L1 Physique : La dilatation des durées et contraction des longueurs

L1 Physique : La dilatation des durées et
contraction des longueurs -TD6
Licence 1 Parcours 1 et 3 année 2012-2013
1
Contraction des durées
Les muons sont les particules les plus nombreuses dans le rayonnement cosmique à des
altitudes de l’ordre de quelques kilomètres. Un compteur A était installé au sommet du Mont
Washington (États-Unis) à une altitude de 1910 mètres. Il était réglé pour compter les muons
voyagant verticalement vers le sol et ayant des vitesses proches de 99,52% de la vitesse de la
lumière. Il enregistrait 563 ± 5 muons par heure. Un second compteur B identique à celui de A
était installé près de la mer à une altitude de 3 mètres et il enregistrait 420±5 muons par heure.
L’intensité des rayons cosmiques ne varie pas d’un endroit à l’autre si proche. Rappelez-vous
que le muon est instable et une population varie selon la loi :
N (t) = N (0) exp(−t/τ )
(1)
où τ représente le temps de vie moyen avec τ = 2, 2 × 10−6 s et t est le temps propre.
(a) Trouver l’intervalle de temps ∆t0 pris par un muon pour traverser l’altitude du compteur
A jusqu’au compteur B dans un référentiel fixé sur la terre.
Solution
Il n’y a rien difficile ici :
∆t0 =
∆z 0
v
(2)
avec
∆z 0 = 1910 − 3 m = 1907 m,
(3)
v = 0, 9952c m/s = 2, 9856 × 108 m/s,
(4)
et
Donc,
∆z 0
= 6, 387 × 10−6 s.
(5)
v
Il s’agit d’un intervalle du temps impropre car il y a une partie spatiale dans l’intervalle entre
les deux événements du muon passant par compteur A et par compteur B. On a besoin de deux
horloges : une horloge situé à A et une horloge situé à B pour enregistrer l’intervalle du temps.
∆t0 =
(b) La loi (9) est valable dans un référentiel pour lequel le muon est au repos. Trouver
l’intervalle de temps propre ∆t correspondant à ∆t0 .
Solution On utilise la loi donné pendant cours 7 :
∆t =
∆t0
= 6, 387 × 10−6 s.
γ
(6)
Le facteur de Lorentz est ici :
1
1
γ(v) = p
=
= 10, 22.
2
2
1 − 0, 99522
1 − v /c
(7)
6, 387 × 10−6
∆t0
=
= 6, 25 × 10−7 s.
γ
10, 22
(8)
On obtient :
∆t =
Il s’agit d’un intervalle du temps propre car la partie spatiale dans l’intervalle entre les deux
événements du compteur A passant par le muon et du compteur B passant par le muon est zero ;
le muon est stationnaire. On n’a seulement besoin d’une horloge pour enregistrer l’intervalle du
temps : une horloge situé à coté du muon.
(c) Utiliser (9) pour verifier les resultats de compteur B.
Solution Développer le membre droite. Attention : La loi (9) est valable dans un référentiel
pour lequel le muon est au repos. Alors t est le temps propre.
N (t) = 563 exp(−6, 25 × 10−7 /2, 2 × 10−6 ) = 424, 3
(9)
Le membre gauche est 420 ± 5 et donc c’est assez proche.
(d) Dans un référentiel R qui se déplace avec les muons, les muons sont immobiles mais la
terre s’approche à une vitesse β = 0, 9952c. Quel temps met un muon pour traverser l’altitude
du compteur A jusqu’au compteur B ? Indice : il n’y a pas de calcul à faire. Il faut simplement
comprendre ce que vous avez fait ci-dessus.
Solution
∆t =
∆t0
= 6, 387 × 10−6 s.
γ
(10)
(e) Dans le référentiel R, quelle est la distance verticale entre les compteurs A et B ?
Solution
Il n’y a rien difficile ici :
∆z = ∆t0 v = 6, 387 × 10−6 s × 2, 9856 × 108 m/s = 186, 6 m.
2
(11)
Contraction des longueurs
Refaire le calcul de question 1(e) en utilisant la formule de contraction des longueurs.
Solution On utilise la loi donné pendant cours 8 :
l0 =
l
1907 m
=
= 186, 6 m.
γ
10, 22
(12)
3
Addition de vitesse
Une étudiante est en retard pour sa leçon de trompette, elle prend son vélo et pédale
rapidement, à 0, 5c, c’est-à-dire à la moitié de la vitesse de la lumière ! En route, elle dépasse
son frère qui courait sur le trottoir dans la même direction qu’elle. Elle remarque que sa vitesse
par rapport à lui est 0, 25c.
(a) Quelle est la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante ?
Solution
C’est −c/4. Elle se dépasse son frère, donc la vitesse du frère est dans le sens négative. Nous
avons choisit que la vitesse de l’étudiante est positive, disons le long de l’axe des x.
(b) Utiliser la formule pour l’addition de vitesse rélativiste pour trouver la vitesse du frère
par rapport à la terre. Indice : Faites attention au signe de la vitesse.
Solution
Soit v12 la vitesse de la particule 2 par rapport à la particule 1, et la vitesse v23 d’une
troisième particule par rapport de la deuxième particule, tous dans la même direction (mais
peut-être du sens différent), disons le long de l’axe des x. Alors, la loi d’Einstein pour l’addition
des vitesses est :
v12 + v23
.
1 + v12c2v23
v13 =
(13)
Donc, suivant cette convention on appele vTE = c/2 la vitesse de l’étudiante par rapport à
la Terre, vEF = −c/4 pour la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante. Nous voulons
vTF qui est donnée par l’équation (13) :
vTE + vEF
,
1 + vTEc2vEF
c
−c
= 2 c ( 4−c ) ,
1 + 2 c24
vTF =
=
c
4
1−
11
24
=
c
4
7
8
2
= c.
7
(14)
(c) Soient (xE (t), t) et (xF (t), t) les coordonnées de l’étudiante et de son frère respectivement
dans un référentiel R immobile par rapport à la terre. Donc,
xE = vTE t
xF = vF t
(15)
Utiliser la transformation de Lorentz pour trouver les coordonnées par rapport à un référentiel
R0 qui se déplace avec l’étudiante. Verifier que x0E = 0. Trouver une expression pour
∆x0F
= vF0
∆t0
Verifier que vF0 correspond à la réponse de (a) ci-dessus. Indice : Pour trouver ∆x0F et ∆t0
différenciez l’expression de x0F et t0 . Si vous ne savez pas comme le faire, utilisez l’expression de
x0F et t0 à deux instants de temps, disons t1 et t2 et soustrayez :
∆x0F = x0F (t2 ) − x0F (t1 )
∆t0 = t0 (t2 ) − t0 (t1 )
Solution
Transformation de Lorentz du referentiel de la terre au referentiel d’étudiante :
0 γ
−γβ
x
x
=
0
t
−γβ
γ
t
(16)
où β = vTE /c.
Pour l’étudiante, xE = vTE t, donc
x0E = γxE − γβct = γ(xE − vTE t) = 0,
bien sûr !
Pour le frère, xF = vTF t, donc
x0F = γxF − γβct = γ(xF − vTE t)
ct0 = γct − γβxF ,
donc t0 = γ(t − (vTE /c2 )xF )
=⇒
(17)
(18)
Différenciez les deux équations (17) et (18) :
dx0F = γ(dxF − vTE dt)
dt0 = γ(dt − (vTE /c2 )dxF )
(19)
Divisez la première équation par dt, remarquez les vitesse de frère :
dx0F /dt = γ(dxF /dt − vTE ) = γ(vTF − vTE )
dt0 /dt = γ(1 − (vTE /c2 )dxF /dt) = γ(1 − vTE vTF /c2 )
(20)
Diviser les deux, les dt s’annulent et on obtient pour la vitesse du frère dans R0 (c’est-à-dire la
vitesse du frère par rapport à l’étudiante), alors vEF ) :
dx0F /dt0 = vEF =
(vTF − vTE )
(1 − vTE vTF /c2 )
(21)
Si on remplace les vitesses maintenant connues sur le membre droite on obtient la vitesse
correcte, vEF = −c/4 :
vEF
(2c/7 − c/2)
=
=
(1 − 12 72 )
4
c
14
−
6
7
7
c
14
1
= − c.
4
(22)
en accord avec exercice 1(a). Alternativement, on peut résoudre l’équation (21) pour vTF :
vTF =
vTE + vEF
1 + vTEc2vEF
et remarquez que c’est l’équation familière de l’addition de vitesses.