Diviseurs. Diviseurs Communs

Diviseurs. Diviseurs Communs
I/ Diviseurs
1°) Définition
Soit N un nombre entiers.
Un nombrer entier d est un diviseur de n si et seulement si l’une de ces trois conditions équivalentes ci-dessous
est satisfaite.



Condition 1 : N est un multiple de d.
Condition 2 : Le quotient Nd est un nombre entier. (on dit que N est divisible par d)
Condition 3 : Il existe un nombre entier c tel que N=d×c.
2°) Exemples
4 est un diviseur de 36 car 36 est un multiple de 4. (Utilisation de la condition 1)
123 est un diviseur de 39483 car 39483123 est un nombre entier. En, effet 39483123 =321.
(Utilisation de la condition 2)
Pour tout nombre entier n, 2n+1 est un diviseur de 2n²+n car 2n²+n=(2n+1)× n (Utilisation de la condition 3)
3°) Rappels de critères de divisibilité .
Divisibilité par 2
2 est un diviseur d’un nombre. Si ce nombre est pair (il se termine par 0,2,4,6 ou 8)
Exemple : 2 est un diviseur de 939716
Divisibilité par 3
3 est un diviseur d’un nombre. Si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 3.
Exemple : 3 est un diviseur de 900 397 122 car 9+0+0+3+9+7+ 1+2+2 =33 et 33 est un multiple de 3.
Divisibilité par 4
4 est un diviseur d’un nombre. Si le chiffre des dizaines et celui des unité forme un nombre qui est un multiple de 4.
Exemple : 4 est un diviseur de 129 397 128 car 28 est un multiple de 4 (4×7=28).
Divisibilité par 5
5 est un diviseur d’un nombre. Si ce nombre est se termine par 0 ou 5.
Exemples : 5 est un diviseur de 9392710 et 5 est un diviseur de 237185.
Divisibilité par 9
9 est un diviseur d’un nombre. Si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 9.
Exemple : 3 est un diviseur de 900 397 125 car 9+0+0+3+9+7+ 1+2+5 =36 et 36 est un multiple de 9.
Divisibilité par 10
10 est un diviseur d’un nombre. Si ce nombre se termine par 0
Exemple : 10 est un diviseur de 939710.
4°) Recherche des diviseurs
On recherche les diviseurs d’un nombre par « étranglement »( Méthode transmise à l’oral).
Compléter la liste des diviseurs de 48 ci-dessous.
1,
48.
5°) Recherche des diviseurs communs de 18 et 24
Diviseurs de 18 : …
Diviseurs de 24 : ..
Diviseurs communs de 18 et 24 :
II/ Plus grand diviseur commun (PGCD)
On recherche le plus grand diviseur commun de 300 et 180 . En langage mathématique, on dit PGCD(300 ;180).
Méthode 1 :
Méthode « naturelle »
Diviseurs de 300 : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,25,30 50,60,75,100,150 ,300.
Diviseurs de 180 : 1, 2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180
Diviseurs communs : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
Donc PGCD(300 ;180)=60.
Définition :
Un algorithme est un ensemble de règles opératoires permet de résoudre un problème avec un nombre fini
d'opérations. Un algorithme peut être traduit, grâce à un langage de programmation, en un programme exécutable par
un ordinateur.
Méthode 2 :
Algorithme des soustractions
Propriété :
Soient a et b deux nombres entiers (avec a>b). On a : PGCD(a,b)= PGCD(a-b,b).
Preuve: Etre un diviseur de a et b ,c’est être un diviseur de a-b et b.
Avec cette propriété , on réalise un algoritme pour calculer les PGCD.
(Méthode transmise à l’oral pendant le cours) . Tableau à compléter
diminuende
diminuteur
300
180
différence
0
Le PGCD de 300 et 180 est la dernière différence non nul. Donc PGCD(300,180)=
Méthode 3 :
Algorithme d’Euclide
Rappel : Division Euclidienne.
avec la potence (En primaire) :
300 180
-120 1
60
En ligne ( au collège) :
380=180×1+60.
Dividende= Diviseur×Quotient + Reste
Dividende Diviseur
Reste
Quotient
Le reste est plus petit que le diviseur.
Propriété :
Soient a et b deux nombres entiers (avec a>b).
La division euclidienne de a par b donne : a=b×q+r (avec r<b)
On a : PGCD(a,b)= PGCD(b,r).
Preuve: Etre un diviseur de a et b ,c’est être un diviseur de r et b.
Avec cette propriété, on réalise un autre algorithme pour calculer les PGCD.
(Méthode transmise à l’oral pendant le cours) . Tableau à compléter
dividende
diviseur
300
180
quotient
Reste
0
Le PGCD de 300 et 180 est le dernier reste non nul. Donc PGCD(300,180)=
III/ Application à la création d’un maximum de lots identiques
Une fleuriste possède 300 roses et 180 tulipes.
Elle veut créer avec la TOTALITÉ (pas de gaspillage) de ses fleurs
un MAXIMUM de bouquets ayant une composition IDENTIQUE.
Soit n le nombre de bouquets.
Soit r le nombre de roses par bouquet.
Soit t le nombre de tulipes par bouquet.
On a le système :
donc n est un diviseur commun de 300 et 180.
n doit être le plus grand possible donc n= PGCD(300,180)=60 (voir plus haut)
Donc r=30060=5
et
t=18060=3.
La fleuriste pourra créer un maximum de 60 bouquets identiques.
Dans chaque bouquet , il y aura 5 roses et 3 tulipes.
Remarque : Dans l’activité du pénitencier, le problème est identique.
Les bouquets identiques sont les navettes d’évacuation.
Les roses sont les détenus.
Les tulipes sont les gardiens.
IV/ Application à la pose de clôture
On veut clôturer avec du grillage et des poteaux un terrain rectangulaire de 300m de long sur
180 m de large.
On veut un poteau à chaque sommet du terrain et que
l’espace entre chaque poteau soit un même nombre entier en mètre le plus grand possible.
Combien de poteaux faut –il ?
Schéma
Soit e le nombre entier de mètres entre chaque poteau.
Soit nL le nombre d’espaces sur chaque longueur.
Soit nl le nombre d’espaces sur chaque largeur.
On a :
donc est un diviseur commun de 300 et 180.
e doit être maximal donc e= PGCD(300,180)=60
Le périmètre du terrain est de 960 m
96060=16 il ya 16 espaces donc il faut 16 poteaux
V/ Application à la pose de dalle carrée
On veut carreler une salle rectangulaire de 3m de long sur 1,8 m de large avec
un minimum de carreaux identiques de forme carrée.les dimensions des
carreaux sont un nombre entiers en mm.
Combien de carreaux faut-il ?
Soit c la longueur d’un carreau en mm.
Soit nL le nombre de carreaux sur chaque longueur.
Soit nl le nombre de carreaux sur chaque largeur.
On a :
donc c est un diviseur commun de 3000 et 1800.
Pour utiliser un minimum de carreaux c doit être maximal donc c= PGCD(3000,1800)=600
c=600mm
nL=3000600=5
nl=1800600=3
Il y a 5 carreaux en longueur et 3 en largeur.
Donc il faut 15 carreaux carrés de 60cm de longueur