Université Paris Descartes UFR de Mathématiques et Informatique 45, rue des Saints-Pères, 75006, Paris. Mathématiques et calculs : Contrôle continu no 1 17 Octobre 2011 L1 : Licence sciences et technologies, mention mathématiques, informatique et applications Nombre de page de l’énoncé : 1 . Durée 1h30. Correction Exercice 1 1) Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes √ z1 = √ 6−i 2 2 et z2 = 1 − i. z1 . z2 π π 3) Utiliser les résultats précédents pour calculer cos( 12 ) et sin( 12 ). 2) En déduire le module et l’argument de z = Correction de l’exercice 1 : 1) |z1 | = |z2 | = √ √ 2 et 2 et π arg(z1 ) = − . 6 π arg(z2 ) = − . 4 2) π |z1 | = 1 et arg(z) = arg(z1 ) − arg(z2 ) = . |z2 | 12 π π 3) On détermine la forme algébrique de z = cos( 12 ) + i sin( 12 ). On trouve √ √ √ √ 6+ 2 6− 2 z=( ) + i( ) 4 4 D’où √ √ √ √ 6+ 2 6− 2 π π cos( ) = et sin( ) = . 12 4 12 4 |z| = Exercice 2 Déterminer les racines carrées complexes de z = −8 − 6i. Correction de l’exercice 2 : On cherche ω = x + iy tel que ω 2 = z. Ici 2xy = −6 donc x et y sont de signes contraires. Les deux racines sont ω1 = 1 − i9 et ω2 = −9 + i9. Exercice 3p p √ √ Soit z = 2 − 2 + i 2 + 2. 1) Calculer z 2 sous la forme algébrique puis sous forme exponentielle. 2) En déduire la forme exponentielle de z. 3) En déduire cos( 3π 8 ). Correction de l’exercice 3 : 1 2 1) Les réponses sont : √ √ z 2 = −2 2 + i2 2 z 2 = 4ei |z 2 | = 4 et 3π 4 arg(z 2 ) = 3π . 4 2) z est une racine carrée de z 2 donc z = 2ei Comme cos( 3π 8 ) 3π 8 ou z = −2ei 3π 8 . > 0 et Re(z) > 0, on en déduit que z = 2ei 3π 8 . 3) 3π Re(z) cos( ) = = 8 |z| p 2− 2 √ 2 . Exercice 4 Soit (un ) la suite définie par : u0 = 0 un+1 = r u2n + 4 , ∀n > 0 3 1) Montrer que pour tout n > 0, un > 0. 2) Montrer que la suite (vn ) définie par vn = u2n − 2 est géométrique et préciser sa raison. 3) Calculer vn en fonction de v0 . En déduire la limite de (vn ) puis celle de (un ). Correction de l’exercice 4 : 1) On démontre par récurrence la propriété (Pn ) : un > 0. – Initialisation : u0 = 0 > 0 donc (P0 ) est vraie. – Hérédité : On suppose que (Pn ) est vraie pour un certain n > 0. Alors, r u2n + 4 un+1 = 3 u2n + 4 est bien défini puisque > 0 d’après l’hypothèse de récurrence. De plus un+1 > 0 car la 3 fonction racine carrée est positive. Donc, par récurrence, pour tout n > 0, un > 0. 2) On a u2 + 4 u2 − 2 1 vn+1 = u2n+1 − 2 = n −2= n = vn . 3 3 3 Donc (vn ) est une suite géométrique de raison 31 . 3) (vn ) est une suite géométrique de raison 13 et v0 = u0 − 2 = −2 d’où vn = − 2 . 3n On en déduit que (vn ) tend vers 0, et donc que u2n = vn + 2 tend vers 2. Comme un > 0, on a un = √ d’où (un ) tend vers 2 (par continuité de la fonction racine carrée. . .) . Exercice 5 Soit (un ) la suite définie par : ( u0 = 1 √ un+1 = 2un , ∀n > 0 1) Montrer que pour tout n > 0, un > 0. 2) Montrer que pour tout n > 0, un 6 2. 3) Montrer que (un ) est croissante (on pourra considérer le quotient un+1 ). un p u2n , 3 4) En déduire que (un ) est convergente et déterminer sa limite. Correction de l’exercice 5 : 1) On démontre par récurrence la propriété (Pn ) : un > 0. – Initialisation : u0 = 1 > 0 donc (P0 ) est vraie. √ – Hérédité : On suppose que (Pn ) est vraie pour un certain n > 0. Alors un+1 = 2un > 0 donc (Pn+1 ) est vraie. Donc, par récurrence, pour tout n > 0, un > 0. 2) On démontre par récurrence la propriété (Pn ) : un 6 2. – Initialisation : u0 = 1 6 2 donc (P0 ) est vraie. – Hérédité : On suppose que (Pn ) est vraie pour un certain n > 0. Alors, 2un 6 4, et, comme la fonction racine carrée est croissante, √ √ un+1 = 2un 6 4 = 2, et donc (Pn+1 ) est vraie. Par récurrence, pour tout n > 0, un 6 2. car pour tout n > 0, un > 0 et en particulier un 6= 0. On a 3) On peut considérer le quotient uun+1 n r √ 2un 2 un+1 = = . un un un q un+1 Or, d’après la question 2), un 6 2, donc u2n > 1. Ainsi, > 1 pour tout n > 0, ce qui montre que un (un ) est croissante. 4) (un ) est croissante et majorée par 2, donc elle converge. Sa limite l vérifie √ l = 2l ⇔ l2 = 2l et l > 0 ⇔ l(l − 2l) = 0 et l > 0 ⇔ l = 0 ou l = 2. Ainsi (un ) ne peut converger que vers 0 ou 2. Mais comme (un ) est croissante et u0 = 1 > 0, (un ) ne peut pas converger vers 0. En conclusion, (un ) converge vers l = 2.