lOMoARcPSD|37388557 TD2 Electrostatique 2021-2022 Enoncé-FIN électrostatique (Université Ibn Zohr) Scan to open on Studocu Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Laïké Camara ([email protected]) lOMoARcPSD|37388557 Électrostatique Travaux Dirigés UNIVERSITÉ IBN ZOHR FACULTÉ DES SCIENCES DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE AGADIR Un fil rectiligne non conducteur de longueur semi-infini est chargé avec une densité de charge linéique positive et constante (FIG. (1)). On s’intéresse à l’étude du champ ). électrostatique ⃗ ( ) créé par le fil semi infini aux points ( 𝑴𝟏 𝑴𝟐 𝑫 𝒋 𝑫 𝑫 𝑴𝟎 𝒙 𝑶 1) On veut à présent trouver le champ ⃗ ( 𝜽𝟎 𝒊 𝒙 𝑶 FIG. (1) ) créé par le fil semi-infini au point . a) Déterminer l’expression du champ élémentaire ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) créé en par un élément de longueur du fil semi-infini. b) Déduire l’expression du champ ⃗ ( ). c) Quel est l’angle que fait le vecteur ⃗ ( ) avec la direction du fil ? Cet angle dépend-il de la distance ? d) En utilisant le principe de superposition, déduire l’expression du champ ⃗ ( ) en créé par un fil infini confondu avec l’axe ( ) et chargé avec une densité linéique . Tracer ses lignes de champ sur un plan perpendiculaire au fil infini. 2) Déterminer le champ ⃗ ( ) créé par la distribution linéique au point . 3) Trouver le champ électrostatique ⃗ ( ) créé en un point repréré par l’angle . Soit un fil ( ) de section négligeable et ayant la forme d’un arc circulaire rayon , de centre et d’angle (FIG. (2)). Le fil ( ) porte une charge électrique répartie uniformément entre et . 1) Exprimer la densité de charge porté par ( ) en fonction de , de et . 2) On prend , le cerceau ( ) ainsi obtenu, centré en et de rayon , porte une charge de densité uniforme et l’axe ( ) est confondu avec l’axe du cerceau. 2021/2022 ―1― Équipe Pédagogique d’électricité 1 Downloaded by Laïké Camara ([email protected]) lOMoARcPSD|37388557 Électrostatique Travaux Dirigés a) Montrer par des considérations de symétrie que le champ électrostatique ⃗ ( ) au point est nul. de b) Montrer, sans calcul, que le champ ⃗ ( ) créé par le cerceau en un point l’axe ( ) est porté cet axe. 𝑨 c) Établir l’expression de ⃗ ( ). Donner l’allure de ( ) en fonction de ̅̅̅̅̅. 3) On s’intéresse à présent au champ ⃗ ( ) créé par un disque ( ) de rayon , uniformément chargé et de densité surfacique en un point de l’axe ( ). Afin d’utiliser le résultat de la question 2) on admettra que ( ) est obtenu en superposant un grand nombre de cerceaux concentriques, de centre et dont les rayons varient de à (FIG. (2)). 𝑶 𝒛 a) En considérant le principe de conservation de charge électrique et en écrivant que la charge portée par le fil ( ) est maintenant portée par le fil de même rayon mais d’épaisseur , établir que . Quel est le signe de ? Justifier. 𝜽 𝒓 𝑨 𝒓 (𝑪) 𝑶 (𝑫) b) Calculer l’intensité du champ électrostatique ⃗ ( ) créé par ( ) au point pour . Étudier la conti. Conclure. nuité de ( ) en (𝑭) 𝑴 𝒅𝒓 𝒛 ( ) c) Établir les valeurs limites de pour tendant vers zéro. Quelle est la signification physique de ce résultat ? 𝒛 𝑴 𝒛 FIG. (2) 1) Calculer le potentiel ( ) en tout point d’abscisse d’un axe orthogonal à un disque de rayon uniformément chargé avec une densité surfacique de charges (Fig. (3)). 𝒙 𝑹𝟎 𝑶 𝑴 𝒅 𝒙 𝒙 FIG. (3) 2) Calculer en particulier le potentiel au point 2021/2022 ―2― −𝝈 𝑹𝟎 𝑶 +𝝈 𝑴 𝒙 le centre du disque. Équipe Pédagogique d’électricité 1 Downloaded by Laïké Camara ([email protected]) lOMoARcPSD|37388557 Électrostatique Travaux Dirigés 3) On considère, maintenant une plaque circulaire d’épaisseur et de rayon pourvue d’une densité surfacique de charges positive (+ ) sur l’une de ses faces et d’une densité surfacique de charges (− ) sur l’autre face (Fig. (4)). a) Calculer le potentiel créé par cet ensemble en un point d’abscisse situé le long de l’axe orthogonal à la plaque passant par son centre . On supposera que et de manière à effectuer le développement limité approprié. On supposera par ailleurs que le point appartient à la face chargée positivement. b) Calculer ensuite le champ ⃗ ( ) au point . Deux tiges en formes d’arcs de cercle de rayons et ( ) sont respectivement chargées uniformément avec les densités linéiques de charges + et – . Ces arcs forment un angle symétrique par rapport à l’axe des (FIG. (4)). 𝒛 𝒚 𝑶 𝑴(𝟎, 𝟎, 𝒛) 𝜶 𝑹𝟏 𝜽 𝜽𝟎 −𝜽𝟎 𝒙 𝑹𝟐 𝜽 𝒙 𝑹𝟐 𝒚 FIG. (4) ( ) à l’origine , produit par la distribu1) Déterminer le potentiel électrostatique ( ) produit par la tion positive en fonction de , et . En déduire le potentiel distribution négative au point . 2) En utilisant le principe de superposition, calculer le potentiel électrostatique total ( ) au point . 3) Quel serait le potentiel électrostatique à l’origine charges sont : a) et − − si les distribuions linéiques de et − b) − L’ensemble de deux charges ponctuelles − et + situées respectivement aux points et telles que , constituent un dipôle électrostatique que l’on caractérise par 2021/2022 ―3― Équipe Pédagogique d’électricité 1 Downloaded by Laïké Camara ([email protected]) lOMoARcPSD|37388557 Électrostatique Travaux Dirigés son moment dipolaire rigé de vers . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , où ⃗ est un vecteur unitaire porté par et di- 1) Étudier les symétries et les invariances du système ? Quelles en sont les conséquences pour le potentiel ( ) et champ ⃗ ( ), en un point quelconque de l’espace ? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et . On 2) Établir l’expression de ( ) dans le cas où en fonction de , désignera par l’angle formé par les vecteurs ⃗ et . 3) Déterminer les composantes , et de ⃗ ( ) en coordonnées sphériques. 4) Donner l’allure des lignes de champ et des surfaces équipotentielles du dipôle. 5) Le dipôle est placé dans un champ extérieur ⃗ quelconque. a) Exprimer la force résultante et le moment du couple s’exerçant sur le dipôle en fonction de son moment dipolaire. b) Quelles sont les actions de ce couple et de la force sur le dipôle ? existe-il une position d’équilibre du dipôle ? c) Établir l’expression de l’énergie d’interaction rieur en fonction des données du problème. 2021/2022 ―4― entre le dipôle et le champ exté- Équipe Pédagogique d’électricité 1 Downloaded by Laïké Camara ([email protected])
