feuilles d`exercices - Université d`Orléans

Université de TOURS - M1 Mathématiques - 2016/2017
TD 1
1
Applications directes du théorème de Baire
Exercice 1
Démontrer que tout espace vectoriel E de dimension infinie dénombrable n’est pas complet.
Indication : prouver d’abord que tout sous-espace strict de E est d’intérieur vide puis on notera (en )n∈N
une base (algébrique) de E. On posera En = Vect {ei , 0 ≤ i ≤ n}.
Exercice 2 [Les fonctions continues nulle part dérivables sont denses]
On munit E = C 0 ([0, 1]) de la norme uniforme. On pose pour tout n ∈ N,
Fn = {f ∈ E, ∃x ∈ [0, 1], ∀y ∈ [0, 1], |f (x) − f (y)| ≤ n|x − y|} .
1. Prouver que l’ensemble des fonctions dérivables en un point est inclus dans
[
Fn .
n∈N
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, Fn est fermé.
3. Prouver que pour tout n ∈ N, Fn est d’intérieur vide.
On peut considérer les fonctions x 7→ f (x) + δ sin(N x) pour un N bien choisi et δ > 0.
4. En déduire que l’ensemble des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans E.
Remarque : un exemple d’une telle fonction est
f (x) =
X 1
[2n x], où [x] désigne la distance entre x et l’entier le plus proche.
2n
Exercice 3
Soit f une fonction de R dans C. Rappelons que l’oscillation de f en un point x ∈ R est mesurée par
ω(f, x) = inf
sup
δ>0 y,z∈]x−δ,x+δ[
|f (y) − f (z)|.
1. Observer que f est continue en x si et seulement si ω(f, x) = 0.
2. Vérifier que Ur = {x ∈ R | ω(f, x) < r} est un ensemble ouvert dans R, pour tout r > 0.
3. Supposons dorénavant que f est une fonction dans la première classe de Baire, i.e., f est limite
simple (ou ponctuelle) d’une suite de fonctions continues fn : R → C. Soit ε > 0. On pose pour tout
◦
n ∈ N, Fn = {x ∈ R | |fn (x) − fm (x)| ≤ ε, ∀m ≥ n}. Démontrer qu’il existe n ∈ N tel que Fn 6= ∅.
4. En déduire que les Ur sont non vides.
5. Montrer que les ensembles Ur sont denses dans R.
6. En déduire que les points de continuité (resp. de discontinuité) de f constituent un ensemble dense,
(resp. maigre) dans R.
7. Prouver que la dérivée de toute fonction dérivable est continue sur un ensemble dense de réels.
1
2
Le théorème de Banach-Steinhauss
Exercice 4 Soit E1 un espace de Banach et E2 et F deux espaces vectoriels normés. Soit B : E1 ×E2 → F
une application bilinéaire dont les applications partielles sont continues. Montrer que B est continue.
Exercice 5 [Série de Fourier]
On note C2π l’ensemble des fonctions de R dans C qui sont 2π périodiques et continues et on munit cette
espace de la norme k · k∞ . Pour tout f ∈ C2π , on rappelle que les coefficients de Fourier de f sont donnés
par
Z π
1
f (t)e−ipt dt.
∀p ∈ Z, cp (f ) =
2π −π
Pour tout n ∈ N∗ , on considère l’application
ln : C2π → C : f 7→
n
X
cp (f ).
p=−n
1. Montrer que ln est une forme linéaire continue et calculer sa norme kln k.
2. Montrer que lim kln k = +∞.
n→+∞
3. En déduire l’existence de fonction f ∈ C2π dont la série de Fourier diverge en 0 (Profitez en pour
vous rappeller des différents résultats de convergences sur les séries de Fourier).
3
Application ouverte
Exercice 6 [Sur les hypothèses]
Énoncer le théorème de l’application ouverte.
1. Montrer qu’une application bijective entre deux espaces topologiques est ouverte si et seulement si
son inverse est continue.
2. Donner un exemple d’application continue surjective f : R → R non ouverte.
3. Donner un exemple d’application linéaire (continue) f : R → R non ouverte.
4. Soit E l’ensemble des suites réelles nulles sauf en un nombre fini d’indice muni de la norme infinie.
Déterminer une application linéaire bijective de E dans lui-même tel que T −1 n’est pas continue.
Quelle hypothèse n’est pas vérifiée ?
Exercice 7
Soit E un espace de Banach pour deux normes k · ka et k · kb . Montrer que si une norme
domine l’autre alors elles sont équivalentes.
Exercice 8
On utilise les notations de l’exercice 5. On note U l’espace vectoriel des suites complexes
indexées par Z, U0 le sous-espace vectoriel des suites complexes indexées par Z qui tendent vers zéro quand
n → +∞ et n → −∞ et
F : C2π → U, f 7→ (cn )n∈Z .
1. Montrer que Im(F) ⊂ U0 .
2. La fonction F est-elle surjective ?
2
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TD 2
4
Théorème du graphe fermé
Exercice 9 Théorème de Hellinger-Toeplitz
Soit H un espace de Hilbert et T linéaire telle que
∀x, y ∈ H, hT x, yi = hx, T yi.
Montrer que T est continue.
Indication : Soit (x, y) ∈ G(T ). Démontrer que pour tout z ∈ H, hz, yi = hz, T xi.
5
Réflexivité
Soit E un espace de Banach et E 0 son dual topologique. On utilisera la notation de crochet de dualité :
∀x ∈ E, ∀f ∈ E 0 , < f, x >= f (x).
Exercice 10 Cas de la dimension finie
Soit E un espace vectoriel normé de dimension fini. Montrer que E 0 est isomorphe à E. En déduire que
tout espace de dimension fini est réflexif.
Exercice 11
Montrer que tout espace de Hilbert est réflexif.
Exercice 12 Espace dual de `p , 1 < p < +∞
Dans tout l’exercice, p > 1 désigne un réel et q le réel conjugué (de sorte que p1 + 1q = 1.) On note `p
P
l’ensemble des suites complexes (xn )n≥1 telles que n≥1 |xn |p < +∞ que l’on munit de la norme `p . On
note aussi em la suite qui a un 1 en m-ième position et des 0 partout ailleurs. Cette suite est dans tous
les `p .
L’objectif de cet exercice est de démontrer le fait suivant : Pour 1 < p < ∞ et q l’exposant conjugué, le
dual de `p est isométrique à `q .
1. Soit (an )1≤n≤N un N -uplet de nombres complexes. Déterminer un N -uplet (bn )1≤n≤N tel que
N
X
an b n =
1
N
X
|an |q .
1
2. Soit L un élément de (`p )∗ , on note kLk∗ sa norme. On définit la suite (yn )n≥1 par yn := L(en ).
Montrer que l’on a
∀N ≥ 1,
N
X
! 1q
|yn |q
≤ kLk∗ .
n=1
3. En déduire que l’application T définie par T (L) = (yn )n≥1 est une application linéaire continue de
(`p )∗ dans `q .
3
4. Montrer que si y = (yn )n≥1 = T (L) alors, pour tout x = (xn )n≥1 ∈ `p , on a
X
L(x) =
xn yn .
n≥1
En déduire que,
∀L, kT (L)k`q = kLk∗ .
5. Montrer que l’application T est inversible.
Exercice 13 Espace dual de c0 , de `1 et de `∞
On rappelle que c0 est l’ensemble des suites (réelles) tendant vers 0 à l’infini. On pose
X
Ty (x) =
xn yn ∀x ∈ `p .
n∈N
1. Montrer que l’application x 7→ Tx établit un isomorphisme isométrique de `1 sur c00 et de `∞ sur (`1 )0 .
2. Montrer que c0 , `1 et `∞ ne sont pas réflexifs.
Exercice 14 Représentation de Riesz dans Lp
Soit 1 < p < +∞ et 1 < p0 < +∞ tel que p1 +
0
unique u ∈ Lp tel que
Z
p
∀f ∈ L , < φ, f >= uf,
1
p0
= 1. Soit φ ∈ (Lp )0 . On veut montrer qu’il existe un
et que de plus,
kukLp0 = kφk(Lp )0 .
On considère l’application T : Lp → (Lp )0 définie comme suit : Z
0
soit u ∈ Lp fixé et on note Tu l’application f ∈ Lp 7→ Tu (f ) = uf
0
1. Montrer que Tu est une forme linéaire continue sur Lp et que
||Tu ||(Lp0 )0 ≤ ||u||Lp .
2. Prouver à l’aide d’un élément particulier que
||Tu ||(Lp0 )0 = ||u||Lp
0
3. Démontrer que T (Lp ) est dense dans (Lp )0 .
On pourra admettre que Lp est réflexif.
4. Conclure.
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TD 3
5
Réflexivité (suite)
Exercice 15
6
Démontrer que l’espace des polynômes n’est réflexif pour aucune norme.
Dualité
Exercice 16
1. Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et F un sous-espace vectoriel de E. Vérifier
que l’ensemble des classes
x + F = {x + y | y ∈ F },
est un espace vectoriel, noté E/F et appelé quotient de E par F pour les opérations suivantes :
(
(x1 + F ) + (x2 + F ) = (x1 + x2 ) + F ∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 ,
λ(x + F ) = (λx) + F
∀λ ∈ K, ∀x ∈ E.
2. Supposons de plus que K = R ou C, E est normé et que F est fermé. Montrer que
kx + F k = inf y∈F kx + yk,
est une norme sur E/F .
3. Montrer que la projection canonique π(x) = x + F est une application linéaire continue de E sur
E/F .
4. Si E est complet, montrer que E/F est complet.
Indication : soit (xn + F )n∈N une suite d’éléments de E/F telle que
+∞
X
kxn + F k < +∞.
n=0
7
Théorème d’Hahn-Banach
Exercice 17
Soient E un espace vectoriel normé sur F = R ou C et
H = {x ∈ E | f (x) = α},
un hyperplan affine dans E où f : E −→ F est une forme linéaire non nulle et α ∈ F.
Montrer que H est fermé si et seulement si f est continue.
Exercice 18 Montrer que, dans Rn , on peut toujours séparer deux ensembles convexes non vides disjoints
par un hyperplan affine.
Indications : soient A et B deux ensembles convexes non vides disjoints. On pose K = A − B. Démontrer
que K est un fermé convexe non vide puis considérer un vecteur v de norme minimal.
5
Exercice 19
Soit E un espace normé. L’orthogonal d’une partie non vide A ⊂ E est défini par
A⊥ = {f ∈ E 0 | ∀x ∈ A, f (x) = 0}.
1. Montrer que A⊥ est un sous-espace fermé de E 0 et que A et le sous-espace fermé engendré par A ont
le même orthogonal.
2. Si B est un partie non vide de E 0 , on pose
B ⊥ = {x ∈ E | ∀f ∈ B, f (x) = 0}.
Montrer que B ⊥ est un sous-espace fermé de E et que B et le sous-espace fermé engendré par B ont
le même orthogonal.
3. Soit F un sous-espace vectoriel de E. On veut prouver que (F ⊥ )⊥ = F .
(a) Montrer que F ⊂ (F ⊥ )⊥ .
(b) Par l’absurde, supposons que F 6= (F ⊥ )⊥ . Soit x0 ∈ (F ⊥ )⊥ \ F . Conclure en appliquant le
théorème de Hahn-Banach à {x0 } et F .
4. soit G un sous-espace vectoriel de E 0 .
(a) Montrer que G ⊂ (G⊥ )⊥ .
(b) En déduire que si E est réflexif alors G = (G⊥ )⊥ .
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TD 4
7
Topologie faible
Si E est un espace de Banach, on note σ(E, E 0 ) la topologie faible, c’est-à-dire la topologie la moins fine
sur E rendant continues toutes les applications f ∈ E 0 .
Soit x ∈ E. On rappelle que l’ensemble des ouverts
VI,ε = {y ∈ E, | < f, y − x > | < ε, f ∈ I}, ε > 0, I ⊂ E 0 fini.
forme une base de voisinage de x pour σ(E, E 0 ). Autrement dit, pour tout voisinage U de x, il existe ε > 0
et I ⊂ E 0 fini tels que VI,ε ⊂ U .
Exercice 20 Démontrer que la topologie σ(E, E 0 ) est séparée, c’est-à-dire,Tque pour tout x1 , x2 ∈ E, il
existe deux ouverts O1 et O2 pour σ(E, E 0 ) tels que x1 ∈ O1 , x2 ∈ O2 et O1 O2 = ∅.
Indication : utiliser le théorème d’Hahn-Banach.
Exercice 21 Soit (xn )n∈N une suite de E. On notera avec le symbole * la convergence faible.
Montrer que
1. xn * x si et seulement si < f, xn >→< f, x > pour tout f ∈ E 0 ,
(utiliser les voisinages ouverts du type VI,ε )
2. la convergence forte implique la convergence faible,
3. xn * x implique (xn )n∈N bornée et ||x|| ≤ lim inf ||xn ||,
(on appliquera le théorème de Banach-Steinhauss)
4. xn * x et fn → f (dans E 0 ) alors < fn , xn >→< f, x >.
Soit E un espace de Banach. On dit que E est uniformément convexe si
x + y < 1 − δ .
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ E, (||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1, ||x − y|| > ε) =⇒ 2 Exercice 22
1. Montrer qu’un espace de Hilbert est uniformément convexe.
On peut prouver en utilisant l’inégalité de Clarkson que tous les espaces Lp pour 1 < p < ∞ sont
uniformément convexes mais que L1 et L∞ ne sont pas uniformément convexes.
2. Soit E un espace de Banach uniformément convexe. Soit (xn )n∈N une suite de E telle que xn * x et
lim sup ||xn || ≤ ||x||. Prouver que xn → x (fortement dans E).
Indications : faire le cas x = 0.
yn + y xn
x
Pour x 6= 0, posez λn = max(||xn ||, ||x||), yn =
,y=
et considérer λn
||x||
2 Exercice 23 Le but de l’exercice est de prouver que l’adhérence pour σ(E, E 0 ) de la sphère unité (pour
la norme) est la boule unité fermé (pour la norme).
7
1. Soit x0 ∈ E et V un voisinage de x0 pour la topologie faible σ(E, E 0 ). Montrer que V contient une
droite passant par x0 .
Indication : on peut toujours se ramener au cas où V = VI,ε . Trouver d’abord y0 ∈ E avec y0 6= 0
tel que ∀i ∈ I, < fi , y0 >= 0.
2. Supposons que ||x0 || < 1. Démontrer qu’il existe t0 > 0 tel que ||x0 + t0 y0 || = 1.
3. Conclure.
4. En utilisant la question 1, prouver que la boule unité ouverte (pour la norme) est d’intérieur vide
pour σ(E, E 0 ).
Exercice 24 Soit C un convexe de E. Prouver que C est fermé pour la norme de E si et seulement si il
est fermé pour σ(E, E 0 ).
Indication : prouver que CC, le complémentaire de C dans E, est ouvert pour σ(E, E 0 ) en utilisant le
théorème d’Hahn-Banach.
Exercice 25 Convergence faible non forte
Soit a < b dans [−∞, +∞]. On considère l’espace L2 (a, b) muni de son produit scalaire usuel. On considère
φ : R → R une fonction régulière non nulle à support compact.
1. (Evanescence). Montrer que la suite un : R → R, x 7→ un (x) = φ(x − n) converge faiblement vers
0 dans L2 (R) mais que cette convergence n’est pas forte.
√
2. (concentration). Montrer que la suite vn : (−1, 1) → R, x 7→ vn (x) = nφ(nx) converge faiblement
vers 0 dans L2 (−1, 1) mais que cette convergence n’est pas forte.
3. (Oscillation). Soit w : R → R une fonction 2π-périodique et wn (x) = w(nx). Montrer que la suite
wn converge faiblement vers la moyenne de w sur [0, 2π] mais que cette convergence n’est pas forte.
Exercice 26
Pour tout n ≥ 0, on considère les fonctions suivantes :
n2
, bn (x) = cos(2πnx),
n2 + x2
1
2
dn (x) =
, en (x) = e−(n+x) .
2
2
1+n x
an (x) =
cn (x) =
√
ne−nx ,
Étudier la convergence faible et la convergence forte de ces suites de fonctions dans L2 ([−1; 1], R) puis
dans L2 (R, R).
8
Topologie préfaible
Exercice 27
a) Démontrer que la topologie σ(E 0 , E) est séparée.
?
b) Soit (fn )n∈N une suite de E 0 . On notera avec le symbole * la convergence faible pour σ(E 0 , E).
?
1. fn * f si et seulement si < fn , x >→< f, x > pour tout x ∈ E,
2. la convergence forte (dans E’) implique la convergence faible (pour σ(E 0 , E)),
?
3. fn * f implique (fn )n∈N bornée et ||f || ≤ lim inf ||fn ||,
?
4. fn * f et xn → x (fortement dans E) alors < fn , xn >→< f, x >.
8