ch 5 : les quatre operations : multiplications et divisions

Master 1 : 2ème semestre : EC 9A : éléments de mathématique – 6h cours et TP - TD - JA
CH 5 : LES QUATRE OPERATIONS : MULTIPLICATIONS ET DIVISIONS
Exercice 1 :
1. Donner la définition du produit de deux entiers naturels.
2. Citer les 5 principales propriétés de la multiplication des entiers.
3. La multiplication des réels possède-t-elle ces propriétés ? Citer une propriété supplémentaire de la multiplication
des réels.
4. On remarque que:
65² = 4 225
145²= 21 025
1275² = 1 625 625
et que 6 x 7 x 100 + 25 = 4 225
et que 14 x 15 x 100 + 25 = 21025
et que 127 x 128 x 100 + 25 = 1625625
a) Généraliser cette remarque en proposant une relation mathématique.
b) Vérifier cette relation sur deux autres exemples.
c) Démontrer cette relation.
Exercice 2 :
1) a) Le reste de la division euclidienne d'un entier naturel n par 3 est 1. Quel est le reste de la division euclidienne
par 3 :
- de l'entier précédant n ?
- de l'entier suivant n ?
b) Démontrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 3.
c) La somme des carrés de trois entiers naturels consécutifs est-elle divisible par 3 ? Justifier la réponse.
2) On s'intéresse au quotient Q et au reste R de la division euclidienne de 40 626 par 12. Voici quatre résultats, tous
erronés.
Sans s'appuyer sur un calcul effectif du quotient et du reste, expliquez pourquoi ces résultats ne sont pas corrects.
Pour cela, on utilisera un argument pour chacun des résultats ; ces quatre arguments doivent être de nature
différente.
Exercice 3 :
Toutes les réponses seront justifiées.
1. Donner les restes des divisions par 6 et par 3 de chacune des trois sommes suivantes :
5+7+9
15+17+19
1527 + 1529 + 1531
2. Plus généralement :
a) Donner le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.
b) Donner le reste de la division par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.
3. Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est 12 027.
4. On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours un multiple de
5. Déterminer la plus petite valeur possible de p.
Exercice 4 :
1) Selon Pythagore :
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Un nombre « parfait » est égal à la somme de ses diviseurs stricts (diviseurs différents du nombre)
Exemple :
En notant D(6) l'ensemble des diviseurs stricts de 6, on obtient D(6) = { 1 ; 2 ; 3 }. En observant que 1 + 2 + 3 = 6, on
peut affirmer que 6 est un nombre parfait.
Deux nombres « amicaux » sont tels que chacun est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre.
a) Les nombres 24 et 28 sont-ils « parfaits » ? Justifier.
b) Les nombres 284 et 220 sont-ils « amicaux » '? Justifier.
c) Un nombre premier peut-il être « parfait » ?
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CORRECTION
: CH 5 : LES QUATRE OPERATIONS : ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
Exercice 1 :
1. Soient a et b deux entiers naturels. Le produit de a par b, noté a x b est le nombre entier naturel défini par a x b =
a + a + ... + a (b termes a).
C'est aussi le cardinal de l'ensemble formé de tous les couples (x ; y), avec x élément d'un ensemble de cardinal a et
y élément d'un ensemble de cardinal b.
2. La multiplication est:
- commutative: a x b = b x a;
- associative : a x ( bxc ) = a x b x c;
- distributive par rapport à l'addition : a x (b + c) = a x b + a x c.
Elle admet :
- 1 pour élément neutre (a x 1 = a)
- 0 pour élément absorbant (a x 0 = 0).
3. La multiplication des réels possède les mêmes propriétés. Dans R, chaque nombre non nul admet de plus un
inverse par multiplication : quel que soit a non nul, il existe un réel non nul b tel que a x b = 1.
4. a) La « règle » semble être la suivante: « si un nombre se termine par 5, on obtient son carré en multipliant le
nombre obtenu en effaçant le 5 des unités tout d'abord par son successeur puis par 100, et en ajoutant 25 ».
Soit n un nombre entier. Notons n5, le nombre égal à (10 x n + 5).
Alors, la règle est (n5)² = n x (n + 1) x 100 + 25 .
b) 1er exemple: 1 x 2 x 100 + 25 = 225 est bien égal à 15²
2' exemple: 115² = 13 225 et 11 x 12 x 100 + 25 = 13 225.
c) (n5 )² = (10 x n + 5 )²
= (10 x n)² + 2 x 10n x 5 + 5² (identité remarquable (a + b)²)
= 100 x n²+ 100 x n + 25
= 100 x n x (n + 1) + 25 (factorisation par 100 x n) On retrouve bien la formule du a.
Exercice 2 :
1) a) On a n = 3q + 1
d'où n - 1 = 3q.
Donc le reste de la division euclidienne du nombre précédant n par 3 est 0.
On a n + 1 = 3q + 2. Le reste de la division euclidienne du nombre suivant n par 3 est 2 (on a bien 2 < 3).
b) Soit n - 1, 11, 11 + 1, trois entiers consécutifs.
On a n - 1 + n + n + 1 = 3n.
La somme de trois entiers consécutifs est donc un multiple de 3, c'est-à-dire divisible par 3.
c) On a
(n-1)²+n² + (n + 1) = n²-2n+1+n²+n² + 2n + 1 = 3n²+2
La somme des carrés de trois entiers consécutifs n'est donc pas divisible par 3. Le reste de la division euclidienne par
3 est 2.
On pourrait également prendre un contre-exemple comme 2² + 3² + 4² = 29 (non divisible par 3).
2) On a : 40 620 12 x ci + r, avec r < 12.
a) q = 348 et r =8.
Or 350 x 12 4 200. L'ordre de grandeur du quotient est inexact.
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b) q = 3 384 et r = 18.
Le reste doit être inférieur au diviseur.
Donc le résultat est inexact.
c) q = 3 382 ci r = 6.
Le chiffre des imités du 12 x q + r est 0 (2 x 2 + 6 = 10). Or chiffre des unités de 40 026 est 6. Donc le résultat
est inexact
q = 3 38 3 et r = 0.
Or 3 383 n'est pas un multiple de 12. Le reste de la division euclidienne par 12 ne peut être nul.
Donc lu résultat est inexact
Exercice 3 :
1° a) Analyse
Domaine de connaissances
Arithmétique: - nombres pairs et impairs - multiples - diviseurs - division euclidienne
Conseils méthodologiques
L’exercice débute par des applications numériques et se termine par une question d'ordre général. Les premières
questions doivent permettre de s'approprier la problématique générale. Il faut répondre aux premières questions
portant sur des exemples numériques en essayant de dégager o priori les généralisations possibles.
Savoir/Savoir-faire
Déterminer le reste de la division euclidienne de a par b, c'est déterminer l'égalité telle que
a = bq + r q est le quotient r est le reste avec r < b.
b) Corrigé
a) 5 + 7 + 9 = 21.
21 = 3 x 7 donc dans la division par 3 on aura q = 7 et r = 0.
21 = 3 x 6 + 3 donc dans la division par 6 on aura q 3 et r = 3.
b) 15 + 17 + 19 = 51.
51 = 17 x 3
q=17 r= 0.
51 =8x6+3
q = 8 r= 3.
c) 1527+ 1529+ 1531 =4587.
4587 = 1529 x 3 q = 1529
r= 0.
4587 = 764 x 6 + 3
q = 764 r= 3.
Pour anticiper sur la suite de l'exercice remarquons que:
- dans chaque cas, la somme est la somme de trois entiers impairs consécutifs;
- dans chaque cas, la division euclidienne :
par 3 donne un reste égal à zéro,
par 6 donne un reste égal à trois.
2. a) Analyse
Conseils méthodologiques
Ici la question est d'ordre général, c'est une démonstration qui est attendue: On ne peut en aucun cas se contenter
de dire qu'il suffit de généraliser les résultats constatés à la première question, mais il faut néanmoins s'appuyer sur
ce que cette première question nous aura permis de comprendre de la problématique générale.
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Savoir/Savoîr-faire
D'une manière générale: tout nombre entier naturel pair peut s'écrire sous la forme n = 2k, k ЄN et tout nombre
entier naturel impair peut s'écrire sous la forme n = 2k + 1, k ЄN ou n = 2k - 1,k ЄN*.
b) Corrigé
Soit k Є N*
2k - 1, 2k + 1 et 2k + 3 sont trois nombres entiers impairs consécutifs. Leur somme est égale à: S = 2k - 1 + 2k + 1 + 2k
+ 3 = 6k + 3 = 3 (2k + 1) On peut donc en conclure que dans la division euclidienne de S par 3 on aura r = 0 (et q = 2k +
1) et dans la division euclidienne de S par 6 on aura r = 3 (et q = k).
3. a) Analyse
Pour toute question, il ne faut pas oublier que les résultats acquis lors des questions précédentes peuvent être
utilisés au titre de connaissances ou d'actifs.
b) corrigé
On a vu précédemment que: S = (2k - 1) + (2k + 1) + (2k + 3) = 6k + 3 = 3 (2k + 1) Or 12027 = 3 x 4009 On peut donc
affirmer que pour S = 12 027 on aura 2k + 1 = 4 009. Les trois nombres impair s consécutifs dont la somme est 12 027
sont: 4007 - 4009 - 4011.
4. a) Analyse
Dans les trois premières questions, nous avons travaillé sur les propriétés de la somme de trois nombres impairs
consécutifs.
La dernière question porte sur la somme de p nombres impairs consécutifs.
Conseils méthodologiques
Il s'agit de trouver le plus petit nombre p pour lequel cette somme est nécessairement un multiple de 5.
Attention, en arithmétique même s'il s'agit d'apporter une conclusion d'ordre général, les méthodes de résolution
algébrique ne sont pas toujours les bienvenues.
Les essais étant très souvent en nombre limité, cela constitue aussi un mode de recherche et de détermination d'un
résultat tout à fait efficace.
Savoir/Savoir-faire
Un nombre multiple de 5 se termine par 0 ou 5.
Pour déterminer si un nombre est multiple de 5, il suffit de connaître les valeurs possibles de son chiffre des unités.
b) Corrigé
Les nombres impairs ont pour chiffre des unités: 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.
Des nombres impairs consécutifs se terminent par ces chiffres, dans cet ordre ou dans un ordre obtenu par
permutation circulaire.
Par exemple, trois nombres impairs consécutifs peuvent se terminer respectivement par 1, 3,5 mais aussi par 9,1,3,
etc.
Si p nombres entiers impairs consécutifs ont une somme multiple de 5, elle se termine par 0 et 5, et cela doit se
vérifier pour toutes les suites ordonnées de trois chiffres pris parmi les chiffres impairs.
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- Si p = 2 On peut avoir 13 + 15 = 28. 28 n'est pas un multiple de 5. Ce contre-exemple suffit à montrer que p = 2 ne
peut être le nombre cherché.
-Si p=3 De même on peut donner un contre-exemple qui suffira à montrer que p = 3 n'est pas le nombre cherché. 19
+ 21 + 23 = 63 (non-multiple de 5)
- Si p = 4 De même on peut donner un contre-exemple qui suffira à montrer que p = 4 n'est pas le nombre cherché.
11 + 13 + 15 + 17 = 56 (non-multiple de 5)
Si p = 5 Chaque somme S de 5 termes sera formée de 5 nombres qui se terminent nécessairement par 1 - 3 - 5 - 7 - 9
dans cet ordre ou dans un ordre obtenu par permutation circulaire (ex.: 5 - 7 - 9 - 1 - 3).
Or 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 donc le chiffre des unités de la somme de 5 nombres impairs consécutifs est nécessairement
5.
La somme de 5 entiers impairs consécutifs est toujours multiple de 5.
Le nombre p cherché est 5.
Exercice 4 :
1) a) On recherche l'ensemble des diviseurs de 24 et l'ensemble des diviseurs de 28.
D(24)= { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } et D(28)= {
1, 2, 4, 7, 14, 28 }
24 n'est pas parfait, car : 1 +2 + 3 +4+6 +8+ 12 = 36#24;
28 est parfait, car: 1 +2 +4+7 + 14=28;
b) On a : D(284) = { 1, 2, 4, 71, 142, 284}
e t D (2 2 0) = { 1, 2, 4, 5, 10, 11, 2 0, 2 2, 44, 5 5, 110, 2 2 0 }
On a : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
et 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + Il + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
220 et 284 sont donc amicaux.
c) Un nombre premier n'a qu'un diviseur autre que lui-même, 1. Donc un nombre premier ne peut être parfait
(rappelons que 1 n'est pas considéré comme premier).
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