Arithmétique partie-2 avec-correction

ISTAMA
– Rédigé pour le CIP –
Université Paris–Saclay
Arithmétique (Corrigé)
Table des matières
I
Notions de base et motivations
2
II Divisibilité
II.A Points de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
III Division euclidienne
III.A Points de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
IV Congruence
IV.A Points de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
V Nombres premiers
14
V.A Points de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V.B Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
VI PGCD
18
VI.A Points de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
VI.B Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Semestre 2 / 2023-2024
1
G.Moreau
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I
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Notions de base et motivations
Historiquement, l’arithmétique trouve son origine en Phénicie 1 (∼ −1000 avant J.-C.) puis se
développe dans l’école pythagoricienne (∼ −500 avant J.-C.).
L’arithmétique est la branche des Mathématiques consacrée aux nombres entiers naturels (ensemble N), entiers relatifs (Z) 2 , nombres rationnels (Q) 3 , nombres algébriques (A) et nombres réels 4
(R), ainsi qu’à leurs propriétés – en lien avec les opérations élémentaires. Tous ces ensembles de
nombres, écrits à partir des chiffres (0,1,2,...,9), se classent de manière inclusive : voir Figure 1.
Figure 1 – Catégories des nombres réels (nombres algébriques réels représentés).
• Commençons par les nombres entiers. Les entiers naturels (comme 1,3,12,104,...) permettent
le comptage d’éléments considérés alors comme des unités équivalentes. On note par exemple N∗
l’ensemble des entiers naturels n’incluant pas 0.
• Les entiers relatifs sont obtenus en affectant un signe, + ou −, aux entiers naturels. L’opposé
−x du nombre x est défini par la propriété que leur somme s’annule. L’introduction des signes a
plusieurs motivations comme la résolution d’équations (ex : a + 4 = 0 de solution a = −4) ou encore
le repérage sur un axe gradué (voir Figure 2). Comme exemples d’application, le signe négatif peut
être utilisé pour une température (voir Figure 3) ou une date, telle que −1000 avant J.-C. Noter les
règles de multiplication :
+×+≡+
+×−≡−
−×−≡+
1. Actuel Liban.
2. De l’allemand ‘Zahlen’, signifiant “nombres”.
3. De l’italien ‘Quoziente’, signifiant “quotient”.
4. N’incluant pas les nombres imaginaires dont le carré peut être négatif.
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Figure 2 – Axe gradué orienté.
Figure 3 – Thermomètre.
Par exemple, 2×(−3) = −6. Les nombres entiers négatifs (positifs) sont : −1, −2, −3, ... (+1, +2, +3, ...)
Le nombre 0 est, lui seul, simultanément négatif et positif. Les nombres négatifs apparaissent en Inde
vers 500 et sont associés à des dettes (les positifs à des recettes).
• Les nombres rationnels peuvent s’exprimer comme une fraction p/q impliquant deux entiers
relatifs p et q. Le développement décimal d’un nombre rationnel est fini, tel 1/4 = 0, 25 , ou bien
périodique, comme par exemple,
18
= 1, |{z}
63 |{z}
63 |{z}
63 |{z}
63 |{z}
63 . . .
11
Noter la terminologie dans l’exemple suivant,
8
= 1, 6 =
5
1
|{z}
,
partie entière
6
|{z}
partie fractionnaire
Les nombres rationnels ayant un nombre fini de chiffres après la virgule définissent l’ensemble des
nombres décimaux, noté D, qui inclut les nombres entiers relatifs :
Z⊂D⊂Q
Par exemple, 3 = 3, 0 = 3/1, est un nombre entier, décimal et également rationnel. Les nombres
rationnels servent par exemple aux mesures précises de vitesses, de temps, de masse, etc ou encore
à des tarifications. Remarquons que le développement décimal infini ne constitue pas toujours la
représentation appropriée pour un nombre ; par exemple la simple équation
10 x = 9 + x
dont la solution doit être unique, est en fait vérifiée par x = 1, 000... (valeur résultant de la résolution
directe) mais aussi par x = 0, 999... ! Cette subtilité – liée à la présence d’un infini – peut être traitée
en ayant recours à une limite.
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• Les nombres algébriques sont solutions d’une équation polynomiale aux coefficients rationnels.
Par exemple,
1 × y 3 − |{z}
5 =0
|{z}
rationnel
1/3
√
3
rationnel
a pour solution le nombre algébrique y = 5 = 5.
• Les nombres réels peuvent tout aussi bien ne pas être racine d’un polynôme à coefficients
rationnels : il s’agira alors de nombres dits ‘transcendants’. Nom donné par G.W.Leibniz qui croyait
en leur existence, démontrée au milieu du XIXème siècle par J.Liouville. Des exemples de nombres
transcendants sont : π = 3, 14159... ; e = 2, 71828... [défini par ln(e) = 1] ou encore,
sin(1[radian]) ≃ 0, 841470.
Cryptographie : Actuellement, l’arithmétique connaı̂t un essor important dû notamment au domaine
de la cryptographie (typiquement l’étude de la protection d’informations par codes secrets), et en
particulier à son utilisation algorithmique en informatique. Nous y reviendrons.
II
Divisibilité
II.A
Points de cours
Définition de la divisibilité : Soient x et y sont deux entiers relatifs non nuls. y divise x si et
seulement si (équivalence) il existe un entier relatif a tel que x = a y (ou x/y = a).
Terminologie : y est un diviseur de x, et, x est un multiple de y.
x = y ×a
|{z}
|{z}
multiple
diviseur
Notation : y divise x se note parfois y|x.
Propriété n’1 (transitivité) : Soient n, m et p trois entiers relatifs non nuls. Si n divise m et
m divise p, alors n divise p.
Propriété n’2 : Soient n, m et p trois entiers relatifs non nuls. Si n divise m et n divise p, alors
n divise a m + b p, pour tout couple a, b d’entiers relatifs.
II.B
Exercices
1. Donner tous les diviseurs de l’entier 36.
Solution : Il s’agit de l’ensemble suivant,
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, −1, −2, −3, −4, −6, −9, −12, −18, −36}.
2. Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs positifs, autres que
lui-même. Montrer que 6 en est un, contrairement à 9.
Solution : 1 + 2 + 3 = 6 mais 1 + 3 = 4 6= 9.
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4
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3. Existe-t-il un nombre multiple de 15 et en même temps diviseur de 100 ?
Solution : A = 15 K (avec K ∈ Z) et 100 = A P (P ∈ Z) conduisent à 100/P = 15 K, soit
100/15 = K P ce qui est faut car 100/15 ∈
/ Z, donc c’est impossible ce qui signifie qu’un tel
nombre A n’existe pas.
4. Démontrer la Propriété n’1.
Solution :
m
p
p
=
×
≡ entier relatif.
n
n
m
5. Démontrer la Propriété n’2.
Solution :
am + bp
m
p
=a
+ b ≡ entier relatif, pour tout couple a, b d’entiers relatifs.
n
n
n
6. Le produit de deux entiers naturels consécutifs est-il toujours divisible par 2 ?
Solution : Soit le premier entier est pair (ici n ∈ N) :
2n(2n + 1) = 2(2n2 + n) ,
soit il est impair :
(2n + 1)(2n + 2) = 2(2n + 1)(n + 1) ,
mais dans les deux cas le produit est explicitement divisible par 2.
7. Soit un polynôme Pn de degré n ≥ 1 dont les coefficients ck sont des entiers relatifs (non tous
nuls).
(a) Soit R ∈ Z∗ une racine de Pn . Montrer que R divise le coefficient constant (pris non nul)
de Pn nommé c0 .
(b) En déduire une solution de l’équation suivante, x3 − 2x2 − 4x + 3 = 0.
Solution :
P
(a) Pn s’écrit donc Pn (x) = nk=0 ck xk où ck ∈ Z et c0 6= 0. R étant racine, Pn (R) = 0, soit,
!
n
n
n
X
X
X
ck R k = 0 ⇔
ck Rk = −c0 ⇔ −R
ck Rk−1 = c0 ,
k=0
k=1
k=1
soit c0 = Q × R avec Q ∈ Z∗ : R divise c0 .
(b) S’il existe une racine entière du polynôme P3 (x) = x3 − 2x2 − 4x + 3, alors elle divise 3. Il
pourrait donc s’agir de 3, 1, −1, −3. Or
P3 (3) = 0 , P3 (1) = −2 , P3 (−1) = 4 , P3 (−3) = 30 .
Donc x0 = 3 est bien une solution de l’équation considérée (la seule solution entière).
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8. On souhaite résoudre l’équation diophantienne
1 1
1
+ =
a b
p
dans Z × Z, p étant un nombre premier. Les travaux du mathématicien grec Diophante
d’Alexandrie (IIIème siècle) orientèrent, bien plus tard dans l’Histoire, les recherches de P. de
Fermat vers la théorie des nombres.
(a) Commencer par mettre l’équation diophantienne sous la forme (a − V ) (b − V ) = p2 , où
l’on spécifiera la variable V . Pour cela, on additionnera ou on soustraira p2 de chaque côté
de l’égalité, une fois ramenée au dénominateur commun.
(b) Déduire la résolution de cette équation.
Solution :
(a)
1
1 1
+ =
a b
p
⇔
b
a
1
+
=
ab ab
p
⇔ bp + ap = ab
⇔ bp+ap−ab−p2 = −p2 ⇔ a(p−b)+p(b−p) = −p2 ⇔ −a(−p+b)+p(b−p) = −p2
⇔ (p − a)(b − p) = −p2 ⇔ (a − p)(b − p) = p2
donc V = p.
(b) Ainsi (a − p) doit diviser p2 [avec a − p 6= 0 comme les solutions finales en attesteront] donc
les solutions possibles satisfont les 6 systèmes suivants (se rappelant que p est un nombre
premier),
a−p = p
a−p = 1
a − p = p2
b−p = 1
b−p = p
b − p = p2
a − p = −p2
a − p = −p
a − p = −1
,
b − p = −1
b − p = −p
b − p = −p2
soit,
a = p + p2
b = 1+p
a = 2p
b = 2p
a = p − p2
b = p−1
a = 0
b = 0
a = 1+p
b = p + p2
a = p−1
.
b = p − p2
Les solutions nulles étant exclues par la forme de l’équation initiale, l’ensemble des solutions
pour le couple (a, b) – vérifiables par insertion dans l’équation diophantienne – est :
{(p + p2 , 1 + p), (2p, 2p), (1 + p, p + p2 ), (p − p2 , p − 1), (p − 1, p − p2 )} .
Les solutions obtenues sont bien des entiers relatifs.
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9. (réflexion) Le produit de trois entiers naturels consécutifs est-il toujours divisible par 3 ? Démontrer la réponse par une catégorisation appropriée des nombres entiers, puis par récurrence.
Solution : Soit le premier entier est du type 3n (avec n ∈ N) :
3n(3n + 1)(3n + 2) = 3(3n2 + n)(3n + 2) ,
soit du genre 3n + 1 :
(3n + 1)(2n + 2)(3n + 3) = 3(3n + 1)(3n + 2)(n + 1) ,
soit enfin du genre 3n + 2 [car 3n + 3 = 3(n + 1) revient au type 3n] :
(3n + 2)(3n + 3)(3n + 4) = 3(3n + 2)(n + 1)(3n + 4) ,
mais dans les trois cas le produit est en effet divisible par 3. Or on a couvert l’ensemble des
nombres possibles puisque le prochain est 3n + 3 = 3(n + 1) = 3n0 . Cette classification est
adaptée à cette question.
Récurrence :
1) Pour n = 1, on a bien n(n + 1)(n + 2) = 1 × 2 × 3 = 6 divisible par 3.
2) Si n(n+1)(n+2) = 3 p avec n, p des entiers naturels, alors en développant le dernier facteur,
(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 1)(n + 2) × n + (n + 1)(n + 2) × 3 = 3 p + 3 p0 = 3 (p + p0 ) .
10. (réflexion) Montrer par récurrence que, ∀n ∈ N, 22n + 2 est divisible par 3.
Solution : Pour n = 0, 20 + 2 = 3 est divisible par 3. Pour n = 1, 22 + 2 = 6 est divisible par
3. Si 22n + 2 est divisible par 3 (∀n ∈ N), soit 22n + 2 = 3p (avec p ∈ N∗ ), alors au rang n + 1 :
22(n+1) + 2 = 22n 22 + 2 = (3p − 2)22 + 2 = 12p − 6 = 3(4p − 2) qui est bien divisible par 3.
III
Division euclidienne
III.A
Points de cours
Définition et propriété de la division euclidienne : Effectuer la division euclidienne d’un
entier relatif, x, par un autre, y, c’est déterminer le couple d’entiers (q, r) qui est tel que x = y q + r
avec 0 ≤ r < |y|. q dénote le ‘quotient’ et r le ‘reste’. Le couple (q, r) ∈ Z2 (∈ N × N) existe et est
unique pour tout couple (x, y) ∈ Z × Z∗ (∈ N × N∗ ).
Terminologie : x est appelé un dividende et y un diviseur.
x = y × q + |{z}
r
|{z}
|{z}
|{z}
dividende
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quotient
diviseur
7
reste
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III.B
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Exercices
1. Donner le quotient et le reste dans la division euclidienne de 27 par 12, de 2 par 3, puis de
−19 par 4 et enfin de 19 par −4.
Solution : q = 2 et r = 3 ; q = 0 et r = 2 ; q = −5 et r = 1 ; q = −4 et r = 3.
2. Considérons un entier K qui a pour reste 27 après division euclidienne par 37 et a le même
quotient dans la division euclidienne par 39 dont le reste est 13. Trouver ce nombre entier K.
Solution : K = q 37 + 27 et K = q 39 + 13 soit q 37 + 27 = q 39 + 13 donc q = (27 − 13)/(39 −
37) = 14/2 = 7. Ainsi K = 7 × 37 + 27 = 7 × 39 + 13 = 286.
3. Sachant que 20511 = 314 × 65 + 101, effectuer la division euclidienne de 20511 par 315.
Solution : 20511 = 314 × 65 + 101 = 314 × 65 + (65 + 36) = 315 × 65 + 36.
4. a et b étant deux entiers naturels vérifiant a = 5b+7, discuter le reste de la division euclidienne
de a par b, selon les valeurs prises par b – en prenant b > 7/2.
Solution :
Si 7 < b alors le reste est bien r = 7.
Si 7 = b alors le reste est a = 5b + b = 6b et r = 0.
Si 7 > b > 7/2 alors a = 5b + 7 = 5b + (b + r) = 6b + r avec un reste 0 < r = 7 − b < |b| = b.
5. En langage de programmation Python, la procédure a%b restitue le reste de la division
euclidienne de a par b, et a//b renvoie le quotient de la division euclidienne de a par b. On
peut donc coder la fonction qui donne le reste r et le quotient q de la division euclidienne de
deux nombres a et b entrés en ‘input’ :
def DivisEuclid(a, b) :
r = a%b
q = a//b
return(r, q)
Écrire le bout de code Python définissant la fonction qui donne l’ensemble des diviseurs positifs du nombre entier naturel N entré en ‘input’. On utilisera la boucle for, les commandes if
et append 5 . Quels diviseurs la fonction contiendra-t-elle si l’utilisateur lui rentre par exemple
le nombre 6 ?
Solution :
def Diviseurs(N) :
L=[]
for k in range(1, N + 1) :
if N%k == 0 :
L.append(k)
return(L)
5. Faire soi-même la recherche de documentation sur leur fonctionnement.
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Pour N=6, cette fonction renverra la liste [1, 2, 3, 6].
6. (réflexion) Quel est le reste de la division euclidienne de (n + 2)2 par n + 4 ? (∀n > 0)
Solution : (n + 2)2 = n2 + 4n + 4 = n(n + 4) + 4 avec 0 ≤ 4 < n + 4.
7. (réflexion) Quel est le reste de la division euclidienne de n2 + 2 par n + 1 ? (∀n > 2)
Solution : (n + 1)(n − 1) = n2 − 1 d’où (n + 1)(n − 1) + 3 = n2 − 1 + 3 = n2 + 2 avec
0 ≤ 3 < n + 1.
8. (réflexion) Sachant que 115 = 5 × 23, trouver le reste de la division euclidienne
de 3115 par
P
11. On utilisera simplement la forme du binôme de Newton : (x + y)n = nk=0 Ckn xk y n−k , les
Ckn étant des coefficients numériques entiers connus et tels que Cnn = 1.
Solution :
3115 = (35 )23 = (243)23 = (22 × 11 + 1)23
= C023 (22 × 11)23 + C123 (22 × 11)22 (1) + C223 (22 × 11)21 (1)2 + ...
23
23
... + C22
(22 × 11)(1)22 + C23
(1)23
donc le reste cherché est (1)23 = 1, puisque par exemple (22 × 11)23 = (22 × 11)22 × 22 × 11.
IV
Congruence
IV.A
Points de cours
Une motivation : L’arithmétique est au cœur du cryptage des communications. En effet, afin
de crypter un message, on commence par le transcrire en un, ou plusieurs, nombres. Les calculs de
cryptage se font en général ‘modulo’ n (arithmétique modulaire).
Définition de la congruence : Deux entiers relatifs x et y sont congrus modulo d – un entier
naturel non nul – si, et seulement si, x et y ont un reste identique dans leur division euclidienne
respective par d (soit x = q d + r et y = q 0 d + r).
Notion utile par exemple en trigonométrie, où l’on peut définir les angles modulo 2π [= 360 degrés].
Notation : On le notera alors : x ≡ y [d] ou encore x ≡ y (mod d).
Remarque : x ≡ y [d] implique x − y = q d + r − (q 0 d + r) = (q − q 0 ) d = k d, soit x = y + k d
avec k ∈ Z, qui n’est autre que la division euclidienne de x par d ∈ N∗ , ou la division euclidienne de
x par k pour un quotient d ∈ N∗ .
Exemple concret : La petite aiguille d’une montre, ou
d’une horloge, matérialise les heures modulo 12(h). En effet, 1 = 12 × 0 + 1 avec un quotient de 0 et un reste de 1,
et, 13 = 12 × 1 + 1 avec un quotient de 1 et un reste de 1,
soit 1 ≡ 13 [12] (voir par exemple le cadran à aiguilles de
réveil-matin ci-contre).
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La notion de congruence (ou de modulo) est connue depuis le Vème siècle en Inde et le XIIIème
siècle en Chine, mais fut étudiée rigoureusement par le mathématicien allemand J.C.F.Gauss du
XVIII-XIXème siècle.
Reflexivité : a ≡ a [p], ∀a ∈ Z, ∀p ∈ N∗ .
Symétrie : a ≡ b [p] ⇒ b ≡ a [p], ∀a, b ∈ Z, ∀p ∈ N∗ .
Transitivité : a ≡ b [p] et b ≡ c [p] ⇒ a ≡ c [p], ∀a, b, c ∈ Z, ∀p ∈ N∗ .
Reflexivité + Symétrie + Transitivité ⇔ a ≡ b [p] est une relation d’Équivalence.
Propriété n’1 : ∀d ≥ 2, on a : x ≡ y [d] si, et seulement si, d divise x − y (pour x − y 6= 0).
Propriétés n’2 : Soit n un entier tel que, n ≥ 2, et a, b, c, d quatre nombres entiers relatifs. Si
a ≡ b [n] et c ≡ d [n] alors les quatre congruences suivantes sont vérifiées,
a + c ≡ b + d [n],
P a ≡ P b [n], ∀P ∈ Z,
a c ≡ b d [n],
k
a ≡ bk [n], ∀k ∈ N.
IV.B
Exercices
1. Donner un exemple de paire d’entiers relatifs congrus modulo un entier naturel (non nul).
Solution : Par exemple 5 = 2 × 2 + 1 et 9 = 2 × 4 + 1 donc 5 ≡ 9 [2] (avec des quotients
différents, 2 et 4 respectivement).
2. Montrer, grâce à la Propriété n’1, que ∀n ∈ N∗ et ∀a ∈ Z∗ ,
n|a ⇔ a ≡ 0[n]
Solution : En effet, grâce à la Propriété n’1, cette équivalence revient pour n ≥ 2 à
a = k n ⇔ n|(a − 0) soit a − 0 = q n
avec k, q ∈ Z, ce qui est vrai [ou bien même plus directement selon cette Propriété n’1 :
a ≡ 0[n] ⇔ n|a(−0) ]. Pour n = 1, l’équivalence revient à la trivialité :
a = k ⇔ a = r + q et 0 = r + q0
avec k, q, q 0 ∈ Z.
3. Exemple d’application concrète :
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Un numéro de sécurité sociale français possible (voir Carte
Vitale type ci-contre) est :
2 62 02 19 223 078 89
Ce numéro correspond à une personne de sexe féminin (2),
née en 1962 (62), au mois de février (02), dans le Département de la Corrèze (19), dans une commune dont le code
est 223 et avec un numéro d’acte de naissance attribué valant 078. Le dernier nombre, 89, appelé la clef, est calculé
comme suit, 89 = 97−r, où 97 est un exemple de code choisi
par l’administration et r le reste de la division euclidienne
de 2 62 02 19 223 078 par 97.
Montrer que la clef est strictement positive par construction. Quelle est l’utilité de la clef ? En
s’appuyant sur les concepts et terminologies introduites, indiquer comment 2 62 02 19 223 078
et r sont reliés. Écrire en Python la petite routine définissant la fonction qui retourne la clef
d’un numéro de sécurité sociale.
Solution : On a 2 62 02 19 223 078 = q × 97 + r avec 0 ≤ r < |97| = 97 donc 97 − r > 0.
Pour un code administratif donné (ici : 97), le numéro de sécurité sociale correspond à une
unique clef (ici : 89) – puisque calculée à partir du reste unique – qui permet donc de vérifier
que ce numéro est correct. Pour cette raison, on l’appelle clef de vérification.
On note mathématiquement 2 62 02 19 223 078 ≡ r [97] puisque trivialement r = 0 × 97 + r.
def ClefInsee(Num) :
r = Num%97
clef = 97 − r
return(clef)
4. Démontrer la deuxième congruence des Propriétés n’2.
Solution : Si a = n Qa + r et b = n Qb + r alors P a = n P Qa + (P r) et P b = n P Qb + (P r).
5. Démontrer la troisième congruence des Propriétés n’2.
Solution : Si a = n Qa + r, b = n Qb + r, c = n Qc + r0 et d = n Qd + r0 ,
alors a c = n2 Qa Qc + n (Qa r0 + Qc r) + rr0 et b d = n2 Qb Qd + n (Qb r0 + Qd r) + rr0 ,
soit a c = n [n Qa Qc + (Qa r0 + Qc r)] + rr0 et b d = n [n Qb Qd + (Qb r0 + Qd r)] + rr0 .
6. Déterminer l’entier p tel que 2017 ≡ p [9] et 0 ≤ p < 9.
Solution : 2017 = 9 q + r (donc 2017 = 9 × 224 + 1) et p = 9 q 0 + r. Soit p = 9 q 0 + 1 d’où
q 0 = 0 et p = 1 (puisque q 0 = ±1 est incompatible avec 0 ≤ p < 9).
7. (a) Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 1000 modulo 111.
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(b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1000 n est congru à n modulo 111.
(c) En déduire ce que valent 104 et 105 grâce à la question précédente, puis 108 grâce à la
première question via la troisième congruence des Propriétés n’2.
(d) Déduire 108 + 104 + 1 de la question précédente via la première congruence.
(e) Conclure que 108 + 104 + 1 est divisible par 111.
Solution :
(a) 1000 = 9 × 111 + 1 (et 1 = 0 × 111 + 1) donc 1000 ≡ 1 [111].
(b) Donc (1000 n = 9 n × 111 + n, soit) 1000 n ≡ n [111].
(c) La réponse précédente appliquée à n = 10 donne, 104 = 1000 × 10 ≡ 10 [111]. La réponse
précédente appliquée à n = 100 donne, 105 = 1000 × 100 ≡ 100 [111]. Ce nombre multiplié
par 103 ≡ 1 [111] (1ère réponse) donne 108 ≡ 100 [111]. – selon la troisième congruence.
(d) Sachant que 1 = 0×111+1 ≡ 1 [111], l’étape précédente permet de sommer 108 +104 +1 ≡
100 + 10 + 1[111] – selon la première congruence.
(e) Ainsi 108 + 104 + 1 ≡ 111[111] ≡ 0[111] (puisque 111 = 1 × 111 + 0 et 0 = 0 × 111 + 0).
D’où il existe un entier q non nul tel que 108 + 104 + 1 (−0) = q × 111.
8. L’objectif est de justifier l’implication : n ≡ 3 [7] ⇒ 7|3n + 5.
(a) Calculer d’abord 3n + 5 modulo 7, via les Propriétés n’2 et la reflexivité.
(b) Conclure en utilisant la transitivité, puis la Propriété n’1.
Solution :
(a) Selon les Propriétés n’2, n ≡ 3 [7] ⇒ 3n ≡ 9 [7], et comme 5 ≡ 5 [7] par reflexivité, on a
d’après les Propriétés n’2 : 3n + 5 ≡ 9 + 5 [7] ≡ 14 [7].
(b) Or 14 ≡ 0 [7] (puisque 7 divise 14) donc, par transitivité, 3n + 5 ≡ 0 [7], ce qui signifie
selon la Propriété n’1 que 7|3n + 5(−0).
9. Résoudre dans Z l’équation : 10 X + 2 ≡ 3 [5].
(a) Raisonner en s’appuyant sur un tableau donnant toutes les valeurs possibles de X modulo
5, et toutes celles alors déduites pour 10 X + 2 modulo 5 – sur la ligne suivante.
(b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.
Solution :
0 1 2 3 4
X [5]
(a)
10 X + 2 [5] 2 2 2 2 2
(car par exemple 10 × 3 + 2 ≡ 32 ≡ 2 [5] puisque 5 divise 32−2=30)
(b) Ainsi on a toujours 10 X + 2 ≡ 2 [5] et l’équation initiale est sans solution.
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10. Cryptage de code de carte bancaire :
Lorsqu’un utilisateur rentre son code de carte bancaire (à 4
chiffres) sur une plateforme afin de procéder à un paiement
digital, alors ce nombre est en général d’abord mis sous une
forme dite ‘cryptée’, avant d’être transmis vers d’autres systèmes de traitement. Cette procédure permet de diminuer
les risques de diffusion du code de la carte, étant donné qu’il
n’est possible de remonter à ce code, à partir du code crypté,
qu’en connaissant les “clés du cryptage”.
Le cryptage peut se réaliser en changeant chaque chiffre n du code de la carte en un autre
chiffre p obtenu comme suit,
p ≡ A × n + B [10]
les chiffres A et B constituant les clés du cryptage [A 6= 1 ou B 6= 0]. Les 4 nouveaux chiffres
p ainsi obtenus (grâce à la congruence) forment le code crypté (dans un ordre inchangé).
(a) Supposez que vous êtes le banquier (qui a comme client l’utilisateur) recevant le code
crypté, 8620, et que vous devez en déduire le code de la carte donné par l’utilisateur afin
de vérifier que celui-ci est correct, pour enfin valider le paiement en ligne. Vous avez donc
connaissance des clés, qui sont A = 3 et B = 7. Vous raisonnerez en vous appuyant sur un
tableau listant toutes les valeurs possibles de n et p.
(b) Auriez-vous pu décrypter le code 8620 avec les clés A = 4 et B = 8 ? Commentez.
(c) En tant que banquier qui devez assurer la répétition de ce type d’action plusieurs fois par
jour, vous écrivez un script Python automatisant la restitution des chiffres après cryptage
correspondant à chaque chiffre possible du code de carte. Ce script de fonction a comme
‘inputs’ les clés de cryptage.
(d) Imaginez maintenant le raisonnement que doit suivre un ‘hacker’ qui souhaite trouver les
clés de cryptage, étant parvenu au préalable à connaı̂tre la correspondance entre deux
chiffres de code de carte et leur forme cryptée respective :
n=3
p = 3 et n = 4
p=2
Solution :
(a)
n [10] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p [10] 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4
(par exemple 3 × 2 + 7 ≡ 13 ≡ 3 [10] puisque 10 divise 13−3=10)
D’après ce tableau de reconstitution, on voit immédiatement que le code crypté 8620 correspond au code de carte 7351.
(b)
n [10] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p [10] 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4
Le décryptage n’aurait pas été concluant, puisque plusieurs codes de carte sont possibles, ce
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qui illustre que les clés de cryptage doivent être choisies en suivant une certaine cohérence
vis-à-vis du code de carte bancaire.
(c)
def ChiffresCryptes(A, B) :
N=[]
L=[]
for n in range(0, 10) :
N.append(n)
p=A∗n+B
r = p%10
L.append(r)
print(N)
print(L)
return(L)
car p ≡ A × n + B [10] ⇔ p − (A × n + B) = 10 k ⇔ p = 10 k + (A × n + B) ⇔ p = 10 k + r
avec k ∈ Z, or p doit être un chiffre ici (0 ≤ p ≤ 9) comme le reste r (0 ≤ r < 10).
(d) On a alors le système suivant, qui peut être résolu en combinant les deux équations individuelles grâce aux Propriétés n’2,
3 ≡ A × 3 + B [10]
3 A + B ≡ 3 [10]
3 A + B ≡ 3 [10]
2 ≡ A × 4 + B [10]
4 A + B ≡ 2 [10]
(4 A + B) − (3 A + B) ≡ 2 − 3 [10]
B ≡ 3 − 3 A [10]
A ≡ −1 [10]
B − 3 ≡ −3A [10]
−3A ≡ 3 [10]
B − 3 ≡ 3 [10]
−3A ≡ 3 [10]
B ≡ 6 [10]
A ≡ −1 [10]
et donc les clés de cryptage, qui sont des chiffres (nombre entier compris entre 0 et 9),
valent A = −1 + 10 k = 9 (pour k = 1) et B = 6.
V
V.A
Nombres premiers
Points de cours
Définition d’un nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel divisible exclusivement par lui-même et l’unité (en dehors des diviseurs négatifs).
Remarques : 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
Premier théorème d’Euclide : Prenons deux entiers relatifs x, y et un nombre entier p.
p|xy ⇒ p|x ou p|y
Théorème n’1 : Il existe une infinité de nombres premiers. (énoncé, démontré dans les éléments
d’Euclide et appelé Théorème d’Euclide)
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Théorème n’2 : (théorie des nombres) Tout entier naturel, n ≥ 2, admet au moins
√ un diviseur
premier, et, tout entier naturel, m ≥ 2, non premier, admet un diviseur premier, d ≤ m.
Théorème n’3 : Tout entier, E ≥ 2, peut se décomposer en produit de nombres premiers. En
d’autres termes, il existe k nombres premiers p1 < p2 < · · · < pk et k entiers naturels non nuls
a1 , a2 , ..., ak tels que,
E = pa11 pa22 ... pakk ,
un produit unique (à l’ordre des facteurs près).
Certains processus de (dé)codage informatique font appel au principe suivant. Si l’on choisit deux
nombres premiers p (et q) gardés secrets et que l’on pose n = p × q (décomposition unique donc),
alors, même connaissant n, il est très difficile de retrouver p et q pour des nombres aux centaines de
chiffres.
Petit théorème de Fermat : Soit p un nombre premier et n un entier (non multiple de p).
np ≡ n [p]
Corollaire : Soit p un nombre premier et n un entier. Si p ne divise pas n alors,
np−1 ≡ 1 [p]
Ce Petit théorème fut proposé par P. de Fermat vers le milieu du XVIIème, sans démonstration.
Il développa ardemment l’arithmétique. De nombreux autres mathématiciens, comme Gauss, Euler
ou de nos jours Weil et Wiles, ont ensuite fait progresser cette branche des mathématiques – notamment en s’intéressant au phénomène de raréfaction des nombres premiers. Il existe encore des
questions ouvertes, de formulation simple, concernant les nombres premiers, comme la démonstration
ou l’invalidation de la conjecture de C.Goldbach (XVII-XVIIIème siècle) :
“Tout nombre pair plus grand que 2 est la somme de deux nombres premiers.”
En termes d’applications, certains décodages peuvent fonctionner grâce à une variante du Petit
théorème de Fermat.
V.B
Exercices
1. Les nombres suivants sont-ils premiers ? 87, 113, 147, 183.
Solution : 87, 147 et 183 sont divisibles par 3 (puisque la somme de leurs chiffres est ellemême divisible par 3). 113, lui, est un nombre premier.
2. Il existe une méthode pour obtenir la décomposition unique en produit de nombres premiers
d’un nombre de départ. Celle-ci consiste à diviser le nombre initial par son plus petit diviseur
premier, puis à réitérer sur le quotient ainsi obtenu et à répéter le processus tant que cela est
possible. Illustrons cette méthode par un exemple :
Plus petit
Quotient
obtenu
diviseur premier
(entier initial) 45
3
# 15
3
#5
5
#1
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15
⇒
45 = 32 × 5
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Appliquer ce processus afin de trouver les décompositions en produits de facteurs premiers
des entiers 398, 1600 puis 4116.
Solution : 398 = 2 × 199 ; 1600 = 26 × 52 ; 4116 = 22 × 3 × 73 .
3. Quel est le seul nombre pair et premier ?
Solution : 2 car tout autre nombre pair est divisible par 2.
4. Démontrer que ∀n ≥ 3 (n ∈ N), n2 +2 n−3 n’est jamais un nombre premier. On montrera pour
cela que ce polynôme peut se mettre sous forme d’un produit. Discuter les cas n = 0, 1, 2, 3.
Solution : Essayons d’identifier a et b tels que n2 + 2 n − 3 = (n + a)(n + b) soit
n2 + 2 n − 3 = n2 + n (a + b) + a b .
Pour cela, il faut résoudre ce système d’équations
2−b = a
2 = a+b
−3 = a b
−3 = (2 − b) b
(
a = 2 −√
b
b =
−2±
22 −4(−1)(3)
2×(−1)
2−b = a
0 = 3 + 2 b − b2
a = 2−b
= −1 ; 3
b = −2±4
−2
a = 3 ; −1
b = −1 ; 3
dont les deux couples de solutions conduisent à,
n2 + 2 n − 3 = (n − 1)(n + 3) .
(1)
Autre méthode [on peut également passer par les racines r1,2 de p(n) = n2 + 2 n − 3 =
(n − r1 )(n − r2 )] :
n2 + 2 n − 3 = n2 + 2n + 1 − 4 = (n + 1)2 − 22 = (n + 1 + 2)(n + 1 − 2) = (n + 3)(n − 1) .
Ainsi, le polynôme n2 + 2 n − 3 n’est pas premier pour n = 0 induisant n2 + 2 n − 3 = −3 et
n = 1 induisant n2 + 2 n − 3 = 0, mais l’est pour n = 2 induisant n2 + 2 n − 3 = 5.
On voit en revanche que dès n = 3 – induisant n2 + 2 n − 3 = 12 – le polynôme n’est plus
premier car divisible au moins par les entiers (n − 1) ou (n + 3) – par 2, 3, 4 et 6 6 pour
n = 3. Encore faut-il s’assurer que (n − 1) 6= 0, (n + 3) 6= 0, (n − 1) 6= 1, (n + 3) 6= 1,
(n − 1) 6= (n − 1)(n + 3) et (n + 3) 6= (n − 1)(n + 3) ce qui est vrai.
5. Écrire un algorithme simple (pas dans un langage informatique spécifique) permettant de
conclure sur le caractère premier d’un nombre entier naturel, en affichant – sur écran d’ordinateur – ses éventuels diviseurs, autres que l’unité et lui-même. On utilisera une routine
générique E(d) qui renvoie la partie entière d’un nombre d.
6. On remarque sur cet exemple que la division de l’Eq. (1) est certes générale mais non unique (22 × 3 l’est).
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Solution :
Lire N
p←2
Tant que p < N faire
d ← N/p
e ← E(d)
Si d = e Alors Ecrire p
p←p+1
Fin Tant que
6. On remarque que 245+754 = 999 et que 245 754 est divisible par 999. Est-ce une coı̈ncidence ?
Solution : Non car 245 754 = 245×1000+754 = 245×(999+1)+754 = 245×999+245+754 =
245 × 999 + 999 = 246 × 999. Ces deux considérations sont donc liées.
7. (a) En utilisant la décomposition en facteurs premiers, trouver le dénominateur commun le
1
1
1
plus petit aux fractions 756
, 504
et 468
.
1
1
1
+ 504
− 468
sous forme d’une fraction irréductible.
(b) En déduire l’expression de 756
Solution :
(a)
1
1
1
= 2
= 2
3
3
756
2 ×3 ×7
2 × 3 × 7 × 130
1
1
1
= 3
= 3
2
2
504
2 ×3 ×7
2 × 3 × 7 × 130
1
1
1
= 2
= 2
2
2
468
2 × 3 × 13
2 × 3 × 70 × 131
Le dénominateur commun le plus petit est donc 23 × 33 × 71 × 131 = DCP P .
(b)
1
1
2 × 13
26
= 2
×
=
756
2 × 33 × 7 × 130 2 × 13
DCP P
1
1
3 × 13
39
= 3
×
=
2
0
504
2 × 3 × 7 × 13
3 × 13
DCP P
1
1
2×3×7
42
= 2
×
=
2
0
1
468
2 × 3 × 7 × 13
2×3×7
DCP P
Par conséquent,
1
1
1
26
39
42
23
23
,
+
−
=
+
−
=
= 3
3
756 504 468
DCP P
DCP P
DCP P
DCP P
2 × 3 × 7 × 13
qui est une fraction irréductible vu que 23 est un nombre premier.
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8. (réflexion) Trouver un nombre à 3 chiffres qui soit un carré parfait 7 divisible par 56.
Solution : Le nombre cherché s’écrit N = p2 , avec p ∈ Z, et vérifie N = q × 7 × 23 (q ∈ Z)
puisque que nous avons la décomposition unique, 56 = 7 × 23 . Par conséquent, q × 7 × 23 = p2
soit p = q 1/2 × 71/2 × 23/2 . La possibilité simple, pour garantir que p soit un entier, est de
choisir q 1/2 = 71/2 × 23/2 soit q = 7 × 23 mais alors N = 72 × 26 = 3136 qui a plus que 3
chiffres.
Revenons à q ×7×23 = p2 qui se réécrit q ×7×4×2 = p2 et possiblement (2×7×2)(7×4) = p2
avec p = 28 pour q = 2 × 7. Ainsi N = (2 × 7) × 7 × 23 = 282 = 784 est une solution possible.
9. (réflexion) Démontrer, par l’absurde, la première partie du Théorème n’2 : tout entier naturel,
n ≥ 2, admet au moins un diviseur premier. On utilisera la transitivité de la divisibilité.
Solution : Par disjonction, deux possibilités s’offrent à nous.
1er cas : n est un nombre premier.
Alors n est divisible par lui, c’est-à-dire par un nombre premier.
2ème cas : n n’est pas premier.
Alors n est divisible par d’autres que nombres que 1 et n.
Appelons p le plus petit d’entre eux : 1 < p < n.
Supposons que p n’est pas premier, alors p admet un diviseur d tel que, 1 < d < p.
Par transitivité, d|p et p|n impliquent d|n.
Ce qui est en contradiction (combiné à d < p) avec le fait que p est le plus petit diviseur de n.
Par conséquent, p est premier.
VI
PGCD
VI.A
Points de cours
Notation de l’ensemble des diviseurs communs : p et q étant deux entiers non nuls, D(p)
dénote l’ensemble des diviseurs positifs de p, et D(p, q) l’ensemble des diviseurs communs positifs de
p et q. Ainsi, on a D(p, q) = D(p) ∩ D(q).
Définition du plus grand commun diviseur : Le plus grand élément de D(p, q) s’appelle le
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de p et q. Il se note PGCD(p, q), ou parfois p ∧ q. On peut
aussi introduire le Plus Petit Commun Multiple (PPCM). La notion de plus grand commun diviseur
de deux entiers apparaı̂t dans les éléments d’Euclide d’Alexandrie, un mathématicien de la Grèce
antique (travaux en Arithmétique vers −300 avant notre ère).
Lemme d’Euclide : Considérons a, b, q et r des entiers relatifs non nuls. Si a = b q + r alors
PGCD(a, b) = PGCD(b, r). Sous une autre forme,
PGCD(a, b) = PGCD(a − b q, b)
Propriété n’1 : Soit α ∈ N∗ . PGCD(α a, α b) = α PGCD(a, b).
7. Carré d’un nombre entier.
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Notion de nombres premiers entre eux : Deux entiers P , Q sont “premiers entre eux” si, et
seulement si, PGCD(P, Q) = 1.
Propriété concernant des nombres premiers entre eux : Si p est un nombre premier, n un
entier relatif et que p ne divise pas n, alors p et n sont premiers entre eux.
Propriété n’2 : Pour deux entiers relatifs non nuls, s, t, on a PGCD(s, t) = u avec u ∈ N∗ si, et
seulement si, il existe deux entiers relatifs non nuls s0 et t0 tels que s = u s0 et t = u t0 avec s0 et t0
premiers entre eux.
VI.B
Exercices
1. Déterminer l’ensemble des diviseurs du nombre 36, puis de l’entier 240. En déduire, par définition, le PGCD(36,240).
Solution : D(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36}.
D(240)={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240}. Donc PGCD(36,240)=12.
2. Décomposer le nombre 360 en facteurs premiers ainsi que 126. En déduire, le PGCD(360,126).
Solution : 360 = 23 × 32 × 5 et 126 = 2 × 32 × 7, de manière unique. Donc PGCD(360,126)
= 2 × 32 = 18.
3. Déterminer les entiers b, c, d tels que ∀x ∈ N,
x3 − x = (x + 2)(x2 + bx + c) + d
En déduire via le Lemme d’Euclide que PGCD(x3 − x, x + 2)=PGCD(x + 2, 6), pour x > 1.
Solution : (x + 2)(x2 + bx + c) + d = x3 + (b + 2)x2 + (c + 2b)x + 2c + d donc par identification
avec x3 − x, on obtient b = −2, c + 2b = −1 et c = −d/2, soit c = 3 et d = −6. Ainsi
x3 − x = (x + 2)(x2 − 2x + 3) − 6
et selon le Lemme d’Euclide,
PGCD(x3 − x, x + 2) = PGCD([x3 − x] − [x + 2](x2 − 2x + 3), x + 2)
= PGCD(−6, x + 2) = PGCD(6, x + 2)
puisque (x2 − 2x + 3) représente un entier relatif non nul [discriminent ∆ = (−2)2 − 4(1)(3) =
−8 < 0], et, D(−6)=D(6).
4. Illustrons d’abord la méthode des divisions successives – dite Algorithme d’Euclide – permettant de trouver le PGCD. En cryptage, la clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide
de cet algorithme. Par exemple, appliquons cette méthode afin d’obtenir le PGCD des deux
entiers 36 et 24 :
36 = 24 × 1 + 12 ⇒ PGCD=12 .
{z
}
|
24=12×2+0
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Ce qui s’écrit PGCD(36,24)=12. En effet, 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Voici, comme autre
exemple, la recherche du PGCD pour les nombres premiers entre eux, 36 et 14,
36 =
14 × 2 + 8 ⇒ PGCD=1 .
| {z }
14= 8 × 1 + 7
| {z }
8=7 × 1 + 1
| {z }
7=1×7+0
Utiliser la même méthode des divisions successives pour obtenir le PGCD(6732,342).
Solution :
6732 =
342 × 19 + 234
⇒ PGCD=18 .
{z
}
|
342= 234 × 1 + 108
|
{z
}
234=108 × 2 + 18
|
{z
}
108=18×6+0
5. Déterminer les couples d’entiers naturels (P ; Q) qui sont tels que PGCD(P, Q) = 9 et P + Q =
72. Invoquer pour cela la Propriété n’2.
Solution :
PGCD(P, Q) = 9 ⇔ P = 9 P 0 , Q = 9 Q0 avec PGCD(P 0 , Q0 ) = 1.
P + Q = 72 ⇒ 9 P 0 + 9 Q0 = 72 ⇔ P 0 + Q0 = 8.
Les couples (P 0 ; Q0 ) solutions sont (1; 7) et (3; 5).
Donc les couples (P ; Q) solutions sont (9; 63) et (27; 45).
6. Démontrer la Propriété n’2, qui est une équivalence. Utiliser la Propriété n’1.
Solution :
• Sens direct :
PGCD(s, t) = u ⇒ il existe deux entiers relatifs non nuls s0 et t0 tels que s = u s0 et t = u t0
⇒ PGCD(s, t) = PGCD(u s0 , u t0 ) = u × PGCD(s0 , t0 ) car u ∈ N∗
⇒ PGCD(s0 , t0 ) = 1, c’est-à-dire que s0 et t0 sont premiers entre eux.
• Réciproque :
PGCD(s0 , t0 ) = 1 ⇒ PGCD(u s0 , u t0 ) = u pour u ∈ N∗ , soit PGCD(s, t) = u où s = u s0 et
t = u t0 sont deux entiers relatifs non nuls.
7. (réflexion) Démontrer le Lemme d’Euclide. On prouvera pour cela que les couples (a, b) et
(a − b q, b) ont les mêmes diviseurs.
Solution : Considérons a, b, q et r des entiers relatifs non nuls.
• d divise a et b ⇒ d divise a − b q et b.
• d divise a − b q et b ⇒ d divise (a − b q) + (b q) = a et b.
Donc les couples (a, b) et (a − b q, b) ont les mêmes diviseurs, dont le plus grand qui est le
PGCD. En d’autres termes,
PGCD(a, b) = PGCD(a − b q, b)
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G.Moreau
ISTAMA
– Rédigé pour le CIP –
Université Paris–Saclay
a+3
soit
8. (réflexion) Quelle est la condition – nécessaire et suffisante – pour que la fraction 2a+1
irréductible (∀a ∈ N) ? On utilisera, pour répondre, les concepts introduits. Démontrer, par le
Lemme d’Euclide, que cette condition est bien remplie.
Solution : La condition est que 2 a + 3 et a + 1 soient premiers entre eux. On a en effet que
PGCD(2 a + 3, a + 1)=PGCD(2 a + 3 − 2(a + 1), a + 1)=PGCD(1, a + 1) = 1 .
???
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