Centre Universitaire de Mila
Année universitair e 2023 / 2024
Institut des Mathématiques et Informatique
Semestre
Domaine: LMD-Math (1"'année)
Analyse
I
Durée 1 â 30
I
Examen
1010712024
Exercice 1: (6 pts)
Soient
(u") et (u,) deux suites numériques définies par la donnée de zs, u6 âvêc 0 ( uo (
u6 et
les formules de récurrence:
2unun
un*r: ,t!,n
et unrr:u*!'n.
t'-L
l,un
1) Montrer que
2
<,un.
vn € N, o l,trn
@
2) Montrer que les deux suites (2,) et (u,) sont convergentes.
--=\
(Qg
3) En déduire qu'elles convergent vers la même limite. Calculer cette lim ite.
@
Exercice 2: (7.5 pts)
L) Calculer les limites suivantes:
@
,ê\
,irr, @' :
,r_
;';î) \fr + r _ \Æ=n'
2) Soit g une fonction définie sur IR par
(cos gr)
[m ln
avec a)b e IR..
;a'ô
h(cosbr)
:
(
, \ : | r- 1
g\r)
\
lclnr*ô
@
si r<e
si r)e
- Déterminer les nombres réels a et b pour que g soit dérivable sur IR. Calculer o'(r).
Exercice 3: (6.5 pts)
1) Montrer que:
#<
2) Montrer
q""
i#
h(n+
1)
- ln(n)
1
<-tm
Vn,
€ N".
est irrationnel.
3) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure; si elles existent, de la partie A de R
définie par:
A:{,i,
H;
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Bon courage
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