Angles orientés et trigonométrie I. Une nouvelle unité de mesure des angles : Le radian (rad) 1. Pourquoi une nouvelle unité d’angle ? Problème de la mesure des arcs de cercle il est clair que la longueur de l’arc AB dépend à la fois du rayon r du ̂ cercle et de l’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 . Pour un cercle de rayon r donné , il y a proportionnalité entre la longueur de l’arc et la mesure de l’angle au centre . Angle Arc ( en degré) (unité du rayon) 360 2𝜋 𝑟 AB = 2𝜋 𝑟 𝛼 D’où la relation 360 𝛼 avec 𝛼 en degré Dans cette relation la quantité 2𝜋 𝛼 360 2𝜋 ne dépend que de l’angle au centre ( 360 n’est qu’un coefficient numérique de proportionnalité) On choisit donc de nommer cette quantité 𝜃 ( lire « thêta » , t minuscule en grec) et de dire que c’est la mesure de l’angle au centre mesuré en radian (rad) On a donc la nouvelle relation : AB = 𝒓 𝜽 avec 𝜽 en radian Par le même raisonnement , pour l’aire 𝒜 du secteur circulaire , on obtient : 𝓐= 𝟏 𝟐 𝜽 𝒓² avec 𝜽 en radian Dans la suite , on prendra le cas encore plus simple où le rayon du cercle devient l’unité de mesure des longueurs , on aura donc r = 1 et donc une relation directe entre l’angle au centre en radian et l’arc : AB = 𝜽 avec 𝜽 en radian 2. Valeurs usuelles à connaître : Il y a ,bien sur , proportionnalité entre la mesure en degré et la mesure en radian d’un angle , 2𝜋 360 est le coefficient de proportionnalité permettant de passer du premier au second . On a donc naturellement le tableau suivant (à compléter ): Angle ( en degré) 360 180 90 60 30 45 120 150 135 fabrication d’un rapporteur gradué en radian Angle ( en radian) 2𝜋 Correspondances à savoir par cœur 1 Une valeur approchée au degré prés de 1 radian est : 1 rad = …………° 1 II. Angle orienté de vecteurs 1. Orientation du plan On définit une orientation du plan ( on parle alors de plan orienté ) : Le sens positif ou sens trigonométrique direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre . Le sens négatif ou sens anti-trigonométrique est donc celui des aiguilles d’une montre . 2. Cercle trigonométrique : C’est le cercle de rayon 1 dans le plan orienté + Le repère (O ;𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) est alors un repère orthonormé direct car l’angle orienté 𝜋 entre les vecteurs 𝑖⃗ et 𝑗⃗ est de + 2 3. angle orienté de 2 vecteurs : a. Une idée de l’angle orienté de 2 vecteurs Etant donnés 2 vecteurs non-nuls 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ ,on définit les points A et B tels ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗ puis les points A’ et B’ intersections des que 𝑂𝐴 ⃗⃗ et 𝑂𝐵 demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique . Une mesure de l’angle orienté entre les vecteurs 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ est donnée par la ̂ mesure de l’angle orienté 𝐴’𝑂𝐵’ Dans la pratique on confond l’angle et sa mesure et on les note de la même manière L’angle orienté entre les vecteurs 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ est noté (𝑢 ⃗̂ ⃗ ; 𝑣⃗) mais ,par commodité , on le note traditionnellement (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) Par rotation de la figure on peut amener le point A sur l’axe des abscisses et donc le point A’ en I , le point B’ se retrouve en M et une mesure 𝛼 de (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) s’obtient donc sur le cercle trigonométrique . ̂ pour le mesurer . En fait , cela revient à poser un rapporteur sur l’angle 𝐴’𝑂𝐵’ b. Mesures de l’angle orienté de 2 vecteurs Sur le cercle trigo placer les points définis dans le tableau ci dessous : Points P A B C D E F G H K L ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (𝑖⃗ ;𝑂𝑃 𝜋 3 𝜋 − 6 𝜋 5 3 𝜋 13 3 𝜋 −17 3 𝜋 22 12 𝜋 −15 4 𝜋 −19 3 𝜋 33 4 𝜋 34 6 (calculs au verso SVP) 2 propriété Il existe donc une infinité de mesure d’un angle orienté de 2 vecteurs , elles ne diffèrent entre elles que d’un nombre entier de tours complets , dans un sens ou dans l’autre . Mathématiquement : si 𝛼 est une mesure de (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) alors 𝛼 + 2𝑘 𝜋 pour 𝑘 ∈ ℤ en est une autre On note : (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝛼 + 2𝑘 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ ) ou (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) ≡ 𝛼 [2𝜋] ( se lit « (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) congru à 𝛼 modulo 2𝜋 » ) Mesure principale Parmi toutes les mesures d’un angle orienté , il n’en existe qu’une seule dans ]−𝜋; 𝜋], on l’appelle mesure principale de l’angle orienté . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) correspond au « déplacement minimum » pour aller du La mesure principale de (𝑖⃗ ;𝑂𝑀 point I au point M ( dans le sens direct ou indirect ). La valeur absolue de cette mesure principale donne la longueur de l’arc géométrique IM ̂ Ainsi que la mesure de l’angle géométrique 𝐼𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝛼 alors 𝐼𝑂𝑀 ̂ = |𝛼| Si la mesure principale de (𝑖⃗ ;𝑂𝑀 et IM = |𝛼| Exercice Donner les mesures principales des angles suivants : 7𝜋 3 −9𝜋 6 −8𝜋 3 17𝜋 6 −35𝜋 4 5𝜋 13𝜋 3 23𝜋 6 3𝜋 + 6 − 2 4. Propriétés des angles orientés de vecteurs . a. Angle orienté de 2 vecteurs non-nuls colinéaires : Si 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de même sens , alors : (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 0 + 2𝑘 𝜋 Si 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de sens opposés , alors : (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝜋 + 2𝑘 𝜋 Les réciproques sont également vraies . De manière générale , on a donc : 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires si et seulement si (𝑢 ⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝒌 𝝅 3 b. Relation de Chasles Si une mesure de (𝑢 ⃗⃗ ;𝑣⃗) est 𝛼 et si une mesure de (𝑣⃗ ;𝑤 ⃗⃗⃗) est 𝛽 alors une mesure de (𝑢 ⃗⃗ ;𝑤 ⃗⃗⃗) est 𝛼 + 𝛽 On note souvent (𝑢 ⃗⃗ ;𝑣⃗) + (𝑣⃗ ;𝑤 ⃗⃗⃗) = (𝑢 ⃗⃗ ;𝑤 ⃗⃗⃗) Conséquences Dans notre figure du début ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝑂𝐵′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑖⃗ ;𝑂𝐵′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) − (𝑖⃗ ;𝑂𝐴′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (𝑢 ⃗⃗ ;𝑣⃗) = (𝑂𝐴′ 𝑢 ⃗⃗ et on a 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , tels que une mesure de (𝑢 ⃗⃗ ;𝑣⃗) soit 𝛼 . ⃗⃗ ;𝒖 ⃗⃗) est −𝜶 Une mesure de (𝒗 ⃗⃗ ;−𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝜶 + 𝝅 Une mesure de (𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) est 𝜶 + 𝝅 Une mesure de (−𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;−𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝜶 Une mesure de (−𝒖 on note on note on note on note ⃗⃗ ;𝒖 ⃗⃗) = − (𝒖 ⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) (𝒗 ⃗⃗ ;−𝒗 ⃗⃗) = (𝒖 ⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) + 𝝅 (𝒖 ⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) = (𝒖 ⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) + 𝝅 (−𝒖 ⃗⃗ ;−𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝒖 ⃗⃗ ;𝒗 ⃗⃗) (−𝒖 Attention ! Dans les résultats précédents si 𝛼 est une mesure principale −𝛼 et 𝛼 + 𝜋 n’en sont plus !! Démonstrations ( avec Chasles ) 4 III. Trigonométrie 1. Définitions Etant donné un point M sur le cercle trigonométrique tel que une mesure de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) soit 𝛼 On appelle respectivement cos(𝛼) et sin(𝛼) les abscisse et (𝑖⃗ ;𝑂𝑀 ordonnée du point M dans le repère orthonormé direct (O ;𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) . Donc si M(x ;y) on a { 𝑥 = cos(𝛼) 𝑦 = sin(𝛼) (𝛼) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 (cos ) dans la base orthonormée directe (𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) . sin(𝛼) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = cos(𝛼) 𝑖⃗ + sin(𝛼) ⃗⃗𝑗 C’est-à-dire 2. Valeurs usuelles des lignes trigonométriques à connaître 𝛼 0 cos(𝛼) 1 sin(𝛼) 0 𝜋 6 √3 2 1 2 𝜋 4 √2 2 √2 2 𝜋 3 1 2 √3 2 𝜋 2 0 1 Compléter le tableau suivant après avoir placer les angles sur le cercle trigo: 𝜋 𝜋 𝜋 4𝜋 3𝜋 4𝜋 5𝜋 −𝜋 − − − 𝛼 − − − 2 3 4 4 3 3 6 cos(𝛼) sin(𝛼) 3𝜋 4 5𝜋 6 𝜋 3. Premières propriétés a. Encadrement ∀ 𝛼 ∈ IR −1 ≤ cos(𝛼) ≤ 1 et −1 ≤ sin(𝛼) ≤ 1 b. Propriété du rayon cos²(𝛼) + sin²(𝛼) = ….. c. Périodicité cos(𝛼 + 2𝑘 𝜋) = cos(𝛼) et sin(𝛼 + 2𝑘 𝜋) = sin(𝛼) On dit que les fonctions cos et sin sont des fonctions périodiques de période 2𝝅 d. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses cos(−𝛼) = ………… et sin(−𝛼) = …………. e. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées cos(𝜋 − 𝛼) = ………… et sin(𝜋 − 𝛼) = …………. 5 f. Symétrie par rapport à l’origine du repère cos(𝛼 + 𝜋) = ………… et sin(𝛼 + 𝜋) = …………. g. Symétrie par rapport à la première bissectrice du repère . …………………=…………………………. et …………………= ………………………….. h. rotation d’un quart de tour ……………………..= …………………………….. et ………………………..= ……………………………. 4. Equations trigonométriques simples a. Equations du type cos(x) = cos(a) On utilise la propriété suivante 𝑥 = 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋 cos(x) = cos(a) ⇔ { 𝑥 = −𝑎 + 𝑘 × 2𝜋 Exemple 1. √3 ⇔ cos(x) 2 5𝜋 𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋 6 { 5𝜋 𝑥 = − 6 + 𝑘 × 2𝜋 cos(x) = – ⇔ 5𝜋 = cos( 6 ) 5𝜋 car cos( 6 ) = – √3 2 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR: Tous les nombres de la forme 5𝜋 6 + 𝑘 × 2𝜋 ou de la forme − Dans ]–π ; π ] l’équation n’a que 2 solutions : 5π 6 5𝜋 6 et – + 𝑘 × 2𝜋 5π 6 ( k∈ ℤ) . Exemple 2 𝜋 𝜋 √2 ⇔ cos(2x) = cos( 4 ) car cos (4 2 𝜋 𝜋 𝑥 = 8+𝑘×𝜋 2𝑥 = 4 + 𝑘 × 2𝜋 ⇔ { { 𝜋 𝜋 2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋 𝑥 = −8 +𝑘 ×𝜋 cos(2x) = + ⇔ )= √2 2 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR: 𝜋 𝜋 Tous les nombres de la forme 8 + 𝑘 × 𝜋 ou de la forme − 8 + 𝑘 × 𝜋 ( k∈ ℤ) Quelles sont les solutions dans ]–π ; π ] ? les représenter sur le cercle trigonométrique . 6 b. Equations du type sin(x) = sin(a) On utilise la propriété suivante 𝑥 = 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋 sin(x) = sin(a) ⇔ { 𝑥 = 𝜋 − 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋 Exemple 1. sin(x) = √3 2 𝜋 𝜋 ⇔ sin(x) = sin(3 ) 𝜋 3 𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋 ⇔ { 𝜋 𝑥 = 𝜋 − 3 + 𝑘 × 2𝜋 car sin(3 ) = 𝜋 3 2𝜋 3 √3 2 𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋 ⇔ { 𝑥= + 𝑘 × 2𝜋 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR: 𝜋 3 Tous les nombres de la forme + 𝑘 × 2𝜋 ou de la forme Dans ]–π ; π ] l’équation n’a que 2 solutions : π 3 2𝜋 3 + 𝑘 × 2𝜋 et 2π 3 ( k∈ ℤ) . Exemple 2 sin(2x) = – √2 2 ⇔ sin (2x) = sin(− 𝜋 𝜋 4 ) 𝜋 car sin (− 4 ) = – 𝜋 𝜋 𝑥 = −8 +𝑘×𝜋 2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋 2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋 √2 2 ⇔ { ⇔ { ⇔ { 𝜋 5𝜋 5𝜋 2𝑥 = 𝜋 − (− 4 ) + 𝑘 × 2𝜋 2𝑥 = 4 + 𝑘 × 2𝜋 𝑥 = 8 +𝑘×𝜋 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR: 𝜋 Tous les nombres de la forme − 8 + 𝑘 × 𝜋 ou de la forme 5𝜋 8 +𝑘×𝜋 ( k∈ ℤ) Quelles sont les solutions dans ]–π ; π ] ? les représenter sur le cercle trigonométrique . 7