MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. 1 −6 8 3 On considère la matrice A = 0 7 22 17 0,1 1) Donner le format de A 2) Donner la valeur de chacun des éléments 4 11 . 8 a14 , a23 , a33 et a32 t 3) Ecrire la matrice transposée A de A et donner son format Exercice n°2. 5 ... 7 ... 9 ... Soit la matrice A = . 8 ... 0 7 1 3 1) Compléter l’écriture de A de format 4 × 3 avec : a32 = 5 , a23 = −4 , a21 = 8 et a12 = 11 2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n°3. 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée. 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ j ≤ 3 , le terme aij soit donné par la formule aij = 2i − j Exercice n°4. 2 5 7 2 On donne A = et B = . 3 −1 −1 −3 Calculez A + B , A − B , 3 A , 4B , 3 A − 4 B Exercice n°5. x 5 y 7 On donne A = et B = . 0 2x −1 3 y 4 12 1) Trouver x et y pour que A + B = −1 17 −5 −18 2) Trouver x et y pour que 2 A − 4 B = 4 −16 Exercice n°6. 1 3 −2 0 −4 6 On considère les matrices A, B et C définies par A = −4 2 , B = −2 1 et C = −14 7 0 7 8 1 24 17 Trouver deux réels x et y tels que xA + yB = C . Page 1/11 [email protected] Exercice n°7. Effectuer les produits suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible, dire pourquoi. 2 5 2 5 2 5 2 5 b) a) 4 6× 3 6 3 6× 4 6 4 7 4 7 c) ( −1 e) 1 2 3 0 −1 6 4 5 ) × 2 4 −2 3 5 3 −1 2 5 0 × 3 6 5 4 1 2 3 4 1 2 3 d) f) Exercice n°8. Calculer, puis comparer les produits A × B et B × A −1 8 4 2 a) A= et B = 2 11 −5 8 2 1 5 2 c) A= et B = 1 1 2 3 5 0 1 6 3× 2 1 2 3 0 5 2 −1 6 × 0 4 7 4 b) −1 0 5 7 8 2 3 5 6 4 8 3 9 A= et B = 1 2 1 1 Exercice n°9. Dans chacun des cas, calculer les produits A × B et B × A . Quelle particularité présente-t-il ? 6 −12 12 6 a) A= et B = −3 6 6 3 2 4 0 2 b) A= et B = −1 −2 0 −1 Exercice n°10. x 1 où x est un réel. 2 3 On considère la matrice A définie par A = 6 1 2 11 Déterminer x pour que A2 = Exercice n°11. 4 8 3 9 2 Calculez et comparez A2 + 2 AB + B 2 et ( A + B ) avec : A = et B = 1 2 1 1 Exercice n°12. 1 1 1 0 Soit les deux matrices A = et I 2 = . 5 6 0 1 a b a b On se propose de rechercher s’il existe une matrice telle que A × = I2 . c d c d 1) Traduire cette égalité par un système de quatre équations à quatre inconnues 2) Résoudre ce système a b 3) Pour les valeurs trouvées a,b,c, et d , on pose A−1 = c d Vérifier que A−1 × A = A × A−1 = I 2 Page 2/11 [email protected] Exercice n°13. Définir pour chaque système la matrice A et le vecteur colonne C tels que le système donné soit équivalent à l’égalité matricielle A × X = C −5 x + 3 y = 2 2, 23 x − 5, 5 y = 12 1) 2) − x + y = 5 0, 2 x + y = 7 3x − y = 15 3x − y + 2 z = 7 4) y + 7 z = 12 3) 5 x + y − z = 8 x + y = 25 − x + 3 y + 7 z = −22 x + y + z = −5 5) − y + z = 2 3 x + 6 y = x + z + 31 6) 7 y + 2 z = x − y + 27 Exercice n°14. 3 −10 On considère la matrice A = −2 8 1) A l’aide de la calculatrice, donner la matrice inverse A−1 (mettre les coefficients sous forme fractionnaire) 2) En déduire la résolution des systèmes suivants : 3 x − 10 y = 1,5 3 x − 10 y = 15 3 x − 10 y = 1, 25 3 x − 10 y = 4 c) a) b) d) −2 x + 8 y = −0, 4 −2 x + 8 y = 0,5 −2 x + 8 y = 7 −2 x + 8 y = −5 Exercice n°15. x + y+ z = a 1) On considère le système 2 x + y + 3 z = b où x,y,z,a,b et c sont des nombres réels. x − y + 2z = c Exprimer les nombres réels x,y et z en fonction de a,b et c 1 1 1 2) On considère la matrice A = 2 1 3 . 1 −1 2 Montrer que la matrice A ,est inversible et donner l’expression de A−1 Exercice n°16. a b On suppose que A = où a,b,c et d sont des réels tels que ad − bc ≠ 0 c d x y 1 0 1) Trouver en fonction de a,b,c et d les réels x,y,t et t tels que : A × = z t 0 1 1 d −b 2) Vérifier que A admet pour matrice inverse : A−1 = ad − bc −c a Page 3/11 [email protected] MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n°1 1) La matrice A est de format 3 × 4 puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) a14 est le nombre figurant à l’intersection de la 1ère ligne et de la 4ème colonne, donc a14 = 4 a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2ère ligne et de la 3ème colonne, donc a23 = 3 a33 est le nombre figurant à l’intersection de la 3ème ligne et de la 3ème colonne, donc a33 = 0,1 a32 est le nombre figurant à l’intersection de la 3ème ligne et de la 2ème colonne, donc a32 = 17 3) La matrice transposée At de A s’obtient en intervertissant lignes et colonnes de A. 1 0 22 −6 7 17 On obtient donc At = . La matrice At est donc de dimension 4 × 3 8 3 0,1 4 11 8 Exercice n°2 5 ... 7 ... 9 ... Soit la matrice A = . 8 ... 0 7 1 3 1) a32 est le nombre figurant à l’intersection de la 3ème ligne et de la 2ème colonne a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2ème ligne et de la 3ème colonne a21 est le nombre figurant à l’intersection de la 2ème ligne et de la 1ère colonne a12 est le nombre figurant à l’intersection de la 1ère ligne et de la 2ème colonne 5 11 7 8 9 −4 On complète ainsi la matrice A : A = 8 5 0 7 1 3 2) La matrice transposée At de A s’obtient en intervertissant lignes et colonnes de A. 5 8 8 7 t On obtient donc A = 11 9 5 1 . La matrice At est donc de dimension 3 × 4 7 −4 0 3 Exercice n°3 1) Toute matrice antisymétrique possède une transposée égale à son opposée. 0 −1 0 1 t Par exemple, si on considère la matrice A = , on aura A = = −A 1 0 −1 0 2) L’indication 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ j ≤ 3 nous donne le format de la matrice A : il s’agit d’une matrice 3 × 3 . De plus on calcule successivement a11 = 2 − 1 = 1 , a12 = 2 − 2 = 0 , a13 = 2 − 3 = −1 , a21 = 4 − 1 = 3 , a22 = 4 − 2 = 2 , a23 = 4 − 3 = 1 , a31 = 6 − 1 = 5 , a32 = 6 − 2 = 4 et a33 = 6 − 3 = 3 . 1 0 −1 La matrice A est donc : A = 3 2 1 5 4 3 Page 4/11 [email protected] Exercice n°4 On calcule successivement : 5+ 2 9 7 2 5 7 2 2+7 A+ B= + = = 3 −1 −1 −3 3 + ( −1) −1 + ( −3) 2 −4 5 − 2 −5 3 2 5 7 2 2−7 A− B= − = = 3 −1 −1 −3 3 − ( −1) −1 − ( −3) 4 2 3 × 5 6 15 4× 7 2 5 3× 2 3A = 3× = ; 4B = = 3 −1 3 × 3 3 × ( −1) 9 −3 4 × ( −1) 15 − 8 −22 6 15 28 8 6 − 28 3A − 4B = − = = 9 −3 −4 −12 9 − ( −4 ) −3 − ( −12 ) 13 4 × 2 28 8 = 4 × ( −3) −4 −12 7 9 Exercice n°5 5+7 x + y 12 x 5 y 7 x+ y + = 1) On exprime d’une part A + B = = 0 2 x −1 3 y 0 + ( −1) 2 x + 3 y −1 2 x + 3 y 12 4 12 4 12 x+ y On aura l’égalité A + B = si et seulement si = donc par identification des −1 17 −1 2 x + 3 y −1 17 x + y = 4 différents termes si et seulement si . On résout ce système par substitution : 2 x + 3 y = 17 y = 4− x L1 L1 y = 4− x L1 x+ y = 4 ⇔ ⇔ 2 x + 3 y = 17 L2 2 x + 12 − 3 x = 17 L2 2 x + 3 ( 4 − x ) = 17 L2 y = 4 − ( −5 ) L1 y = 4 − x L1 y = 9 L1 ⇔ ⇔ ⇔ L2 − x = 5 L2 x = −5 L2 x = −5 4 12 L’égalité A + B = aura donc lieu pour x = −5 et y = 9 −1 17 −18 2 x 10 4 y 28 2 x − 4 y 2) On exprime d’une part 2 A − 4 B = − = 4 x − 12 y 0 4 x −4 12 y 4 −18 −5 −18 −5 −18 2x − 4 y On aura l’égalité 2 A − 4 B = si et seulement si = donc par 4 x − 12 y 4 −16 4 −16 4 2 x − 4 y = −5 identification des différents termes si et seulement si . On résout ce système par substitution : 4 x − 12 y = −16 L1 2 x − 4 y = −5 L1 2 x = 4 y − 5 2 x − 4 y = −5 L1 ⇔ 1 ⇔ 1 4 x − 12 y = −16 L2 2 x − 6 y = −8 2 L2 −2 y = −3 2 L2 − L1 3 L1 L1 2 x = 1 2 x = 4 × 2 − 5 ⇔ ⇔ ⇔ 3 1 3 1 y= L2 − L1 y= L2 − L1 2 2 2 2 1 x = 2 y = 3 2 L1 1 L2 − L1 2 −5 −18 1 3 L’égalité 2 A − 4 B = aura donc lieu pour x = et y = 2 2 4 −16 Page 5/11 [email protected] Exercice n°6 1 3 −2 0 x − 2 y On calcule : xA + yB = x −4 2 + y −2 1 = −4 x − 2 y 0 7 8 1 8y x − 2y On aura l’égalité xA + yB = C si et seulement si −4 x − 2 y 8y 3x 2x + y . 7 x + y 3x −4 6 2 x + y = −14 7 , donc par identification des 7 x + y 24 17 x − 2 y = −4 3 x = 6 −4 x − 2 y = −14 x = 2 ⇔ termes, si et seulement si y = 3 2 x + y = 7 8 y = 24 7 x + y = 17 Exercice n°7 a) Les matrices étant respectivement de format 3 × 2 et 2 × 2 , leur produit est bien défini et est une matrice 3 × 2 . On a alors : 2 5 2 × 2 + 5 × 4 2 × 5 + 5 × 6 24 40 3 6 × 2 5 = 3 × 2 + 6 × 4 3 × 5 + 6 × 6 = 30 51 4 7 4 6 4 × 2 + 7 × 4 4 × 5 + 7 × 6 36 62 b) Les matrices étant respectivement de format 2 × 2 et 3 × 2 , leur produit est impossible à définir. c) Les matrices étant respectivement de format 1× 3 et 3 × 3 , leur produit est bien défini et est une matrice 1× 3 . On a alors : 0 −1 6 ( −1 4 5) × 2 4 −2 = ( −1× 0 + 4 × 2 + 3 × 5 −1× ( −1) + 4 × 4 + 5 × 5 −1× 6 + 4 × ( −2 ) + 5 × 3) 3 5 3 = ( 23 42 1) d) Les matrices étant respectivement de format 3 × 3 et 3 × 2 , leur produit est bien défini et est une matrice 3 × 2 . On a alors : 2 5 0 1 −1 2 × 1 + 5 × 2 + 0 × 3 2 × ( −1) + 5 × 0 + 0 × 5 12 −2 3 6 3 × 2 0 = 3 × 1 + 6 × 2 + 3 × 3 3 × −1 + 6 × 0 + 3 × 5 = 24 12 ( ) 4 1 2 3 5 4 × 1 + 1× 2 + 2 × 3 4 × ( −1) + 1× 0 + 2 × 5 12 6 e) Les matrices étant respectivement de format 3 × 2 et 3 × 2 , leur produit est impossible à définir. f) Les matrices étant respectivement de format 3 × 3 et 3 × 3 , leur produit est bien défini et est une matrice 3 × 3 . On a alors : 1× 7 + 0 × 2 + 5 × 5 1× 8 + 0 × 3 + 5 × 6 1 0 5 2 7 8 1× 2 + 0 × 0 + 5 × 4 2 −1 6 × 0 2 3 = 2 × 2 + −1 × 0 + 6 × 4 2 × 7 + −1 × 2 + 6 × 5 2 × 8 + −1 × 3 + 6 × 6 ( ) ( ) ( ) 3 4 7 4 5 6 3× 2 + 4 × 0 + 4 × 7 3 × 7 + 4 × 2 + 7 × 5 3 × 8 + 4 × 3 + 7 × 6 22 32 38 = 28 42 49 34 64 78 Page 6/11 [email protected] Exercice n°8 Pour chaque exemple, les matrices étant carrées de même format, leur produit dans les deux sens est bien défini −1 8 4 2 a) Si A = et B = , alors : 2 11 −5 8 −1 8 4 2 −1× 4 + 8 × ( −5 ) −1× 2 + 8 × 8 −44 62 A× B = = × = 2 11 −5 8 2 × 4 + 11× ( −5 ) 2 × 2 + 11× 8 −47 92 4 2 −1 8 4 × ( −1) + 2 × 2 et B × A = × = −5 8 2 11 ( −5 ) × ( −1) + 8 × 2 4 × 8 + 2 × 11 0 54 = ( −5 ) × 8 + 8 ×11 21 48 On constate que A × B ≠ B × A 4 8 3 9 b) Si A = et B = , alors : 1 2 1 1 4 8 3 9 4 × 3 + 8 × 1 4 × 9 + 8 × 1 20 44 A× B = × = = 1 2 1 1 1× 3 + 2 × 1 1× 9 + 2 × 1 5 11 3 9 4 8 3 × 4 + 9 × 1 3 × 8 + 9 × 2 21 42 et B × A = × = = 1 1 1 2 1× 4 + 1× 1 1× 8 + 1× 2 5 10 On constate que A × B ≠ B × A 2 1 5 2 c) Si A = et B = , alors : 1 1 2 3 2 1 5 2 2 × 5 + 1× 2 2 × 2 + 1× 3 12 7 A× B = × = = 1 1 2 3 1× 5 + 1 × 2 1 × 2 + 1× 3 7 5 5 2 2 1 5 × 2 + 2 × 1 5 × 1 + 2 × 1 12 7 et B × A = × = = 2 3 1 1 2 × 2 + 3 ×1 2 × 1 + 3 ×1 7 5 On constate cette fois ci que A × B = B × A , mais ce n’est surtout pas une règle générale ! Exercice n°9 Dans chaque cas, les matrices étant carrées de même format, leur produit est bien défini et est une matrice 2 × 2 6 −12 12 6 a) Si A = et B = , alors : −3 6 6 3 6 −12 12 6 6 × 12 + ( −12 ) × 6 6 × 6 + ( −12 ) × 3 0 0 A× B = = × = −3 6 6 3 ( −3 ) × 12 + 6 × 6 ( −3) × 6 + 6 × 3 0 0 On constate que le produit A × B est nul sans pour autant que A ou B soit la matrice nulle 2 4 0 2 b) Si A = et B = , alors : −1 −2 0 −1 2 × 2 + 4 × ( −1) 0 0 2 4 0 2 2× 0 + 4× 0 A× B = × = −1 × 0 + −2 × 0 −1 × 2 + −2 × −1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 −1 −2 0 −1 ( ) On constate que le produit A × B est nul sans pour autant que A ou B soit la matrice nulle Page 7/11 [email protected] Exercice n°10 x 1 x 1 x × x + 1× 2 x ×1 + 1× 3 x 2 + 2 x + 3 6 1 2 On calcule A = . Pour avoir A = × = = , il 2 3 2 3 2 × x + 3 × 2 2 ×1 + 3 × 3 2 x + 6 11 2 11 x2 + 2 = 6 x2 + 2 x + 3 6 1 suffit d’avoir = ⇔ x + 3 = 1 , ce qui se produit si et seulement x = −2 2 x + 6 11 2 11 2 x + 6 = 2 2 Exercice n°11 4 8 4 8 4 × 4 + 8 × 1 4 × 8 + 8 × 2 24 40 On calcule : A2 = × = = , puis 1 2 1 2 1× 4 + 2 × 1 1× 8 + 2 × 2 6 12 3 9 3 9 3 × 3 + 9 ×1 3 × 9 + 9 × 1 18 36 B2 = × = = , 1 1 1 1 1× 3 + 1×1 1× 9 + 1× 1 4 10 4 8 3 9 4 × 3 + 8 ×1 et enfin A × B = × = 1 2 1 1 1× 3 + 2 × 1 On peut ainsi calculer : 24 40 20 44 18 + 2× A2 + 2 AB + B 2 = + 6 12 5 11 4 4 × 9 + 8 × 1 20 44 = . 1× 9 + 2 × 1 5 11 36 10 24 40 40 88 18 36 82 164 = + + = 6 12 10 22 4 10 20 44 4 8 3 9 7 17 D’autre part, A + B = + = , 1 2 1 1 2 3 7 17 7 17 7 × 7 + 17 × 2 7 × 17 + 17 × 3 83 170 2 d’ou : ( A + B ) = × = = 2 3 2 3 2 × 7 + 3 × 2 2 × 17 + 3 × 3 20 42 On constate que A2 + 2 AB + B 2 ≠ ( A + B ) 2 Exercice n°12 a + c = 1 b + d = 0 a b 1 1 a b 1 0 1) L’équation matricielle A × . = I 2 se traduit par le système : = ⇔ 5 6 c d 0 1 c d 5a + 6c = 0 5b + 6d = 1 a + c = 1 a = 1 − c a = 1 − c a = 1 − ( −5 ) = 6 2) On résout séparément deux systèmes : , ⇔ ⇔ ⇔ 5a + 6c = 0 c = −5 5 (1 − c ) + 6c = 0 c = −5 b + d = 0 b = − d = −1 b = − d et ⇔ ⇔ 5b + 6d = 1 5 ( −d ) + 6d = 1 d = 1 6 −1 3) On pose : A−1 = . −5 1 6 −1 1 1 6 × 1 + ( −1) × 5 6 × 1 + ( −1) × 6 1 0 On calcule, d’une part = × = −5 1 5 6 ( −5 ) × 1 + 1 × 5 ( −5 ) × 1 + 1 × 6 0 1 1 1 6 −1 1× 6 + 1× ( −5 ) 1× ( −1) + 1× 1 1 0 Et d’autre part = × = . 5 6 −5 1 5 × 6 + 6 × ( −5 ) 5 × ( −1) + 6 × 1 0 1 On a bien vérifié bien que A−1 × A = A × A−1 = I 2 Page 8/11 [email protected] Exercice n°13 −5 3 x 2 −5 x + 3 y = 2 est équivalent à A= , X = et C = , le système − x + y = 5 −1 1 y 5 −5 3 x 2 × = , c’est-à-dire à A × X = C −1 1 y 5 2, 23 −5,5 x 12 2, 23 x − 5, 5 y = 12 2) En posant A = est équivalent à , X = et C = , le système 1 0, 2 y 7 0, 2 x + y = 7 A× X = C 3x − y + 2 z = 7 3 −1 2 x 7 est équivalent à 3) En posant A = 5 1 −1 , X = y et C = 8 , le système 5 x + y − z = 8 −1 3 7 z −22 − x + 3 y + 7 z = −22 A× X = C 3x − y = 15 3x − y + 0 z = 15 4) Le système y + 7 z = 12 se réécrit 0 x + y + 7 z = 12 x + y = 25 x + y + 0 z = 25 1) En posant 3 −1 0 x 15 En posant A = 0 1 7 , X = y et C = 12 , le système 1 1 0 z 25 x + y + z = −5 x + y + z = −5 5) Le système se réécrit − y + z = 2 0 x − y + z = 2 x 1 1 1 −5 En posant A = , X = y et C = , le système 0 −1 1 2 z 3x − y = 15 y + 7 z = 12 est équivalent à A × X = C x + y = 25 x + y + z = −5 est équivalent à A × X = C − y + z = 2 x 3 x + 6 y = x + z + 31 2 x + 6 y − z = 31 2 6 −1 6) Le système se réécrit . En posant A = , X = y et 7 y + 2 z = x − y + 27 − x + 8 y + 2 z = 27 −1 8 2 z 31 3 x + 6 y = x + z + 31 C = , le système est équivalent à A × X = C 27 7 y + 2 z = x − y + 27 Exercice n°14 1) Grâce à la calculatrice, on saisit la matrice A et on calcule son inverse Obtention de la matrice inverse : Saisie de la matrice A 3 x − 10 y = 4 x 2) a) Le système s’écrit A × X = C avec X = et −2 x + 8 y = 7 y 2 x Puisque la matrice A est inversible, on aura X = A−1C ⇔ = y 1 2 Page 9/11 4 C = . 7 5 5 51 x = 2× 4 + × 7 = 4 2 × 2 2 ⇔ 3 7 y = 1 × 4 + 3 × 7 = 29 4 2 4 4 [email protected] 51 29 Le système admet donc pour ensemble de solution : S = ; 2 4 x 1, 5 3 x − 10 y = 1,5 b) Le système s’écrit A × X = C avec X = et C = . Puisque la matrice A est y −0, 4 −2 x + 8 y = −0, 4 5 5 2 x = 2 ×1,5 + × ( −0, 4 ) = 2 x 2 1,5 2 inversible, on aura X = A−1C ⇔ = × ⇔ 1 3 0, 4 1 y − y = × 1,5 + 3 × ( −0, 4 ) = 0, 45 2 4 2 4 Le système admet donc pour ensemble de solution : S = {( 2;0, 45)} 3 x − 10 y = 15 x 15 c) Le système s’écrit A × X = C avec X = et C = . −2 x + 8 y = −5 y −5 5 5 2 x = 2 ×15 + × ( −5 ) = 17, 5 x 2 15 2 Puisque la matrice A est inversible, on aura X = A−1C ⇔ = × ⇔ 1 3 5 1 y − y = × 15 + 3 × ( −5 ) = 3, 75 2 4 2 4 Le système admet donc pour ensemble de solution : S = {(17,5;3, 75)} 3 x − 10 y = 1, 25 x 1, 25 s’écrit A × X = C avec X = et C = d) Le système . Puisque la matrice A est −2 x + 8 y = 0,5 y 0, 5 5 5 2 x = 2 × 1, 25 + × 0, 5 = 3, 75 x 2 × 1, 25 ⇔ 2 inversible, on aura X = A−1C ⇔ = 1 3 0,5 1 y y = × 1, 25 + 3 × 0, 5 = 1 2 4 2 4 Le système admet donc pour ensemble de solution : S = {( 3, 75;1)} Exercice n°15 1) On a : x + y + z = a L1 x + y + z = a L1 2 x + y + 3 z = b L2 ⇔ x − y + 2 z = c L2 x − y + 2z = c L 2 x + y + 3z = b L 3 3 ⇔ ⇔ renumérotation des lignes x + y+ z = a L1 L1 x=a− y−z − 2 y + z = c − a L4 = L2 − L1 ⇔ − y = c − b + a L4 − L5 z = b − 2a + y − y + z = b − 2a L5 = L3 − 2 L1 L5 x = a − ( −a + b − c ) − ( −3a + 2b − c ) x = a − ( −a + b − c ) − z L1 L1 y = −a + b − c L4 − L5 ⇔ y = −a + b − c L4 − L5 z = b − 2a + ( − a + b − c ) L5 z = −3a + 2b − c L5 L1 x = 5a − 3b + 2c ⇔ y = −a + b − c L4 − L5 z = −3a + 2b − c L5 1 1 1 2) Si on note A = 2 1 3 , 1 −1 2 matriciellement par AX = B x a x + y+ z = a X = y et B = b , alors le système 2 x + y + 3 z = b se traduit x − y + 2z = c z c Page 10/11 [email protected] x + y+ z = a x = 5a − 3b + 2c 2 x + y + 3z = b ⇔ y = − a + b − c , z = −3a + 2b − c x − y + 2z = c 5 −3 2 alors en notant C = −1 1 −1 on aura Puisque l’on a −3 2 −1 −1 AX = B ⇔ X = CB . Or si A est inversible, on a l’équivalence AX = B ⇔ X = A B , ce qui nous permet 5 −3 2 d’affirmer que la matrice A est inversible, et que A = −1 1 −1 −3 2 −1 −1 Exercice n°16 a b x 1) On résout le système × c d z ax + bz = 1 y 1 0 ay + bt = 0 = ⇔ t 0 1 cx + dz = 0 cy + dt = 1 L1 L2 en résolvant séparément les systèmes L3 L4 ax + bz = 1 L1 ay + bt = 0 L1 et . cx + dz = 0 L2 cy + dt = 1 L2 On résout le premier système : cL1 acx + bcz = c cL1 acx + bcz = c ax + bz = 1 L1 acx + bcz = c cL1 ⇔ ⇔ ⇔ c cx + dz = 0 L2 acx + adz = 0 aL2 ( ad − bc ) z = −c aL2 − cL1 z = − ad − bc aL2 − cL1 ad − bc ≠ 0 ) d dL1 − bL2 ( ad − bc ) x = d dL1 − bL2 ax + bz = 1 L1 adx + bdz = d dL1 x= ⇔ ⇔ ⇔ et ad − bc bL2 cx + dz = 0 L2 bcx + bdz = 0 bL2 bcx + bdz = 0 bcx + bdz = 0 bL2 ad − bc ≠ 0 ) On résout le deuxième système : cL1 acy + bct = 0 cL1 acy + bct = 0 ay + bt = 0 L1 acy + bct = 0 cL1 ⇔ ⇔ ⇔ a cy + dt = 1 L2 acy + adt = a aL2 ( ad − bc ) t = a aL2 − cL1 t = ad − bc aL2 − cL1 ad − bc ≠ 0 ) −b dL1 − bL2 ( ad − bc ) y = −b dL1 − bL2 ay + bt = 0 L1 ady + bdt = 0 dL1 y= et ⇔ ⇔ ⇔ ad − bc bL2 cy + dt = 1 L2 bcy + bdt = b bL2 bcy + bdt = b bcy + bdt = b bL2 ad − bc ≠ 0 ) d x = ad − bc y = −b ad − bc 2) On a ainsi . Si A est inversible, on a l’équivalence AX = I ⇔ X = A−1 I = A−1 , ce qui c z = − ad − bc a t = ad − bc −b d 1 d −b ad − bc ad − bc permet d’affirmer que la matrice A est inversible, et que A−1 = = . a ad − bc −c a −c ad − bc ad − bc Page 11/11 (car (car (car (car nous [email protected]
