ARITHLMETIQUE (Chapitre 1)

Chapitre 1 : Arithmétique
INTRODUCTION
L’arithmétique est l’étude des nombres entiers. L’ensemble des entiers naturels, noté IN, l’ensemble
En mathématiques, un entier relatif, ou parfois entier
rationnel, est un nombre qui se présente comme un entier naturel muni d'un
signe positif ou négatif indiquant sa position1 par rapport à zéro sur un axe
orienté.
des entiers relatifs est noté Z.
I) Nombres pairs et nombres impairs
Activité1 :
1. On considère l’ensemble A défini par:
3
22 

2016
0; 2; 21;3.14; ;( 5  1)( 5  1); 121;  ;(1) ;126; 422; 
A
4
7


Soit B L’ensemble des entiers naturels éléments de A .déterminer B.
2. Déterminer parmi les nombres suivants ceux qui sont pairs et ceux qui sont impairs :
10- 8 -15- 125- 1027
3. On désigne par P l’ensemble des nombres pairs et par I l’ensemble des nombres impairs
0…I ; 4*17…I ; 0…P ;5*13…I ;2√5…P ;6*13…..p
4. Soient pet q deux entiers naturels ( p>q)
a. Déterminer la parité des nombres : p+q. ;p-q ;p.q. ;p² lorsque p et q sont pairs
b.déterminer la parité des nombres : p+q. ;p-q ;p.q. ;p² lorsque p et q sont impairs
C.déterminer la parité des nombres : p+q. ;p-q ;p.q. ;p² lorsque p pair et q impairs
d.En déduire la parité de deux nombres consécutifs
1. Définitions

Pair/impair
Un entier pair est un multiple de 2 : il peut s’écrire sous la forme 2n, où n est un entier relatif
quelconque.
Quand un entier n’est pas pair, il est dit impair : il peut s’écrire sous la forme 2n + 1, où n est un entier
relatif quelconque.

Consécutifs
Deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent : ils peuvent s’écrire n et n + 1 par exemple (ou
bien n – 1 et n ...), avec n entier naturel quelconque.
 Carré parfait
Un carré parfait est le carré d’un entier : il peut s’écrire sous la forme n2 = n × n, avec n entier relatif
3. OPERATION SUR LES NOMBRES PAIRS ET IMPAIRS
i). La somme de deux nombres pairs est paire.
ii) La somme de deux nombres impairs est paire.
iii) La différence de deux nombres pairs est paire.
vi) La différence de deux nombres impairs est paire.
vii) La somme et la différence de deux nombres de même parité sont paires.
viii) La somme et différence de deux nombres de parité différente sont impaires.
4. APPLICATIONS
Soit a un entier naturel non nul. (a>1)
i). Déterminer en justifiant la parité des nombres suivant :
(a+ 3)(a+4) ;
8a+7
;
4a+2 ;
2a-3
ii).Etudier la parité des nombres suivants :
n²+n+1 ; n²+3n+4 ; (2n+2)²- (2n+1)²
II -multiples d’un nombre entier naturel.
Activité 2
Le nombre 60 est un multiple de 6 car 60= 10*6
a. Préciser parmi les nombres suivante qui sont des multiples de 6/
105 ; 102+39 ; 36*17 ; 78
b. si m et n son deux entiers naturels vérifiant : m=7n, que peu-t-on conclure ?
c. x ;y et z sont trois nombres entiers naturels vérifiant z= x*y. Conclure
1. Définitions
Soient m et n deux entiers naturels. On dit que m est un multiple de n s'il existe un entier k tel que
m = kn. On dit aussi que n et K sont des diviseurs de m.
2. Exemple :
30 = 3 * 10. Donc 30 est un multiple de 10 et de 3. Les nombres 3 et 2 sont des diviseurs de 30.
Les nombres 0-5 -10 -25- 30 -40 - 105 et 2015 sont des multiples de 5
Le nombre 22 n’est pas un multiple de 5.
REMARQUES
0 = 0 *n pour tout n, donc 0 est multiple de tout nombre entier. Lorsque m est un multiple de n, on
dit aussi que n divise m, que m est divisible par n, ou encore que n est un diviseur de m. Il est clair
que n divise m si et seulement si le reste de la division euclidienne de m par n est égal µa 0. On
notera Dn l'ensemble des diviseurs de n.
Attention ! 0 n'est diviseur d'aucun nombre sauf 0.
3. Critères de divisibilité
Théorème 2.5 Soit n un nombre entier.
 n est divisible par 2 si et seulement si le chiffre de ses unités est divisible par 2.
 n est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
 n est divisible par 4 si et seulement si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par
4.
 n est divisible par 5 si et seulement si le chiffre de ses unités est 0 ou 5.
 n est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9
 n est divisible par 10 si et seulement si il se termine par 0.
 n est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
4. OPERATION SUR LES MULTIPLES
Exercice
1. Montrer que Si a divise b et si b divise c alors a divisé c.
2. montrer que Si un nombre en divise deux autres, il divise aussi leur somme et leur différence.
III-Diviseurs communs - multiples communs
ACTIVITE 3
i) Déterminer les ensembles D15, D30, D9, D20 et D7.
ii) D30 ∩ D20 désigne l’ensemble des diviseurs communs à 20 et à 30. Déterminer cet ensemble
iii) déterminer le plus grand élément de D30 ∩ D20
A. Rappels
i) Pour tous entiers naturels x et y tels que x < y, on dit aussi que x est plus
petit que y ou que y est plus grand que x.
ii)Si A est un ensemble d’entiers naturels, et si m ∈ A est plus petit que tous
les autres ´éléments de A on dit que m est le plus petit ´élément de A. Si M ∈
A est plus grand que tous les autres ´éléments de A, on dit que M est le plus
grand ´élément de A.
B-Diviseur commun de deux entiers naturels -Plus grand communs diviseurs.
1. Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à a et à b admet un plus grand élément
le plus grand commun diviseur de deux entiers a et n b s'appelle le PGCD de a et b, et on le note
pgcd(a, b).
2. exemple
Les diviseurs de 25 sont : 1-2-5-10-25 et 50
Les diviseurs de 35 sont : 1-2-5-7-14-10 -35 et 70
Les diviseurs communs à 50 et 70 sont 1-2- 5 et 10
Le plus grand de ces diviseurs est : 10
Dans l’exemple précèdent les diviseurs communs à 50 et 70 sont les diviseurs de 10 c'est-à-dire les
diviseurs de leur PGDC
3. propriété
Soient m, n ∈ N.
Les diviseurs communs de m et n sont les diviseurs de leur PGCD.
C. Multiples communs à deux entiers -PPCM de deux entiers naturels.
1. Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. (en effet 0 est multiple de tous les nombres).
L’ensemble des multiples communs à a et à b admet un plus petit élément m
m est alors appelé plus petit commun multiple de a et à b et est noté PPCM (a, b).
2. Exemples
On peut déterminer le PPCM de deux entiers en établissant la liste de leurs multiples… C’est artisanal mais cela
illustre bien la définition.
Ainsi pour 30 et 18.
L’ensemble des multiples de 30 est
M30z = {0 ; 30 ; 60 ; 90 ; 120 ; 150 ; 180 ; ...}
L’ensemble des multiples de 18 est
M18z = {0 ; 18 ; 36 ; 54 ; 72 ; 90 ; 108 ; 126 ; 144 ; 162 ; 180 ; ...}
Les multiples communs à 30 et à 18 sont :
M30  M 18z = {0 ; 90 ; 180 ; …}
On peut écrire PPCM (30, 18) = 90.
3. PROPRIETES
P1: ppcm (a, b) est un multiple de pgcd (a, b).
L’ensemble des multiples communs à deux entiers naturels non nuls a et b est exactement l’ensemble des
multiples de leur PPCM
P2 : Soient a, b et k trois entiers naturels non nuls. PPCM (ka, kb) = k .PPCM (a, b).
P3 : Pour tous entiers naturels non nuls a et b on a : pgcd (a, b) × ppcm (a, b) = a × b. cette égalité peut aussi
s’écrire sous la forme :ppcm (a, b) =Error!.
IV-Les nombres premiers
Activité
1. Donner tous les diviseurs des entiers naturels inferieurs à 21.
2. Donner les entiers qui ont exactement deux diviseurs et en déduire la
parité de chacun d’eux.
3. Ecrire les nombres : 8 ; 24 ; 144 & 147 sous forme de produit en utilisant
uniquement des nombres trouvés dans la question (2)
1. Définition
Un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs est appelé nombre
premier.
2. Exemple
Liste des 20 premiers nombres premiers. 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-7173-79
3. Remarques
 Tous les entiers naturels sont des diviseurs de 0.
 Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur. Il n’est pas un nombre premier.
 Tout nombre entier a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Ces deux diviseurs (1 et n)
sont dits triviaux (synonyme de "évidents").Un nombre qui a d'autres diviseurs que ceux-là
est un nombre composé.
4. Décomposition d’un entier naturel non premier en produit de facteurs
premiers
A. Quelques propriétés fondamentales des nombres premiers
1.
2.
3.
4.
5.
P1 : Il existe une infinité de nombres premiers.
P2 : Il n'existe pas de formule algébrique pour représenter un nombre premier
P3 : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est toujours divisible par au moins un nombre premier.
P4 : La décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers est unique.
P5 : Tous les nombres premiers supérieurs à 2 sont impairs.
B. EXEMPLES
Décomposer les nombres 24 -319 et 1344 en produit de facteurs premiers
24=23 *3 - 319=11*29 et 1344=26 *3*7
C) APPLICATIONS : détermination du PGDC et du ppcm
On considère les deux entiers : M = 23 × 52 × 7 × 19 et N = 2 × 3 × 52 × 72.
a) Donner un diviseur commun à M et à N
b) donner le plus grand diviseur commun à M et à N
c)donner un multiple commun à M et à N
d) donner le plus petit multiple commun à M et à N
e) calculer : T=pgcd (a, b) × PPCM (a, b) quelle remarque peut-on faire ?
Réponse
le ppcm de a et de b est égal à : 23 × 3 × 52 × 72 × 19.
le pgcd de a et de b vaut : 2 × 52 × 7.
On peut vérifier sur cet exemple que pgcd (a, b) × PPCM (a, b) = a × b
D) Résultat
Pour obtenir le PPCM de a et de b, on décompose ces deux nombres en produit de facteurs premiers puis on
effectue le produit de tous les facteurs premiers qui figurent dans les décompositions de a et de b, chacun étant
affecté de l’exposant le plus grand.
De même, pour obtenir le pgcd de a et de b, on effectue le produit de tous les facteurs premiers qui figurent à la
fois dans les deux décompositions de a et de b, chacun étant affecté de l’exposant le plus.