présentation synthétique

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS
VINCENT PECASTAING
Mes recherches portent sur les dynamiques de groupes de Lie sur des structures géométriques
rigides. Mes travaux se sont jusqu’à maintenant principalement concentrés sur des problèmes de
géométrie conforme lorentzienne, notamment sur une généralisation d’une conjecture de Lichnerowicz. Un de mes résultats à ce sujet s’appuie sur la théorie générale des isométries locales
des structures A-rigides de Gromov. Je me suis également intéressé à certains résultats de cette
théorie dans le cadre des géométries de Cartan.
Table des matières
1. Thématiques générales
2. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte
3. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie
4. Généralisations pseudo-riemanniennes
5. Orbites des automorphismes locaux des géométries de Cartan
Références
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1. Thématiques générales
Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne. Une autre métrique g 0 sur M est dite conforme
à g s’il existe ϕ ∈ C ∞ (M ), ϕ > 0, telle que g 0 = ϕg. On note [g] = {g 0 , g 0 conforme à g} la classe
conforme de g. Si f : (M, g) → (N, h) est un difféomorphisme local, on dit que f est conforme si
f ∗ h est conforme à g. On note Conf(M, g) le groupe des difféomorphismes conformes de (M, g).
Lorsque M est de dimension au moins 3, ce groupe admet une unique structure différentielle qui
en fait un groupe de Lie agissant différentiablement sur M . C’est une manifestation de la rigidité
des structures conformes en dimension au moins 3.
Les principaux problèmes sur lesquels ma thèse et mes travaux récents ont porté se formulent
comme suit.
Question 1. Quels groupes de Lie peuvent agir conformément sur une variété lorentzienne
compacte ? Ou encore plus finement : est-il possible de classer les groupes de Lie de la forme
Conf(M, g), où (M n , g), n > 3, est une variété lorentzienne compacte ?
Question 2. Lorsque l’on sait qu’un groupe donné peut agir, peut-on décrire la géométrie des
variétés sur lesquelles il agit ? et que peut-on dire de sa dynamique ?
Ces questions sont closes en signature définies positives depuis les années 1970 (voir §3),
d’où l’intérêt porté au cas lorentzien. Je m’intéresse également aux questions analogues en toute
signature (p, q), et mes recherches s’ouvrent naturellement vers d’autres types de structures
géométriques en lien avec la géométrie pseudo-riemannienne.
Date: 14 mars 2017.
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Ces problématiques s’inscrivent dans le cadre de la description des actions différentiables
G → Diff(M ) de groupes de Lie sur des variétés compactes. Traditionnellement, on aborde ce
problème en supposant que G préserve une donnée géométrique sur M , telle qu’un tenseur métrique, une connexion linéaire ou encore une forme symplectique. L’idée est qu’en étudiant cette
problématique avec un spectre large de structures géométriques, on parvient à une description
de plus en plus détaillée des actions supposées seulement différentiables.
Mon travail se place ainsi dans la situation où G préserve une classe conforme de métriques
pseudo-riemanniennes. Ce choix est en outre motivé par le fait que ces dernières sont de bons
exemples de structures paraboliques, le problème décrit ci-dessus étant encore très ouvert pour
ce type de structures (j’y reviens dans le programme de projet de recherche).
2. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte
Un des principaux objectifs de ma thèse était d’obtenir une classification des groupes conformes
des variétés lorentziennes compactes. La motivation était d’étendre au groupe conforme un résultat dû à Adams, Stuck [AS97a, AS97b] et - indépendamment - Zeghib [Zeg98] qui classe à
isomorphisme local près les possibilités pour la composante neutre Isom(M, g)0 du groupe des
isométries d’une variété lorentzienne compacte.
2.1. Motivations : Groupes d’isométries et théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. Rappelons que par le théorème d’Ascoli, les isométries d’une variété riemannienne compacte forment
un groupe de Lie compact. En dehors du cadre défini positif, on perd la donnée d’une distance
invariante. Néanmoins, que la métrique soit riemannienne ou non, son groupe d’isométries préserve sa connexion de Levi-Civita. C’est ce qui rigidifie la situation. Qui plus est, si un groupe
agit par isométries sur une variété pseudo-riemannienne (M, g), alors il préserve le volume dvolg ,
donc une mesure finie de support total si M est compacte. On parle de structure unimodulaire.
On se retrouve notamment dans le champ d’action de travaux fondateurs de Zimmer dans les
années 1980 sur les actions mesurées de groupes de Lie semi-simples sur des G-structures (voir
[Zim86b, Zim84a] notamment). En géométrie lorentzienne, ils conduisirent notamment au :
Théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. A isomorphisme local près, Isom(M, g)0 est de la forme
S × K × Rk , où K est un groupe de Lie semi-simple compact, et si non trivial, S est localement
isomorphe à SL(2, R), à un groupe de Heisenberg Heis(2d + 1), d > 1, ou encore à un groupe de
Heisenberg tordu, i.e. un produit semi-direct résoluble bien choisi de la forme S1 n Heis(2d + 1).
Quelques exemples. Si Γ < SL(2, R) est un réseau cocompact, alors la métrique de Killing
de SL(2, R) induit une métrique lorentzienne invariant à gauche sur SL(2, R)/Γ. Par le même
procédé, lorsque G = S1 nHeis(2d+1) est un groupe de Heisenberg tordu, on peut construire une
métrique lorentzienne invariante à gauche sur des quotients compacts G/Γ, et on peut déformer
cette métrique pour la rendre seulement Heis(2d + 1)-invariante.
Il est à l’heure actuelle encore difficile d’étudier les dynamiques lorentziennes de groupes discrets. Néanmoins, on peut considérer qu’on est parvenu à un degré satisfaisant de compréhension
des groupes d’isométries des variétés lorentziennes compactes, et on aimerait un résultat analogue
pour leurs groupes conformes. Les groupes d’isométries étant classés, on prend la
Définition 1. Soit G < Conf(M, g) un groupe de Lie agissant conformément sur une variété
pseudo-riemannienne. On dit que G est inessentiel s’il existe g 0 ∈ [g] telle que G < Isom(M, g 0 ).
Sinon, G est dit essentiel.
Notons que tout groupe compact est inessentiel : il suffit de moyenner avec sa mesure de Haar
pour trouver une métrique invariante dans la classe conforme.
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2.2. Groupes conformes essentiels : État de l’art.
Des exemples. Considérons l’espace de Minkowski privé de son origine R1,n−1 \ {0}. Le groupe
généré par une homothétie non triviale, disons < 2 id >, agit librement proprement discontinûment et conformément, et nous obtenons au quotient une variété difféomorphe à Sn−1 ×S1 munie
d’une classe conforme lorentzienne, dite variété de Hopf. Comme CO(1, n − 1) agit conformément
sur le revêtement en normalisant < 2 id >, nous obtenons au quotient une action conforme de
S1 × O(1, n − 1) sur cette variété.
Dans RP n+1 , considérons le projectivisé du cône isotrope épointé de R2,n . C’est une quadrique
lisse difféomorphe à (S1 × Sn−1 )/Z2 et on vérifie que la forme quadratique de R2,n y induit une
classe conforme lorentzienne. Il s’agit de l’Univers d’Einstein lorentzien, noté Ein1,n−1 . Il est
par construction muni d’une action conforme transitive de PO(2, n). Il s’agit en fait de l’espace
modèle de la géométrie conforme lorentzienne, cf §5.1. Cette construction se généralise en toute
signature (p, q), où l’on dispose d’un Univers d’Einstein Einp,q , doublement revêtu par Sp × Sq ,
dont le groupe conforme est PO(p + 1, q + 1).
Dans un registre plus élaboré, en quotientant un ouvert strict de Ein1,n−1 par des « groupes
de Schottky lorentziens », Frances construit dans [Fra05], pour chaque g > 2, une infinité de
structures conformes lorentziennes sur S1 ×(S1 ×Sn−2 )(g−1)] dont le groupe conforme est essentiel
et localement isomorphe à SL(2, R) × SO(n − 1).
Travaux antérieurs en rang maximal. Dans [Zim87], Zimmer s’intéresse à des actions de
groupes de Lie semi-simples sur des structures géométriques compactes non-unimodulaire, ne
préservant a priori pas de mesure finie. Il formule des restrictions sur le groupe en considérant la
dynamique de certains sous-groupes moyennables - qui préservent automatiquement une mesure
finie par compacité.
En géométrie conforme, ses conclusions deviennent : Si un groupe de Lie G semi-simple sans
facteur compact agit conformément sur (M, g) pseudo-riemannienne compacte de signature (p, q),
p 6 q, alors RgR (G) 6 p+1. Cette borne est optimale puisque l’on dispose de l’Univers d’Einstein
de même signature. Bader et Nevo prouvent alors dans [BN02] que lorsque G est simple et
de rang maximal, alors il est localement isomorphe à SO(p + 1, k + 1), p 6 k 6 q. Enfin,
Frances et Zeghib complètent ce travail en prouvant dans [FZ05] que dans le même contexte,
alors la variété elle-même doit être un quotient du revêtement universel de Einp,q par un groupe
discret monogène. On pourra consulter [BFM09] pour des généralisations de ces observations aux
géométries paraboliques.
Groupes nilpotents d’indice maximal. Dans [FM10], Frances et Melnick étendent ces résultats au cas nilpotent. Ils prouvent que si N est un groupe de Lie nilpotent connexe agissant
conformément sur (M, g) compacte de signature (p, q), alors il est d’indice de nilpotence au plus
2 min(p, q) + 1. Si la borne est atteinte, alors (M, g) est conforme à un quotient du revêtement
universel de Einp,q par un groupe monogène.
2.3. Groupes conformes lorentziens : Contributions.
Actions conformes de groupes simples de rang 1. L’objet du début de ma thèse a été de
compléter la description de Bader et Nevo en signature lorentzienne. J’obtiens :
Théorème 1. Soit G un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact. Si G agit conformément sur une variété lorentzienne compacte de dimension n > 3, alors il se plonge localement
dans SO(2, n). Autrement dit, il est localement isomorphe à
— SO(1, k), 2 6 k 6 n ;
— SU(1, k), 2 6 k 6 n/2 ;
— SO(2, k), 3 6 k 6 n ;
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— SO(1, k) × SO(1, k 0 ), k, k 0 > 2, k + k 0 6 max(n, 4).
Ce travail a fait l’objet de l’article [Pec15b], qui sera finalement incorporé dans [Pec17]. Il
s’agissait essentiellement de déterminer parmi les groupes de rang 1 ceux qui peuvent agir sur
une variété lorentzienne compacte.
Idées de preuve. À isomorphisme local près, les groupes de rang 1 sont SO(1, k), SU(1, k),
Sp(1, k), k > 2, et le groupe exceptionnel F4−20 . L’approche de [Pec15b] consiste à utiliser le résultat principal de [BFM09] pour construire - en quelque sorte - un plongement de sous-algèbres
nilpotentes bien choisies de g dans so(2, n), ce qui exclut d’office Sp(1, k) et F4−20 . Lorsque
SO(1, k) ou SU(1, k) agissent, je caractérise certaines orbites singulières dans la variété, ce qui
donne une borne sur k. Par exemple, je montre que si G = SO(1, k), k > 4, alors M contient un
point fixe de G, ou une sphère riemannienne Sk−1 ou un fibré en cercles ou en droites au-dessus
de Sk−1 . Dans tous les cas, on déduit n > k.
Comme on le verra plus loin, mes travaux sur les aspects géométriques des dynamiques
conformes ([Pec16a]) impliquent ce résultat. Néanmoins, l’approche de [Pec15b] reste intéressante car elle est directe, et permet d’avoir des résultats analogues dans d’autres signatures,
voire d’autres géométries paraboliques (cf §4), alors qu’un résultat analogue à [Pec16a] semble
encore difficile d’accès dans d’autres signatures.
Décomposition de Levi du groupe conforme. Soit G = Conf(M n , g)0 la composante neutre
du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte de dimension n > 3. Une fois que l’on
sait décrire les groupes semi-simples qui peuvent se plonger dans G, il est naturel de s’intéresser à
la même problématique mais avec des groupes résolubles. En effet, on dispose d’une décomposition
de Levi g ' s n rad(g), où s est une sous-algèbre semi-simple de g et rad(g) son radical résoluble.
Si l’on peut caractériser les actions conformes de groupes résolubles, on peut espérer pouvoir
reconstruire ainsi les algèbres de Lie des groupes conformes.
Actions conformes de groupes nilpotents. Dans ma thèse, je me suis intéressé au cas des
groupes nilpotents. De façon analogue au cas semi-simple, j’ai complété le résultat de [FM10] en
signature lorentzienne pour finalement obtenir ([Pec14] Ch. 7) :
Théorème 2. Soient (M n , g), n > 3, une variété lorentzienne compacte, et N un groupe de Lie
connexe, nilpotent et non abélien. Si N agit fidèlement et conformément sur (M, g), alors il se
plonge localement dans SO(2, n). De plus, si N est essentiel, alors g est conformément plate sur
un ouvert non-vide de M .
Rappelons qu’une métrique g est dite conformément plate si tout point admet un voisinage
V tel que g|V est conforme à une métrique plate sur V . Notamment, tous les exemples du §2.2
sont conformément plats. Par un théorème de Liouville, si g est une algèbre de Lie de champs
de vecteurs conformes sur un ouvert conformément plat, alors g se plonge dans so(p + 1, q + 1).
Idées de preuve. Le résultat de Frances et Melnick caractérise les groupes nilpotents d’indice
(maximal) 3. Il fallait donc s’intéresser à ceux d’indice 2. Pour tout Z ∈ [n, n] \ {0}, je prouve que
N est inessentiel si et seulement si le champ de vecteurs conforme associé à Z ne s’annule pas.
Dans cette situation, par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib, N 'loc Heis(2d + 1) × Rk , que l’on
peut explicitement plonger dans SO(2, n). Dans le cas contraire, en analysant la dynamique de
Z au voisinage de ses singularités et en utilisant des résultats antérieurs, je prouve qu’un ouvert
de M est conformément plat, ce qui fournit le plongement voulu.
Lorsque N est abélien, de dimension au moins 2, j’ai pu récemment vérifier qu’il agit localement
librement sur un ouvert dense de la variété. Ceci implique en particulier dim N 6 dim M . On
vérifie alors que toutes les situations se produisent sur Ein1,n−1 .
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L’existence d’un ouvert conformément plat dans le cas essentiel a des conséquences intéressantes. Soient G = Conf(M, g)0 et N (G) < Rad(G) son nilradical. Supposons N (G) non abélien.
J’ai récemment prouvé que G est essentiel si et seulement si N (G) est essentiel. Autrement dit,
si N (G) fixe une métrique dans la classe conforme, alors il en va de même pour G. Ainsi,
• soit G est inessentiel, et par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib G 'loc S × K × Rk avec
S un groupe de Heisenberg ou un groupe de Heisenberg tordu ;
• soit N (G) est essentiel, et alors G se plonge localement dans SO(2, n).
3. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie
Soit (M n , g), n > 3, une variété lorentzienne compacte. Les résultats précédents suggèrent
que si son groupe conforme est essentiel, alors à isomorphisme local près, il apparaît également
dans le groupe conforme de Ein1,n−1 . Il est alors naturel de se demander si en fait la géométrie
conforme de (M, g) est reliée à celle de Ein1,n−1 .
Le théorème de Ferrand-Obata. L’idée selon laquelle la géométrie d’une variété pseudoriemannienne est prescrite par son groupe conforme est illustrée en signature riemannienne par
un très beau théorème de Ferrand et Obata [Fer71, Fer96, Oba71]. Ce résultat, motivé par une
conjecture de Lichnerowicz, dit qu’une variété riemannienne (M n , g) ayant un groupe conforme
essentiel est conforme à la sphère Sn ou l’espace euclidien En . En signature définie positive,
supposer Conf(M, g) essentiel revient à supposer qu’il agit non proprement sur M . Ce résultat
nous dit donc que certaines dynamiques conformes ont des conséquences sur la géométrie.
Conjecture de Lichnerowicz généralisée. Lorsque la métrique n’est pas définie positive,
la diversité - notamment au niveau topologique - des exemples exhibés par Frances [Fra05]
(voir §2.2) montre qu’il n’est pas raisonnable d’espérer une classification des variétés pseudoriemanniennes dont le groupe conforme est essentiel. Néanmoins, en signature lorentzienne, tous
les exemples essentiels compacts que l’on sait produire sont conformément plats. C’est ce qui
motive la
Conjecture 1. Si une variété lorentzienne compacte (M, g) admet un groupe conforme essentiel,
alors g est conformément plate.
On retrouve cette conjecture dans la littérature sous l’appellation conjecture de Lichnerowicz
généralisée. Citons [Ale85] où Alekseevsky donne notamment des métriques non-conformément
plates sur Rn admettant un flot conforme essentiel (voir également [KR95, KR97, Fra15] dans
d’autres signatures).
Comme expliqué précédemment, j’ai partiellement confirmé cette conjecture lorsque Conf(M, g)0
a un nilradical non abélien car il existe toujours un ouvert conformément plat. En particulier, si
(M, g) est analytique, g est bien conformément plate.
Preuve de la conjecture dans le cas semi-simple. Mon résultat le plus important a été
de démontrer la conjecture précédente dans le cas où la variété admet une action conforme d’un
groupe de Lie semi-simple.
1,n−1
g
Rappelons qu’en rang 2 (maximal possible), la variété doit être un quotient de Ein
.
Ma contribution se situe donc au niveau des actions de groupes de rang 1, et spécialement des
"plus petits", i.e. PSL(2, R) et ses revêtements, c’est à dire lorsque l’hypothèse est la plus faible
possible. On obtient alors beaucoup d’exemples, comme on peut le voir sur les exemples du
§2.2 : tous admettent des actions conformes essentielles de SL(2, R). Ceci laisse peu d’espoir
pour décrire la géométrie globale même lorsqu’un groupe semi-simple agit essentiellement.
Le théorème ci-dessous a d’abord été démontré dans ma thèse dans le cas où (M, g) est
analytique, et a fait l’objet de la publication [Pec15a]. C’est durant ma première année de postdoc
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que j’ai réussi à l’étendre au cas C ∞ ([Pec16a]). Le point clé de la preuve analytique n’était pas
généralisable - comme c’est souvent le cas dans la littérature sur les structures géométriques
rigides - et j’ai fait appel à des techniques de dynamique différentiable dans le cas lisse.
Théorème 3. Soient (M n , g), n > 3, une variété lorentzienne compacte et G un groupe de Lie
semi-simple connexe agissant conformément sur M . Alors,
• soit G est inessentiel, d’où G 'loc SL(2, R) × K, avec K semi-simple compact ;
• soit (M, g) est conformément plate.
Dans le cas où G est inessentiel, la géométrie de la variété est décrite par Gromov dans [Gro88]
§5 : à revêtement et quotient isométriques près, c’est un produit de l’exemple de la section 2.1 avec
une variété riemannienne compacte. Voici quelques idées de preuve dans le cas G = PSL(2, R).
Cas C ∞ : méthodes dynamiques. L’étape essentielle de la preuve consiste à décrire les fermés
minimaux G-invariants K ⊂ M . On prouve qu’il y a trois possibilités :
• K est un point fixe ;
• K est une orbite circulaire de la forme PSL(2, R)/ Aff + (R) ' RP 1 ;
• K est une orbite dégénérée de dimension 2, difféomorphe à un tore.
Ceci montre notamment que K est toujours une G-orbite compacte de dimension < dim G.
L’isotropie de ces orbites contient toujours des éléments hyperboliques, dont la dynamique - que
l’on parvient à expliciter - force la courbure conforme à s’annuler au voisinage de K. Enfin, comme
G.x est un fermé invariant pour tout x ∈ M , il contient un tel K, au voisinage duquel la métrique
est conformément plate, et nous obtenons que toute G-orbite visite un ouvert conformément plat,
ce qui propage la platitude conforme à M .
Dynamiquement, nous avons ainsi un nombre fini de lieux singuliers dans M , qui sont des
orbites de "basse dimension" et que l’on retrouve dans l’adhérence de toute G-orbite. Cette
observation, qui s’oppose notamment aux exemples homogènes inessentiels du §2.2, apparaît
dans d’autres contextes et semble révéler un phénomène général sur la dynamique des groupes
semi-simples sur des géométries paraboliques (voir §4, ainsi que le projet de recherche).
Dans le cas des actions lorentziennes essentielles de PSL(2, R) et ses revêtements, pour caractériser les compacts minimaux, j’ai fait appel à des techniques de dynamiques non-uniformément
hyperboliques (théorie de Pesin) pour démontrer l’existence d’orbites compactes, via l’existence
d’orbites périodiques du flot généré par un groupe à un paramètre hyperbolique de PSL(2, R).
Approche analytique. Lorsque (M, g) est analytique, on peut contourner la difficulté dynamique précédente en utilisant un résultat de la théorie de Gromov sur les A-structures rigides,
qui n’est valide qu’en régularité analytique (voir §5.3). C’est l’approche choisie dans ma thèse
et l’article [Pec15a]. Dans la situation décrite ci-dessus, il m’a permis d’exhiber un flot de transformations conformes locales qui ne provient pas de l’action de G. L’existence de ce flot local
peut être comparée à l’énoncé du théorème du centralisateur de Gromov ([Gro88], voir également
[Fer02], [MZ08]). C’est en considérant la dynamique de ce flot que je suis parvenu à prouver qu’un
ouvert (donc toute la variété par analyticité) est conformément plat.
Corollaire : Facteur de Levi du groupe conforme. Soit G = Conf(M, g)0 . De façon analogue au cas nilpotent, on démontre que s’il existe H < G localement isomorphe à SL(2, R), i.e.
si g/ rad(g) est non-compacte, alors G est essentiel si et seulement si H est essentiel. Dans cette
situation, G est soit inessentiel, et donc localement isomorphe à SL(2, R) × K × Rk , soit essentiel
et se plonge localement dans SO(2, n) (cf Théorème 2).
Finalement, on distingue trois possibilités pour le groupe conforme d’une variété lorentzienne
compacte.
• Soit c’est un groupe de la liste du théorème d’Adams-Stuck-Zeghib ;
• Soit il se plonge localement dans SO(2, n) ;
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• Soit il n’admet aucun facteur de Levi non compact et son nilradical est abélien. Son algèbre
de Lie s’écrit donc k n r, avec k semi-simple compacte et r résoluble avec nilradical abélien.
Les exemples typiques de telles r sont des extensions affines de sous-algèbres abéliennes de
gl(Rk ), comme le groupe affine ou SOL. Parmi ces cas là, je sais démontrer que le groupe conforme
se plonge dans SO(2, n) dans certaines situations, notamment si r contient une copie de SOL.
Complétude de la (G, X)-structure associée. Une métrique conformément plate de signag + 1, q + 1)
ture (p, q) définit naturellement une structure de (G, X)-variété sur M , où G = PO(p
p,q
g
et X = Ein . Soit ρ : π1 (M ) → G le morphisme d’holonomie. Comme cela est fait dans [FZ05],
on peut vérifier que la (G, X)-structure est complète dès que ρ est à valeurs dans un sous-groupe
compact de G. En utilisant ceci et le théorème précédent, il est facile de déduire :
Corollaire 1. Soit (M, g) une variété lorentzienne compacte de dimension au moins 3. Si un
groupe de Lie localement isomorphe à SU(1, k), k > 2, agit conformément sur M , alors (M, g)
1,n−1
1,n−1
g
g
est conforme à Γ \ Ein
, où Γ < Conf(Ein
) est un groupe discret agissant librement
proprement discontinûment.
Ceci étend au rang 1 le Théorème 3 de [FZ05], qui n’est pas valable pour l’autre famille de
groupes de rang 1 qui peut agir (i.e. les SO(1, k)).
4. Généralisations pseudo-riemanniennes
Les résultats déjà existants sur les actions conformes de groupes de Lie semi-simples sur des
structures conformes (voire paraboliques) bornent le rang réel du groupe et caractérisent la
situation en rang maximal. Aussi, on comprend encore mal ce qui se passe quand un groupe de
petit rang agit.
Pour réussir à dire des choses en petit rang, on peut changer de point de vue pour rendre la
situation extrémale en un autre sens. Au lieu de se demander quels groupes peuvent agir sur une
variété donnée, on peut se donner un groupe et se demander sur quelles variétés il agit.
Question 3. Soit G un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact. Pour quelles valeurs
de (p, q) existe-t-il (M, g) compacte de signature (p, q) sur laquelle G agit conformément ?
En particulier, quel est l’indice minimal d’une métrique sur laquelle G peut agir ?
C’est la question que je me suis posée à la base dans les cas de Sp(1, k) et F4−20 puisque je
savais qu’il n’agissent pas en signature lorentzienne. La réponse est donnée par le
Théorème 4 ([Pec17]). Soient (M, g) une variété pseudo-riemannienne compacte de signature
(p, q) et G un groupe de Lie simple de rang 1 agissant conformément sur M .
• Si G = Sp(1, k), k > 2, alors min(p, q) > 3.
• Si G = F4−20 , alors min(p, q) > 9.
On peut vérifier que Sp(1, k) ,→ SO(4, 4k) et que F4−20 ,→ SO(10, 16), prouvant qu’ils agissent
conformément sur Ein3,4k−1 et Ein9,15 respectivement. Ceci assure que les bornes précédentes
sont optimales, et que les groupes agissent pour tous les indices supérieurs.
Si on suit le parallèle avec les travaux en rang maximal, il est logique de se demander si la
géométrie ne serait pas prescrite lorsque l’indice de la métrique est optimal. Par le Théorème 3,
c’est vrai pour SU(1, k) pour qui l’indice optimal est 1. C’est également le cas pour Sp(1, k).
Théorème 5 ([Pec17]). Si Sp(1, k), k > 2, agit conformément sur une variété compacte (M, g)
de signature (3, n), n > 3, alors g est conformément plate.
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La preuve est très naturelle et s’applique rigoureusement identiquement au cas d’une action
conforme de SU(1, k) sur une variété lorentzienne compacte. On montre qu’il existe dans la
variété une unique orbite compacte, conforme à un univers d’Einstein, qui est dans l’adhérence
de toutes les autres orbites et qui admet un voisinage conformément plat.
Dans le cas de SU(1, k), cette orbite est l’espace total du fibré S1 → Ein1,2k−1 → ∂HkC et
dans le cas de Sp(1, k), celui du fibré Sp(1) → Ein3,4k−1 → ∂HkH . On pourra mettre ce fait en
perspective avec un théorème de Nevo et Zimmer, [NZ09], cf projet de recherche.
Conséquences en géométrie CR. Étant donnée M 2n+1 munie d’une structure CR dont la
forme de Levi est de signature (p, q), p+q = n, sous des hypothèses raisonnables, Cap étend dans
[Cap02] la fibration de Fefferman : on lui associe fonctoriellement un fibré en cercles P → M
muni d’une classe conforme [g] de signature (2p + 1, 2q + 1) sur P .
Soit alors G simple de rang 1 agissant par automorphismes CR sur une géométrie CR compacte
vérifiant les hypothèses de Cap. Alors :
(1) Nous retrouvons que si G = Sp(1, k), alors la forme de Levi n’est pas définie positive (mais
ceci découle en fait de résultats antérieurs, [Sch95, Web77])
(2) Nous obtenons que si G = Sp(1, k) et si la forme de Levi est de signature (1, n − 1), alors
la géométrie est plate i.e. localement isomorphe à son modèle (cf §5.1)
(3) Nous obtenons que si G = F4−20 , alors la forme de Levi est de signature (p, q), avec
min(p, q) > 4. (Je ne sais pas si c’est optimal).
5. Orbites des automorphismes locaux des géométries de Cartan
La preuve analytique du Théorème 3 s’appuie fondamentalement sur des propriétés générales
des structures géométriques A-rigides, telles que les définit Gromov dans [Gro88]. Précisément,
j’ai utilisé une formulation récente de cette théorie dans le formalisme des géométries de Cartan,
dûe à Melnick ([Mel11]).
En essayant de comprendre la nature de l’ouvert dense qui apparaît dans le cas lisse (cf §5.3),
je me suis aperçu que la preuve de Melnick, proposée en régularité analytique, s’étendait mal
en C ∞ . J’ai alors travaillé sur une nouvelle démonstration de ce résultat. Ceci m’a également
conduit à m’intéresser à l’homogénéité locale des structures rigides, car le résultat de Gromov
peut être vu comme un raffinement d’un théorème de Singer en géométrie riemannienne ([Sin60]).
Ces travaux ont conduit à la publication [Pec16b].
5.1. Géométries de Cartan. Le concept de géométrie de Cartan a été progressivement introduit par É. Cartan à partir des années 1920, alors que ce dernier formalisait une notion de
connexion conforme. Dans l’approche moderne, une géométrie de Cartan sur une variété différentielle M modélise un espace homogène courbé. Elle se définit donc relativement à un espace
homogène X = G/H, appelé espace modèle de la géométrie.
Cette notion englobe un très large spectre de structures géométriques : parmi les plus célèbres
exemples, nous pouvons citer les métriques pseudo-riemanniennes, les connexions affines, les
structures conformes de dimension au moins 3, les structures CR Lévi non-dégénérées ou encore
les classes projectives de connexions affines.
Quel que soit X, on dispose d’une bonne notion de courbure et de dérivation covariante. Le
premier résultat que j’ai obtenu caractérise les géométries de Cartan localement homogènes à
l’aide de la courbure et d’un nombre fini de ses dérivées covariantes, généralisant un théorème
de Singer en géométrie riemannienne ([Sin60]).
RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS
9
5.2. Homogénéité locale des géométries de Cartan. Fixons (M, C) une géométrie de Cartan d’espace modèle G/H. Nous dirons que (M, C) est localement homogène si pour tous points
x, y ∈ M , il existe un automorphisme local f ∈ Autloc (M, C) tel que f (x) = y. Plus généralement,
on appelle Autloc -orbites les classes d’équivalence de points de M pour la relation « il existe un
automorphisme local envoyant x sur y ».
Pour tout r > 1, la courbure et ses r premières dérivées covariantes permettent de définir une
application continue
ψr : M → Er ,
où Er est un espace topologique a priori non séparé. Ces applications ψr sont en fait des invariants, au sens où pour tout automorphisme local f , nous avons ψr ◦ f = ψr là où f est défini.
Ainsi, si (M, C) est localement homogène, tous les ψr doivent être constants sur M . Le théorème
de Singer et la généralisation que je lui ai donnée assurent la réciproque, et montrent en plus
qu’il suffit de s’arrêter à un ordre qui ne dépend que du modèle de la géométrie.
Théorème 6 ([Pec16b], [Sin60]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan de X = G/H. Alors
(M, C) est localement homogène si et seulement si l’application ψdim H est constante.
Singer donnait une condition équivalente à celle énoncée ci-dessus faisant intervenir le tenseur
de courbure R d’une variété riemannienne (M n , g) et ses dérivées covariantes ∇r R, jusqu’à l’ordre
n(n − 1)/2. Si nous considérons maintenant une variété affine (M n , ∇), avec ∇ sans torsion, le
théorème précédent assure qu’avec les mêmes hypothèses, mais allant cette fois jusqu’à l’ordre
n2 , la connexion ∇ est localement homogène (le modèle étant l’espace affine Aff(Rn )/ GL(Rn )).
En application du Théorème 6, on peut retrouver un célèbre résultat de Gromov, originellement
énoncé pour les structures géométriques A-rigides.
Théorème (Théorème de l’orbite dense, [Gro88], [Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan
modelée sur un espace homogène X = G/H tel que le groupe Adg (H) < GL(g) est algébrique. S’il
existe une Autloc -orbite qui est dense, alors un ouvert dense de (M, C) est localement homogène.
On peut penser par exemple au cas où un groupe discret d’automorphismes admet une orbite
dense. La compréhension de cet ouvert dense un peu mystérieux fait partie de l’objet de recherches actuelles (voir notamment [DG13], [DM15]). Même en régularité analytique et en basse
dimension, sa description nécessite un travail élaboré.
5.3. Allure générale des Autloc -orbites. Une géométrie de Cartan est localement homogène
lorsqu’elle n’admet qu’une seule Autloc -orbite. Aussi, le Théorème 6 suggère qu’en toute généralité, les niveaux {ψr = constante} pourraient coïncider avec les Autloc -orbites de la géométrie.
Ceci se produit à l’échelle locale, lorsque l’on se restreint à un ouvert dense de la variété, appelé
ouvert d’intégrabilité. On rejoint alors des résultats de K. Nomizu en géométrie riemannienne
([Nom60]).
Théorème 7 ([Mel11],[Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan d’espace modèle X =
G/H. Il existe un ouvert dense Ω ⊂ M à l’intérieur duquel les niveaux {ψdim G = constante}
coïncident localement avec les Autloc -orbites.
Lorsque (M, C) est compacte et analytique, il existe r = r(M, C) > 0 tel que, partout, les
niveaux {ψr = constante} coïncident localement avec les Autloc -orbites.
La version analytique est formulée et prouvée par Melnick ([Mel11]), et se déduit à peu de
frais de mon approche (je le détaille dans ma thèse §4.4).
C’est ce résultat qui est utilisé dans la preuve analytique du Théorème 3, cf §3. Ce qui rend
cette dernière difficile à étendre en C ∞ est que l’on a besoin d’utiliser le résultat précédent dans
RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS
10
le compact K, qui a de bonnes raisons d’être d’intérieur vide, et pourrait ainsi se situer dans
M \ Ω si on retire l’analyticité.
Enfin, en corollaire du Théorème 7, on retrouve un autre résultat de Gromov décrivant l’agencement des Autloc -orbites sur un ouvert dense.
Théorème 8 ([Gro88], [Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan, d’espace modèle X =
G/H telle que le groupe Adg (H) < GL(g) est algébrique. Alors, il existe un ouvert dense Ω ⊂ M ,
qui se décompose en une union finie
Ω = Ω1 ∪ · · · ∪ Ωk ,
loc
où chaque Ωi est un ouvert Aut -invariant dans lequel toutes les Autloc -orbites sont des sousvariétés fermées ayant toutes même dimension.
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