FONCTIONS CIRCULAIRES Cours Seconde 1. Le radian 1) Définitions a) Définition 1 Définition 1 : On appelle cercle trigonométrique tout cercle dont le rayon est égal à l’unité de longueur et sur lequel on a choisi un sens de rotation direct ou sens positif comme indiqué sur la figure. + 1 O b) Définition 2 Définition 2 : Sur un cercle trigonométrique, un angle au centre de mesure 1 radian intercepte un arc dont la longueur est égale à une unité de longueur. Remarques : • Le radian est une unité de mesure des angles dont l’abréviation est rad . • Soit la longueur l d’un arc de cercle de rayon R qui intercepte un angle au centre de mesure, en radians, θ ; alors l = R × θ. (faire un dessin). 2) Propriétés a) Propriété 1 Propriété 1 : Sur un cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle au centre est égale à la mesure, en unités de longueur, de l’arc qu’il intercepte. -1- a même mesure que l’arc AB . L’angle AOB Exemple : Soit un demi-cercle de rayon 1 unité. La longueur de ce demi-cercle vaut π × 1 unités de longueur. La mesure de l’angle au centre plat est donc π radians. b) Propriété 2 Propriété 2 : La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés. Un angle au centre plat a pour mesure 180 degrés ou π radians. Exemples : • Convertir 24 degrés en radians. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on obtient : 2π 24 degrés = rad ≈ 0,42 rad 15 3π radians en degrés. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on 5 3π rad = 108 degrés obtient : 5 • Convertir 2. Sinus et cosinus ) ( Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; OI, OJ . On considère le cercle trigonométrique de centre O. À tout nombre réel x, on peut associer un point N unique d’un axe d’origine I représentant les nombres réels. On imagine que l’on enroule cet axe comme un fil autour du cercle trigonométrique. On obtient ainsi un point M unique du cercle trigonométrique. Le nombre réel x est une mesure en radians de l’arc d’origine I et d’extrémité M. 1) Définition Définition 3 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique. - L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos x. - L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin x. -2- Remarques : • Le demi-axe représentant les nombres réels positifs est enroulé autour du cercle trigonométrique dans le sens direct. La mesure correspondante est un nombre réel positif. Le demi-axe représentant les nombres réels négatifs est enroulé dans le sens indirect. La mesure correspondante est un nombre réel négatif. • Tout cercle trigonométrique a pour longueur 2π, par conséquent aux deux nombres réels x et x - 2π est associé à un même point du cercle trigonométrique. Ainsi aux nombres réels x - 4π, x - 2π, x + 2π, x + 4π, …, est associé le même point du cercle trigonométrique. Ces nombres ont donc le même sinus et le même cosinus. • Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle : π Soit x ∈ 0 ; et M le point du cercle trigonométrique associé à x. 2 = OH et sin HOM = HM . Dans le triangle rectangle OMH, on a : cos HOM OM OM Or OH = cos x, HM = OK = sin x et OM = 1. = cos x et sin HOM = sin x . Donc, cos HOM ( ( ) ( ) ( ) ) On en déduit que les deux définitions du cosinus et du sinus sont cohérentes. B M K x O H A 2) Théorème Théorème : Valeurs remarquables : On lit le cosinus et le sinus du nombre réel x respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées. Mesures en degrés 0 30 45 60 90 180 Mesures en radians 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π sinus 0 1 2 2 2 3 2 1 0 cosinus 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 -3- 3) Propriétés élémentaires Propriété 3 : Pour tout x réel, -1 ≤ cos x ≤ 1 ; -1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1 Démonstration : Le cercle trigonométrique (C) a pour rayon 1, alors tout point de (C) a une abscisse et une ordonnée comprise entre – 1 et 1. De plus, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, on obtient : OM2 = OH2 + HM2 = ( cos x ) + ( sin x ) . 2 2 Comme M appartient à (C), alors OM = 1. D’où, ( cos x ) + ( sin x ) = 1 , que l’on écrit 2 2 également cos2 x + sin2 x = 1. Propriété 4 : Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. Démonstration : D’après la 2ème remarque du 2. 1) 3. Fonctions trigonométriques 1) Fonction cosinus Propriété 5 : La fonction cosinus est définie sur R et prend ses valeurs dans l’intervalle [- 1 ; 1]. Elle est décroissante sur l’intervalle [0 ; π]. Sur [0 ; π], elle admet un maximum égal à 1, atteint en 0, et un minimum égal à – 1, atteint en π. Démonstration : Soit a et b deux réels quelconques de [0 ; π]. Si a ≤ b, alors cos a ≥ cos b. M(a) M(b) x cosb O Donc la fonction cosinus est décroissante sur [0 ; π]. -4- cosa Tableau de variations : x π 2 0 π 1 0 cos x -1 Représentation graphique : 2) Fonction sinus Propriété 6 : La fonction sinus est définie sur R et prend ses valeurs dans l’intervalle π π [- 1 ; 1]. Elle est croissante sur l’intervalle 0 ; et décroissante sur l’intervalle ; π . 2 2 π Sur [0 ; π], elle admet un maximum égal à 1, atteint en . 2 π Démonstration : • Soit a et b deux réels quelconques de 0 ; . Si a ≤ b, alors sin a ≤ sin b. 2 M(b) sinb M(a) sina x O π Donc la fonction sinus est croissante sur 0 ; . 2 -5- π • Soit a et b deux réels quelconques de ; π . Si a ≤ b, alors sin a ≥ sin b. 2 M(a) sina M(b) sinb x O π Donc la fonction sinus est décroissante sur ; π . 2 Tableau de variations : x π 2 1 0 π sin x 0 0 Représentation graphique : 3) Propriété Propriété 7 : La représentation graphique de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Celle de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine. Démonstration : Aux deux nombres x et – x, on associe deux points M et M’ du cercle trigonométrique qui sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Par conséquent, deux nombres réels opposés ont même cosinus et des sinus opposés. Quel que soit le nombre réel x, cos (- x) = cos x et sin (- x) = - sin x. On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. -6-