nombres de Mersenne sont premiers ou non.
1) Calculer les termes 𝑆𝑖 pour 0 ≤ 𝑖 ≤ 5. En observant ces premiers termes, peut-on qualifier la vitesse de croissance
de la suite S de très lente, lente, rapide ou très rapide ?
2) Soit p un nombre premier. Etudions les restes 𝑅𝑖 de la division euclidienne des termes 𝑆𝑖 par 𝑀𝑝 .
a) Démontrer que pour tout entier 𝑖 ≥ 0, 𝑅𝑖2 − 2 ≡ 𝑅𝑖+1 (𝑀𝑝 ).
b) On rappelle que la fonction du tableur =MOD(A ; B) renvoie le reste de la division euclidienne de A par B.
Montrer que les deux formules = 𝑀𝑂𝐷(𝑆𝑖+1 ; 𝑀𝑝 ) et = 𝑀𝑂𝐷(𝑅𝑖 2 − 2; 𝑀𝑝 ) fournissent toutes les deux le
reste 𝑅𝑖+1.
c) A l'aide d'un tableur, on veut calculer les restes 𝑅𝑖 de la division euclidienne
des termes 𝑆𝑖 par 𝑀𝑝 pour i compris entre 0 et 30 et p premier compris entre 3
et 19.
Expliquer pourquoi seule la deuxième des deux formules précédentes convient.
d) Construire cette feuille de calcul dont le début est montré ci-contre.
Pour un des nombres p considérés, aucun reste n'est nul. Quel est ce nombre p ?
Le nombre de Mersenne 𝑀𝑝 correspondant est-il premier ?
3) Pour tous les autres nombres premiers 𝑝 de la feuille de calcul, on vérifie que 𝑀𝑝
est premier. On observe qu’il y a toujours un et un seul reste 𝑅𝑖 nul. On note 𝑖 = 𝑟 le rang du reste nul.
a) Quel lien peut-on conjecturer entre p et le rang r ?
b) Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur des restes 𝑅𝑖 à partir du rang 𝑖 = 𝑟 + 2 ?
c) Démontrer que si le reste 𝑅𝑖 de la division euclidienne de 𝑆𝑖 par 𝑀𝑝 est nul pour le rang 𝑖 = 𝑟, alors les restes
𝑅𝑖 sont égaux à 2 pour tout entier 𝑖 ≥ 𝑟 + 2 . (On raisonnera par récurrence).
4) Propriété de Lucas-Lehmer.
On admet la propriété : Pour tout nombre p premier supérieur ou égal à 3, si 𝑅𝑝−2 = 0 alors 𝑀𝑝 est premier.
a) Recopier et compléter l'algorithme ci-contre qui Saisir p (p doit être premier, supérieur ou égal à 3)
correspond au test de Lucas Lehmer.
𝑅 prend la valeur 4
𝑀 prend la valeur 2𝑝 − 1
b) Entrer le programme correspondant dans votre
Pour k allant de 1 à p – 2
calculatrice (nommer ce programme LLT).
𝑅 prend la valeur reste de la division de 𝑅 2 − 2 par 𝑀
Le tester sur les nombres étudiés dans la partie
Fin pour
B de l’exercice 4 c’est-à-dire 𝑀19 et 𝑀23 .
Si 𝑅 = 0 alors
Afficher ....................................................................
(Rappel : 𝑀19 est premier, 𝑀23 n’est pas
Sinon
premier)
Afficher .........................................................
c) Tester la primalité de 𝑀107 avec ce programme. Fin si
Point Info :
 Le mathématicien français Edouard LUCAS
inventa ce test en 1878.
 Le mathématicien américain Derrick Henry
LEHMER l’améliora notablement dans les
années 1930.
Edouard LUCAS 1842 -1891
Derrick H. LEHMER 1905 -1991
4/4