Chapitre 2 : Régulateur Tout-OuRien 1. Introduction Un régulateur «Tout-Ou-Rien» est un régulateur qui élabore une action de commande discontinue qui prend deux positions ou deux états 0 et 1 (ou 0 et 100%). On trouve par exemple des capteurs de type TOR (tout ou rien) dans l'industrie pour la détection de présence d'objets, ces capteurs ne renverront que deux niveaux logiques : 0 = absence d'objet 1= présence d'objet Exemples de régulateurs TOR : Un interrupteur électrique, un thermostat constituent des dispositifs tout ou rien. 2.Propriétés du régulateur TOR Les systèmes qui sont à fonctionnement tout ou rien, sont caractérisés par une sortie ne pouvant prendre que deux (parfois trois) valeurs distinctes. La valeur de la sortie est en générale déterminée par l’intervalle dans lequel se trouve la valeur d’entrée. C’est une régulation discontinue, sa réalisation impose de se fixer une limite inférieure et une limite supérieure de la grandeur réglée. Elle est utilisée quand la dynamique du procédé est très lente (grande constante du temps). Les régulateurs tout ou rien sont utilisés pour la commande des systèmes ayant une grande inertie où la précision de régulation n’est pas importante. A titre d’exemple la régulation d’un four à l’aide d’une résistance chauffante. Les régulateurs tout ou rien classiques sont par exemple les thermostats et les soupapes (clapets) de sécurité qu’on utilise dans les systèmes de sécurité. Dans ce qui suit, on note u(t) et y(t), respectivement, l’entrée et la sortie du TOR. 3.Régulateur TOR idéal Le régulateur TOR idéal possède deux valeurs de la sortie : +M et –M, et son fonctionnement est décrit comme suit : Si l’entrée appliquée au TOR est négative, la sortie est –M Si l’entrée appliquée au TOR est positive, la sortie est +M Remarque 1: Le cas où l’entrée est nulle (u(t) = 0) peut être ajouté à l’une des conditions u(t) < 0 ou u(t) > 0. y(t) M La commutation –M +M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 ≥ 0 La commutation +M -M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 < 0 u(t) M 𝑦 𝑡 = −𝑀 +𝑀 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 < 0 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 ≥ 0 Figure 2.1 Régulateur TOR idéal Exemple1 : On prend comme exemple un signal sinusoïdal dont l’expression est donnée par : 𝑢 𝑡 = 2sin (𝑤𝑡). On choisit M = 1 2 Entrée du TOR Sortie du TOR 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure 2.2 Exemple de régulateur TOR idéal 4.Régulateur TOR asymétrique Le régulateur TOR asymétrique possède deux valeurs de la sortie : +M et –M et son fonctionnement est décrit comme suit : Si l’entrée appliquée au TOR est inférieure à une certaine valeur eseuil, la sortie est –M Si l’entrée appliquée au TOR est supérieure à la valeur eseuil, la sortie est +M Remarque 2: Le cas où u(t) = eseuil peut être ajouté à l’une des conditions u(t) < eseuil ou u(t) > eseuil y(t) La commutation –M +M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 ≥ 𝑒𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 +M 0 eseuil -M Figure 2.3 Régulateur TOR asymétrique La commutation +M -M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 < 𝑒𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 u(t) 𝑦 𝑡 = −𝑀 +𝑀 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 < 𝑒𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 ≥ 𝑒𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 Exemple 2 : On reprend le même exemple du signal sinusoïdal, on choisit M = 1 et eseuil = 0.5 2 Entrée du TOR Sortie du TOR 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure 2.4 Exemple de régulateur TOR asymétrique 5.Régulateur TOR avec seuil Le régulateur TOR avec seuil possède trois valeurs de la sortie :0, +M et –M et son fonctionnement est décrit comme suit : Si l’entrée appliquée au TOR est inférieure à une certaine valeur -useuil, la sortie est –M Si l’entrée appliquée au TOR est entre les valeurs -useuil et useuil, la sortie est 0 Si l’entrée appliquée au TOR est supérieure à la valeur useuil, la sortie est +M Remarque 3: Le cas où u(t) = -𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 peut être ajouté à l’une des conditions u(t) < -useuil ou u(t) > -useuil Le cas où u(t) = 𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 peut être ajouté à l’une des conditions u(t) < useuil ou u(t) > useuil y(t) La commutation –M 0 s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 > −𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 +M -useuil La commutation 0 +M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 > 𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 useuil 0 -M Figure 2.5 Régulateur TOR avec seuil u(t) La commutation +M 0 s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 ≤ 𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 La commutation 0 -M s’effectue lorsque 𝑢 𝑡 ≤ −𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 −𝑀 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 < −𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝑠𝑖 − 𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑢𝑠𝑒𝑢 𝑖𝑙 𝑦 𝑡 = 0 +𝑀 𝑠𝑖 𝑢 𝑡 > 𝑢𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 Exemple 3 : On reprend le même exemple du signal sinusoïdal, on choisit M = 1.5 et useuil = 1 2 Entrée du TOR Sortie du TOR 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure 2.6 Exemple de régulateur TOR avec seuil 6.Régulateur TOR avec hystérésis L’hystérésis est le phénomène qui caractérise les systèmes qui possèdent deux caractéristiques distinctes en fonction du sens de variation du signal d’entrée : lorsque le signal croît, le point de fonctionnement du système se déplace sur une de ces courbes. Lorsqu’il décroît, il se déplace sur l’autre. Le régulateur TOR avec hystérésis possède deux valeurs de la sortie : +M et –M et son fonctionnement est décrit comme suit : ℎ Si la sortie du TOR est à +M il y aura une commutation vers –M lorsque l’entrée atteint la valeur − 2 Si la sortie du TOR est à -M il y aura une commutation vers +M lorsque l’entrée atteint la valeur ℎ 2 y(t) M La commutation –M +M s’effectue ℎ − ℎ 2 ℎ 2 M l’entrée atteint la valeur − 2 u(t) La commutation +M -M s’effectue l’entrée atteint la valeur ℎ 2 Figure 2.7 Régulateur TOR avec hystérésis Exemple 4 : On reprend le même exemple du signal sinusoïdal, on choisit M = 1, h = 3 et on initialise la sortie à -M 2 Entrée du TOR Sortie du TOR 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure 2.8 Exemple de régulateur TOR avec hystérésis On initialise la sortie du TOR à –M ℎ La sortie reste à-M tant que 𝑢 𝑡 < 2 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient +M. ℎ La sortie reste à +M tant que 𝑢 𝑡 > − 2 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient –M et ainsi de suite. 7.Régulateur TOR avec hystérésis asymétrique Le régulateur TOR avec hystérésis possède deux valeurs de la sortie : +M et –M et son fonctionnement est décrit comme suit : Si la sortie du TOR est à +M il y aura une commutation vers –M lorsque l’entrée atteint la valeur − ℎ 2 ℎ Si la sortie du TOR est à -M il y aura une commutation vers +M lorsque l’entrée atteint la valeur 2 y(t) M La commutation –M +M s’effectue l’entrée atteint la valeur ∆ ∆ ∆−ℎ u(t) La commutation +M -M s’effectue l’entrée atteint la valeur ∆ − ℎ M Figure 2.9 Régulateur TOR avec hystérésis asymétrique Exemple 5 : On reprend le même exemple du signal sinusoïdal, on choisit M=1, h=1, ∆= 1.5 et on initialise la sortie du TOR à 0 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure 2.10 Exemple de régulateur TOR avec hystérésis asymétrique La sortie démarre à –M et reste à cette valeur tant que 𝑢 𝑡 < ∆, une fois cette valeur est atteinte la sortie du TOR devient +M. La sortie reste à +M tant que 𝑢 𝑡 > ∆ − ℎ , une fois cette valeur est atteinte la sortie du TOR devient -M et ainsi de suite. 8.Régulateur TOR avec seuil et hystérésis Le régulateur TOR avec hystérésis possède trois valeurs de la sortie : 0, +M et –M et son fonctionnement est décrit comme suit : Si la sortie du TOR est à -M il y aura une commutation vers 0 lorsque l’entrée atteint la valeur −𝜆2 Si la sortie du TOR est à 0 il y aura une commutation vers -M lorsque l’entrée atteint la valeur −𝜆1 Si la sortie du TOR est à 0 il y aura une commutation vers +M lorsque l’entrée atteint la valeur 𝜆1 Si la sortie du TOR est à +M il y aura une commutation vers 0 lorsque l’entrée atteint la valeur 𝜆2 y(t) La commutation -M 0 s’effectue lorsque M −𝜆1 l’entrée atteint la valeur −2 La commutation 0 -M s’effectue lorsque −𝜆2 𝜆2 M Figure 2.11 Régulateur TOR avec hystérésis asymétrique 𝜆1 u(t) l’entrée atteint la valeur −1 La commutation 0 +M s’effectue lorsque l’entrée atteint la valeur 1 La commutation +M 0 s’effectue lorsque l’entrée atteint la valeur 2 Exemple 6 : On reprend le même exemple du signal sinusoïdal, on choisit M = 1, λ1 = 1.5, λ2 = 0.5 et on initialise la sortie du TOR à 0 2 Entrée du TOR Sortie du TOR 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Figure 2.12 Exemple de régulateur TOR avec seuil et hystérésis La sortie du TOR démarre à 0 et reste à cette valeur tant que 𝑢 𝑡 < 1 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient +M. La sortie reste à +M tant que 𝑢 𝑡 > 2 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient 0 La sortie reste à 0 tant que 𝑢 𝑡 > −1 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient -M. La sortie reste à -M tant que 𝑢 𝑡 < −2 , une fois cette valeur atteinte la sortie du TOR devient 0 et ainsi de suite. 20
