DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA Méthodes Algébriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘Géométrie algébrique’
Feuille de TD 3
1) Application de l’image shématique. Soit π : X → S un morphisme des schémas. Soit K
un corps et R un anneau de valuation dans K (voir Hartshorn, Algebraic geometry pour la
definition d’un anneau de valuation). Considérons un diagramme commutatif
Spec K → X
↓
↓π
α
Spec R → S
(1)
Montrer les critères valuatifs suivants.
• π : X → S est separé ssi il existe au plus un morphisme Spec R → X qui complète (1) en
un diagramme commutatif.
• π : X → S est propre ssi il existe un et un seul morphisme Spec R → X qui complète (1)
en un diagramme commutatif.
2) Montrer que la propriété d’un morphisme f : X → Y des schémas d’être affine (séparé,
fini, propre, de type fini, une immersion ouverte, une immersion fermé) est preservé par un
changement de base.
Diviseurs
La partie théorique sur les diviseurs et morphismes projectifs, qui n’est pas dans le poly du
cours, est à regarder dans ([1], chapitre 2, 2.6 et 2.7). On note Cl(X) le groupe des classes
des diviseurs de Weil d’un schéma X (quand il est defini), CaCl(X) le groupe des classes des
diviseurs de Cartier de X.
1) Soit k un corps et Y ⊂ P2k une conique (sous-schéma fermé donné par une équation homogène
de degré 2), qui admet un k-point. Si Y est lisse alors Y f
→ P1k .
2) Soit S = ⊕d≥0 Sd un anneau gradué avec S0 = A. Soit M un A-module et F = M̃ le
faisceau quasi-cohérent associé sur Spec A. Soit f : Proj S → Spec A la projection. Montrer que
Ñ f
→ f ∗ F , où N = ⊕ Sd ⊗A M est le S-module gradué correspondant.
d≥0
3) Lemme de Chow. Soit X un schéma propre sur un schéma noetherien S. On suppose X
irréductible. Alors, il existe un morphisme g : X 0 → X tel que X 0 est projectif sur S et il existe
un ouvert dense U ⊂ X tel que g : g −1 (U ) → U est un isomorphisme.
4) Soit f : X → Y un morphisme dominant de type fini, X et Y des schémas entiers, on suppose
X normal (pour simplifier, on peut s’en passer). On suppose que f −1 (η) est un ensemble fini,
1
f
où η est le point générique de Y . Alors, il existe un ouvert U ⊂ Y tel que f −1 (U ) → U est un
morphisme fini.
5) Soit S un schéma noetherien et E un OS -module localement libre de rang n. Soit π : P(E) → S
la projection.
a) Construire un isomorphisme gradué de OS -algèbres Sym E f
→ ⊕d≥0 π∗ O(d).
g
b) Montrer que pour un morphisme donné Y → S, HomS (Y, P(E)) est un bijection avec les
classes d’isomorphisme des couples (L, h), où L est un OY -module inversible et h : g ∗ E → L est
une surjection.
6) Théorème de Bezout dans le plan. Soient D1 , D2 des diviseurs effectifs dans P2k sans composante commune. Montrer que D1 ∩ D2 est de longeur finie égale aux d1 d2 , où di = deg Di .
7) Soit X un schéma propre sur un corps k, D un diviseur de Cartier effectif sur X. Alors,
O(D) f
→ O ssi D = 0.
8) Soit f : Z → W est un morphisme dominant des S-schémas, Z propre sur S, W séparé et de
type fini sur S, S noetherien. Alors, f (Z) = W , f est propre et W est propre sur S.
9) L’immersion ouverte (fermée) est séparée. Le composé de deux morphismes séparés est séparé.
Le composé de deux morphismes propres est propre.
10) Soit X un schema qui satisfait à
(*) noetherien, séparé, entier et régulier en codimension 1.
Alors, X × A1 satisfait à (*) et Cl(X) f
→ Cl(X × A1 ).
11) Soit S = ⊕d≥0 Sd et T = ⊕d≥0 Td deux anneaux gradués avec S0 = T0 = A. On note
S ×A T = ⊕d≥0 Sd ⊗A Td ,
c’est un anneau gradué. Pour X = Proj S et Y = Proj T construire un isomorphisme
Proj(S ×A T ) f
→ X ×Spec A Y
Montrer que O(1) s’identifie à p∗1 OX (1) ⊗ p∗2 OY (1) pour les deux projection pi .
12) Soit X un schéma régulier; noetherien, séparé et entier. Soit E un OX -module localement
libre de rang n + 1. On note P(E) = Proj(S) avec S = ⊕d≥0 Symd (E) l’algèbre symmetrique de
E. Construire un isomorphisme Pic(P(E)) f
→ Pic X × Z.
13) Soit E, E 0 deux faisceaux localement libre de rang n + 1 sur un schema X et n ≥ 1. On
suppose que P(E) f
→ P(E 0 ) sur X. Montrer qu’il existe un OX -module inversible A tel que
Ef
→ E 0 ⊗ A.
14) Si f ∈ k[x1 , . . . , xn ] ne contient pas de carrés, alors A = k[x1 , . . . , xn , z]/(z 2 − f ) est normal.
15) Soit A = k[x, y, z]/(xy − z 2 ) et X = Spec A le cone quadratique (k est un corps). Montrer
que Cl(X) f
→ Z/2Z et CaCl(X) = 0.
2
16) Soit X un schéma qui satisfait à (*) (exo 10). Soit Z ⊂ X un fermé et U = X − Z. Alors,
on a une surjection Cl(X) → Cl(U ). Si codim(Z, X) ≥ 2, alors c’est un isomorphisme. Si Z
est irreductible de codimension 1 alors on a une suite exacte Z → Cl(X) → Cl(U ) → 0, où la
premiere flèche envoit 1 sur Z.
17) Soit X une courbe lisse projective connexe sur un corps k. Montrer que X f
→ P1k ssi ils
existent deux point distincts p, q ∈ X(k) tel que p et q sont linéairement equivalent.
18) Soit X ⊂ P2k la cubique y 2 z = x3 −xz 2 , où P2k = Proj k[x, y, z] et k est un corps algébriquement
clôs. Soit Cl0 (X) le noyeau de deg : Cl(X) → Z. Montrer qu’on a une bijection X(k) f
→ Cl0 (X).
19) Soit k un corps algébriquement clôs de charactéristique 6= 2. Soit X ⊂ P2k la courbe y 2 z = x3 .
Soit p = (0, 0, 1) son (seul) k-point singulier. Construire une bijection X(k) − p f
→ CaCl0 (X),
0
où CaCl (X) est le noyeau de deg : CaCl(X) → Z.
20) Soit Q la quadrique xy = zw dans P3k . Montrer que Cl(Q) f
→ Z ⊕ Z. Soit C ⊂ Q la cubique
3
3
2
2
tordue x = t , y = u , z = t u, w = tu . Montrer qu’il n’existe pas d’hypersurface M ⊂ P3k ne
contenant pas Q tel que M ∩ Q = C.
21) Soit A un anneau, M un A-module de présentation finie, N un A-module et L un A-module
plat. Alors, HomA (M, N ⊗ L) f
→ Hom(M, N ) ⊗A L. En déduire que pour X = Spec A et deux
A-modules M, N on a HomA (M, N )˜ f
→ HomOX (M̃ , Ñ ). Ici ˜ est une notation pour le faisceau
quasi-cohérent associé à un module.
22 a) X un schéma noetherien, F un OX -module cohérent. Montrer que la fonction
φ(x) = dimk(x) Fx ⊗Ox k(x)
est semi-continue. Ça veut dire que pour tout n ∈ Z l’ensemble {x ∈ X | φ(x) ≥ n} est fermé
dans X. Montrer que {x ∈ X | la tige Fx est un OX − module libre} est un ouvert de X.
b) Si X est connexe et F localement libre alors φ est constante. Si X est réduit et φ est
constante alors F est localement libre.
c) A est un anneau noetherien, M un A-module de type fini. Alors M̃ est localement libre
sur Spec A ssi M est un A-module projectif.
References
[1] R. Hartshorne, Algebraic geometry (graduate Texts in Math. 52), Springer (1977)
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