See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/356289163 Logiciel de Simulation en Génie Mécanique Abaqus Book · November 2021 CITATION READS 1 16,195 2 authors, including: Deghboudj Samir Université de Tébessa 62 PUBLICATIONS 112 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Deghboudj Samir on 17 November 2021. The user has requested enhancement of the downloaded file. République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Larbi Tébessi-Tébessa Faculté des Sciences et de la Technologie Département de Génie Mécanique Polycopié de Travaux Pratiques Logiciels de simulation numérique en mécanique ABAQUS Master Génie Mécanique Présenté par : Dr : DEGHBOUDJ Samir Année 2019 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Préface Ce recueil de travaux pratiques s’adresse aux étudiants de la spécialité génie mécanique et ceux des cursus proches tels que l’aéronautique, le génie civil et l’hydraulique qui poursuivent des études de Master. Chaque travail pratique est accompagné de renseignements théoriques et pratiques. Des problèmes simples de mécanique, sont proposés, afin de contrôler l’acquisition et l’assimilation des connaissances. Il est donc nécessaire à tout étudiant de connaître parfaitement le côté théorique de ses problèmes avant d’exécuter les travaux pratiques proposés. Le but principal de ce recueil est de stimuler les étudiants à conduire et à mener à bien des simulations numériques par le logiciel de calcul ABAQUS. ABAQUS est un code de calcul basé sur la méthode des éléments finis, créé en 1978.C’est un logiciel de simulation de problèmes très variés en mécanique, utilisé pour simuler la réponse physique des structures soumises à des chargements, des températures, des impacts ou autres conditions extérieures. Cet ouvrage représente en fait l’effort de plusieurs années d’enseignement. Le contenu et la progression de cet ouvrage ont été conçus avec trois objectifs : 1. Apporter à l’étudiant les éléments et les outils nécessaires pour simuler des problèmes de la mécanique des solides. 2. Soutenir et contribuer aux efforts de l’enseignement de cette discipline en mettant à la disposition de l’étudiant un document rigoureux et pratique. 3. Présenter aux étudiants, le code de calcul ABAQUS ainsi que ses capacités et ses limites pour qu’ils enrichissent leur culture dans le domaine. Ce document est divisé en dix (10) travaux pratiques : TP N° 1 : Prise en main d’ABAQUS Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 2 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 1D) TP N° 3 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 2D) TP N° 4 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 3D) TP N° 5 : Déformation plastique (Simulation d’un essai de traction) TP N° 6 : Plaque isotrope trouée soumise à une traction uniforme TP N° 7 : Plaque composite stratifiée trouée soumise à une traction uniforme TP N° 8 : Flambage par compression d’une colonne. TP N° 9 : Flexion 3 points (modélisation 1D) TP N° 10 : Transfert de chaleur dans une plaque rectangulaire Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Table des Matières TP N° 1 : Prise en main d’ABAQUS……………………………………..………………………………………………………………… 1 TP N° 2 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 1D) ………… 14 TP N° 3 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 2D) ………… 28 TP N° 4 : Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 3D) ………… 47 TP N° 5 : Déformation plastique (Simulation d’un essai de traction) ………………………………. 65 TP N° 6 : Plaque isotrope trouée soumise à une traction uniforme …………………………………… 81 TP N° 7 : Plaque composite stratifiée trouée soumise à une traction uniforme ………… 96 TP N° 8 : Flambage par compression d’une colonne ………………………………………………………………….. 112 TP N° 9 : Flexion 3 points (modélisation 1D) ………………………………………………………………………………… 123 TP N° 10 : Transfert de chaleur dans une plaque rectangulaire…………………………………………… 139 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa TP N° 1 Prise en main d’ABAQUS Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 1 : Prise en main d’ABAQUS 1.1 Définition d’ABAQUS ABAQUS est un logiciel de calcul en éléments finis développé par DASSAULT. Il est composé de trois produits qui sont : ABAQUS/Standard, ABAQUS/Explicit et ABAQUS/CAE. La gamme de logiciels d’ABAQUS est particulièrement réputée pour sa technologie, sa qualité et sa fiabilité. Elle s’est imposée comme partie intégrante des processus de conception de sociétés de renommées mondiale dans tous les secteurs industriels. ABAQUS offre les meilleures solutions pour des problèmes linéaires, non linéaires, explicites et dynamiques. Le logiciel fournit un environnement inégalé pour analyse par éléments fini, proposant un grand nombre d’alternatives aux opérations impliquant des fournisseurs et des produits multiples. 1.2. Description des possibilités d’ABAQUS ABAQUS est un solveur (Standard, Explicit, Implicit, etc.) qui effectue la résolution d’un problème décrit par un fichier (entrée) ou fichier de données d’extension (.inp) et qui écrit la solution dans un fichier (de sortie) ou fichier de résultats d’extension (.odb) (Tableau 1.1). Tableau 1.1 Le fichier (texte) de données : Extension : inp Contenu : mots clés qui décrivent les géométries, les matériaux, les conditions aux limites Le fichier de résultats : Extension : odb Contenu : contours et courbes résultats La réalisation d’une simulation numérique se fait en créant son propre fichier d’entrée grâce à un éditeur texte en connaissant les divers mots clés ou bien en utilisant l’interface graphique d’ABAQUS CAE. ABAQUS couvre presque tout les domaines de la physique et tous les types de problèmes. Domaines physiques: • Mécanique • Thermique • Electrique (piézo et thermique) • Problèmes couplés Problèmes: • Statique et dynamique • Linéaires et non linéaires ABAQUS offre un très large choix d’éléments (plus de 100) avec la possibilité de programmer de nouveaux éléments (en FORTRAN, sur ABAQUS/Standard) (Fig.1.1). 1.3. Les unités Avant de commencer de définir n'importe quel modèle sous ABAQUS, on doit décider quel système d’unités on emploie. ABAQUS n'a aucun système d'unités intégré. Toutes les données doivent être spécifiées dans un système d'unités conforme. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 1 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 1.2 Longueur Force Pression/contrainte Densité Masse température Mètres Newton Pascal Kg/m3 Kg Kelvin mm Newton MPa Tonnes/mm3 Tonnes Kelvin Fig.1.1 Fig.1.2 1.4. Modules ABAQUS est structuré en plusieurs modules. La réalisation complète d’un projet de simulation sous ABAQUS, s’effectue après un passage successif dans les ces modules (Fig.1.2). Par un exemple simple, nous essayons de présenter les principaux modules d’ABAQUS. Considérons une poutre Soit une poutre de section rectangulaire S=10x10 mm² et de longueur L=100 mm, encastrée par une extrémité et libre de l’autre. On applique un champ de pression sur sa face supérieure de 100 MPa (Fig.1.3). La poutre est supposée élastique, de module d’Young E = 210 000 MPa et de coefficient de Poisson υ=0.3. 100 MPa 10 mm 10 mm 100 mm Fig.1.3 1.4.1 Module PART Ce module permet de modéliser des pièces par révolution ou par extrusion. Il permet aussi de créer et d’éditer des géométries et des entités (points, traits, et plans de référence). Ces entités comprennent à la fois les parties déformables et les parties rigides. Pour les créer, il faut utiliser l’icône de création. Une fois accéder à ce module, on peut sélectionner convenablement : Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 2 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • L’espace de modélisation : 3D / 2D Planar/ Axisymetric • Le type d’entité à générer : déformable/Discret rigid/Analytical rigid/Eulerian • La forme de l’entité : Solid/Shell/Wire/Sweep Création d’une pièce : • Nommer la pièce • Solide, Coque ou poutre • Définir le type de création de pièce • Définir la taille approximative Pour notre exemple : Dans l’arbre du modèle cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Nommer la pièce Poutre_3D Sélectionner 3D/Déformable /Solid/Extrusion Mettre Approximate size : mettre 200 (Fig.1.4) Cliquer Continue Créer un rectangle de 10 x 100 mm² de sommets (0,0) et (100,10) (Fig.1.5) et cliqué sur Done Fig.1.4 La fenêtre Edit Base Extrusion s’affiche, mettre la valeur 10 dans la case Depth (Fig.1.6) et cliqué sur OK (Fig.1.7). Remarque : Enregistrer le fichier de travail (POUTRE_3D.cae) Fig.1.5 . Fig.1.6 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.1.7 3 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 1.4.2 Module PROPERTY Le module PROPERTY permet de définir les propriétés du ou des matériaux des parties déformables qui constituent le modèle ainsi que et la masse des corps rigides si nécessaire. Dans ce module et selon le cas étudié, on est amené à définir des propriétés élastiques et/ou plastiques (ou autres). Pour ce faire il suffit de cliquer sur l’icône (Création d’un matériau) (Fig.1.8). Il est préférable de donner un nom spécifique à chacun des matériaux ce qui permet la création d’une base de données propre au projet. On défini par la suite : les propriétés élastiques via Mechanical/ Elasticity/Elastic (module d’Young et le coefficient de Poisson pour le cas par exemple d’un matériau isotrope) et les propriétés plastiques via Mechanical/Plasticity/Plastic. Dans ce module on crée aussi la section du matériau et l’assignement à toutes les parties de la pièce ou du mécanisme étudiés (Fig.1.8). Création d’un matériau : Créer des matériaux Créer des sections Attribuer des sections Créer des profils (pour la modélisation des poutres) Fig.1.8 Pour notre exemple : • Définition du matériau et ses propriétés Dans l’arbre du modèle double cliquer sur Materials Renommer le matériau Acier Donner une description (au choix) Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Introduire le module d’Young : 200000 MPa Introduire le coefficient de Poisson : 0.3 (Fig.1.9) Cliquer OK • Définition et affectation des propriétés de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections (Fig.1.10) Dans la boite de dialogue Create Section qui s’affiche Renommer la section Section_Poutre Dans la liste Category, sélectionner Solid Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous (Fig.1.11) Cliquer sur Continue Dans la boite de dialogue Edit Section Accepter la sélection par défaut du matériau Acier (Fig.1.12) Cliquer sur OK Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.1.9 4 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.1.10 Fig.1.12 Fig.1.11 • Affectation de la section à la structure Pour affecter la section Section_Poutre à la structure, double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. ABAQUS/CAE affiche des messages-guide dans la zone de message-guide pour vous aider. Dans le Viewport, sélectionner la pièce entière comme la région à laquelle la section sera appliquée. ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.1.13), cliqué sur Done. Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section_Poutre puis cliquer OK (Fig.1.14). ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.1.15). Cliquer sur Done. Fig.1.13 Fig.1.14 Fig.1.15 1.4.3 Module ASSEMBLY Ce module, permet de créer une instance à partir des entités déjà définies dans le module Part. Ces instances seront celles qu’on manipulera par la suite dans le modèle. Dans le cas général, à partir de l’icône en haut à gauche, on crée une instance en sélectionnant tous les éléments créés dans Part. On peut aussi dans certains cas faire subir des mouvements d’ensemble à ces instances pour les repositionner dans l’espace. Le module ASSEMBLY permet d’assembler les différentes pièces créées dans un projet. Cette étape est nécessaire même si le projet n’est composé que d’une seule pièce. Création de l’instance : Création de l’instance Fig.1.16 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 5 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Pour notre exemple : • Assemblage Dans l'arbre modèle développer la base Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.1.17) Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Poutre_3D (Fig.1.18) et cliquer OK (Fig.1.18). Fig.1.17 Fig.1.18 Fig.1.19 1.4.4 Module STEP Le module STEP permet d’effectuer les étapes de calcul. Selon le cas une analyse peut comporter un ou plusieurs Steps. On choisi par exemple un mode Static, General (Fig.1.20) comme par exemple dans le cas d’une analyse statique. Ou bien Dynamic explicit dans le cas d’études de crash ou d’impact. Création d’un step : Pour notre exemple : • Configuration du pas de l'analyse Dans ce cas, nous nous intéressons à la réponse statique de cette poutre sollicitée en flexion par une charge répartie appliquée sur sa face supérieure de 100 MPa. Nous avons un chargement unique, alors un seul pas d'analyse est nécessaire pour la simulation. L'analyse se compose de deux pas au total : Un premier pas (généré automatiquement par ABAQUS/CAE), dans lequel on applique les conditions aux limites en déplacements (encastrement). Un second pas d'analyse, on applique une pression de 100 Mpa sur la face supérieure. • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse. Double cliquer sur Steps pour créer un pas (Fig.1.20). ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.1.20).Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut Sélectionner Static General, comme Procedure type Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General L'onglet Basic est sélectionné par défaut Accepter les valeurs par défaut fournies pour le pas (Fig.1.21) Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 6 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.1.20 Fig.1.21 1.4.5 Module Interaction Grâce ce module, il est possible de spécifier toutes les interactions entre les différentes parties et régions du modèle, qu’elles soient mécaniques, thermiques ou autres. Le passage par ce module n’est obligatoire que s’il y’a plusieurs instances qui sont en contact. 1.4.6 Module LOAD Le module permet de définir les contraintes subites par la pièce ou le système étudié. On définit donc le type d’effort appliqué à la pièce ou au système. Ce module permet de spécifier tous les chargements et toutes les conditions aux limites du problème étudié. Les chargements et les conditions aux limites sont dépendantes des Steps, par exemple une force qui est appliquée au step 1 peut être inactive au step 2. Création d’un chargement : Load : Créer un chargement BC : Créer une condition aux limites Fig.1.22 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 7 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Pour notre exemple : • Application des conditions aux limites à la poutre Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs (Fig.1.23). ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la liste des pas Steps, sélectionner Initial. Dans la liste Category, accepter Mechanical comme catégorie par défaut. Dans la liste Types for Selected Step, sélectionner Symmetry/Antisymmetry/Encastre (Fig.1.24) et cliquer sur Continue (Fig.1.24). Dans le Viewport, sélectionner la face à encastrée et cliquer sur Done (Fig.1.25).La boîte de dialogue Edit Boundry Condition s'affiche (Fig.1.26).Cocher la case Encastre et cliquer sur OK (Fig.1.26). . Fig.1.23 Fig.1.26 Fig.1.24 Fig.1.25 Fig.1.27 • Application du chargement sur la poutre Cliquer sur Create Load, La fenêtre Edit Load apparait (Fig.1.28). Dans la liste Category, accepter Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, sélectionner Pressure (Fig.1.28) et cliquer sur Continue. Dans le Viewport, sélectionner la face supérieure (Fig.1.29) et cliquer sur Done. La boîte de dialogue Edit Load s'affiche (Fig.1.30).Remplir le champ Magnitude, mettre la valeur 100 et cliquer sur OK (Fig.1.31). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 8 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.1.28 Fig.1.29 Fig.1.30 Fig.1.31 1.4.7 Module MESH Le module MESH permet de créer le maillage de La pièce. Il contient tous les outils nécessaires pour générer le maillage élément fini sur un assemblage. Il n'est pas nécessaire que le maillage soit régulier, en effet on peut resserrer le maillage près des endroits d'intérêts (par exemple aux endroits où l'on pense que la solution va beaucoup varier, cependant il faut veiller à avoir des éléments faiblement distordus (se rapprocher d'un polygone régulier). Plus ce maillage est resserré plus la solution que l'on obtient par la méthode des éléments finis sera précise. Il existe plusieurs éléments classique pour mailler notre pièce (hexaèdre, tétraèdre…). Discrétisation de la pièce Maillage la pièce Contrôle du maillage Fig.1.32 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 9 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Pour notre exemple : • Attribution du type d'élément Pour ce cas la poutre est modélisée en 3D, on opte pour des éléments hexaèdre, linéaires à intégration réduite de type C3D8R. • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh (Fig.1.33).Dans la barre de menu, cliqué sur Part, la poutre est coloriée en vert (Fig.1.34). Cliquer sur Mesh/Control, la fenêtre Mesh Controls apparait, choisir Hex/Structured (Fig.1.35) et cliquer sur OK. La fenêtre Element Type s’affiche, choisir Standard/Linear/3D Stress (Fig.1.36) et cliquer sur OK. Cliquer sur Seed/Part, la fenêtre Global Seeds apparait (Fig.1.37). Mettre la valeur 5 pour Approximate global size et cliquer sur OK puis Done (Fig.1.38). A la fin cliquer sur Mesh/Pat et confirmer le maillage en cliquant sur Yes en bas du Viewport (Fig.1.39). Fig.1.33 Fig.1.34 Fig.1.35 Fig.1.36 Fig.1.37 Fig.1.38 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 10 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.1.39 1.4.8 Module JOB Le module JOB permet de lancer le calcul. Les contraintes, les déformations et les déplacements de notre pièce ou système étudié sont ainsi calculés. Création du job : Double cliquez sur Jobs pour ouvrir la boîte de dialogue Create Job Créer un nouveau travail (Fig.1.40) Nommez le job : par exemple Poutre_3D et cliquer OK Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit (Fig.1.41) A la fin de l’analyse en bas du Viewport, ABAQUS affiche Completed Successfully (Fig.1.42). Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results (Fig.1.43) Fig.1.40 Fig.1.41 Fig.1.43 Fig.1.42 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 11 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 1.4.9 Module VISUALIZAION Le module VIZUALISATION permet de visualiser les résultats des calculs lancés précédemment (Fig.1.44). Fig.1.43 Pour notre exemple : Pour afficher la poutre en mode déformé (Fig.1.44), on clique sur l’icône : Fig.1.44 Pour afficher les composantes du tenseur de contraintes de Cauchy, cliqué sur la case Mises (Fig.1.45) et choisir la composante souhaitée (Fig.1.46). Pour afficher la variable U (vecteur déplacement), cliqué sur la case des variables (Fig.1.47) et choisir la variable U (Fig.1.48). Pour afficher les composantes du vecteur déplacement, cliqué sur la case Magnitude (Fig.1.49) et choisir la composante souhaitée (Fig.1.50). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 12 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.1.46 Fig.1.45 Fig.1.47 Fig.1.48 Fig.1.49 Fig.1.50 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 13 TP N° 2 Etude de la flexion d’une poutre encastrée-libre (modélisation 1D) Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 2 : Etude de la flexion d’une poutre encastrée-libre (modélisation 1D) 2.1 Introduction Dans ce travail pratique, nous allons simuler la flexion d’une poutre encastrée par l’une de ces extrémités et libre de l’autre. Ce problème possède une solution analytique issue de la théorie des poutres. Ceci nous permettra de comparer les résultats analytiques et ceux obtenus par les simulations numériques effectuées. 2.2 Position du problème On considère une poutre de section rectangulaire S = 5x2 mm² et de longueur L=150 mm, encastrée par l’une de ses extrémités et libre de l’autre. Nous appliquons une charge concentrée F sur le coté libre de la poutre F = 15 N. La figure (Fig.2.1) présente les conditions aux limites du problème. La poutre est supposée élastique (E=210 GPa et υ=0.3). F=15 N 5 2 y 150 x z Fig.2.1 2.3 Solution analytique Pour déterminer la valeur de la flèche maximale, on se propose d’étudier analytiquement la flexion de cette poutre, encastrée par l’une de ses extrémités et libre de l’autre. 1. Les réactions au niveau de l’encastrement : ܨ௫ = 0 ܴ௫ = 0 ܨ௬ = 0 ⇒ ܴ௫ = 0 ⇒ ܴ௬ − = ܨ0 ⇒ ܴ௬ = ܨ ܴ௬ = = ܨ15 ܰ ܯ/ = 0 + A RAx ⇒ ܯ − ܨ. = ܮ0 ⇒ ܯ = ܨ. ܮ ܯ = ܨ. = ܮ15.150 = 2250 ܰ. ݉݉ ܯ = 2250 ܰ. ݉݉ ܨ௬ = 0 ⇒ ܶ − ܴ௬ = 0 L/2 L RAy MA 2. Effort tranchant et moment fléchissant : Tronçon : ≤ ࢞ ≤ ࡸ Effort tranchant : F RAy MA + Mf + O A + x ܶ = ܴ௬ = = ܨ15 ܰ ܶ=ܨ Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 14 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Moment fléchissant : ܯ/ை = ܯ + ܯ − ܴ௬ . = ݔ0 ܯ + ܯ − ܨ. = ݔ0 ܯ = ܨ. ݔ− ܯ = ܨ. ݔ− ܨ. ܨ = ܮ. ( ݔ− )ܮ ܯ (ܨ = )ݔ. ( ݔ− )ܮ Pour x= 0 ܯ (0) = −ܨ. = ܮ−2250 ܰ. ݉݉ Pour x= L ܯ (L) = = 0 3. Expression de la flèche maximale : Intégration : • Rotation : ܯ ()ݔ ܨ. ( ݔ− )ܮ ݔ ܨଶ ω( = )ݔන ݀ = ݔන ݀ = ݔቆ − ܮ. ݔ+ ܣଵ ቇ ܫܧ ܫܧ ܫܧ2 • Flèche : ܯ ()ݔ ݔ ܨଶ ݔ ܨଷ ܮ = )ݔ(ݕන ݀ݔ² = න ቆ − ܮ. ݔ+ ܣଵ ቇ ݀ = ݔቆ − ݔ² + ܣଵ . ݔ+ ܣଶ ቇ ܫܧ ܫܧ2 ܫܧ6 2 Conditions aux limites (conditions aux appuis): Au niveau de l’encastrement : ω(0) = 0 ൜ (ݕ0) = 0 ܨ0ଶ ۓ (0) = ቆ − ܮ. 0 + ܣଵ ቇ = 0 ⇒ ܣଵ = 0 ω ۖ ܫܧ2 ܨ0ଷ ܮ ۔ ۖ(ݕ0) = ቆ + . 0² + ܣଵ . 0 + ܣଶ ቇ = 0 ⇒ ܣଶ = 0 ܫܧ6 2 ە Donc : ݔ ܨଶ ω( = )ݔቆ − ܮ. ݔቇ ܫܧ2 = )ݔ(ݕ ݔ ܨଷ ܮ ቆ − ݔ²ቇ ܫܧ6 2 = )ܮ(ݕ ܮ ܨଷ ܮ ܮܨଷ ቆ − ܮ²ቇ = − ܫܧ6 2 3ܫܧ Flèche maximale : • Rotation nulle : ݔ ܨଶ ݔ ω( = )ݔቆ − ܮ. ݔቇ = 0 ⇒ = ݔቀ − ܮቁ 0 ⇒ = ݔ0 ݁ = ݔ ݐ2ܮ ܫܧ2 2 (ݕ0) = 0 ∶ ݈݁ܽ݉݅݊݅݉ ݎݑ݈݁ܽݒ = ݔ ݊݅ݐݑ݈ݏ2 ܮà ݁݁ݎݑ݈ܿݔ • Extrémité du tronçon : x=L Le moment d’inertie I est donné par la relation : ݕ௫ =ܫ ܾ. ℎଷ 2.5ଷ = = 20.83 mmସ 12 12 ܮܨଷ 15(150)ଷ = = )ܮ(ݕ− =− = −3,857 ݉݉ 3ܫܧ 3.21000.20,83 On utilise le tableur Excel pour déterminer la flèche pour différentes valeurs de l’abscisse x sur toute la longueur (L) de la poutre, à partir de la relation précédente (nous avons choisi un pas de calcul de 10 mm) (Tableau 2.1). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 15 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 2.1 x(mm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 y(x) (mm) 0 -0,02514286 -0,09828573 -0,21600003 -0,3748572 -0,57142866 -0,80228584 -1,06400017 -1,35314307 -1,66628598 -2,00000032 -2,35085752 -2,71542901 -3,09028621 -3,47200056 -3,85714347 Sur la figure 2.2, On trace la courbe de la flèche sur toute la longueur de la poutre : 0 -0,5 0 50 100 -1 150 Flèche y(x) Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 -3 Flèche de la fibre neutre (F=15 N) -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.2.2 La valeur maximale de la flèche est : -3,857 mm. 2.4 Solution numérique 2.4.1 Etapes de la modélisation Pour modéliser sous ABAQUS CAE la flexion de cette poutre, on suit les étapes suivantes : 1. Créer la géométrie de la poutre (module Part) 2. Créer le matériau (module Proprety) 3. Définir et affecter les propriétés de section (module Proprety) 4. Assembler le modèle (module Assembly) 5. Définir le pas d’analyse (module Step) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 16 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 6. Appliquer des conditions aux limites et des chargements sur le (module Load) 7. Mailler le modèle (module Mesh) 8. Créer et soumettre un travail d’analyse (module Job) 9. Visualiser les résultats (module Visualizaion) 2.4.2 Réalisation du modèle sous ABAQUS • Système d’unités Avant de commencer de définir n'importe quel modèle sous ABAQUS, décider quel système d’unités, on emploie. ABAQUS n'a aucun système intégré. Toutes les données doivent être spécifiées dans un système conforme. Nous adoptons dans ce TP le système d'unités SI (mm). Longueur Force Pression/contrainte Densité Masse température modèle on doit d'unités d'unités mm Newton MPa Tonnes/mm3 Tonnes Kelvin • Hypothèse de modélisation La poutre est modélisée sous ABAQUS selon l’hypothèse 1D (Fig.2.3) . 1D F Fig.2.3 • Modélisation 1. Module PART Dans l’arbre du modèle cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Poutre_1D Sélectionner 3D/Déformable /Solid/Wire Mettre Approximative size = 200 Cliquer Continue (Fig.2.4) Créer une ligne (Line) de 150 mm Cliquer Done (Fig.2.5) Enregistrer le fichier de travail (POUTRE-1D.cae) Fig.2.5 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.2.4 17 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 2. Module PROPRETY • Définition du matériau et ses propriétés Nous allons créer un seul matériau élastique linéaire avec les propriétés suivantes : module de Young E= 210 000 MPa et coefficient de Poisson ν=0.3. Dans l’arbre du modèle double-cliquer sur Materials Renommer le matériau Acier Donner une description (au choix). Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Définir le module d’Young et le coefficient de Poisson Cliquer OK (Fig.2.6) • Affectation des propriétés de la section: Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections (Fig.2.7) Fig.2.7 Dans la boite de dialogue Create Section (Fig.2.8) Renommer la section Section_Poutre-1D Dans la liste Category, sélectionner Beam Dans la liste Type, sélectionner Beam Cliquer sur Dans la boite de dialogue Edit Beam Section qui s’affiche (Fig.2.9) Cliquer sur Create Beam Profile La fenêtre Create Profile s’affiche (Fig.2.10) Choisir Rectangular et cliquer sur Continue La fenêtre Edit Create Profile apparait (Fig.2.11) Remplir le champ a=2 et b=5 Cliquer sur OK Fig.2.8 Fig.2.6 Fig.2.9 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 18 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig. 2.9 Fig. 2.11 Fig.2.10 • Assignement de la section Pour affecter la section Section_Poutre-1D à la structure, double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. ABAQUS/CAE affiche des messages-guide dans la zone de message-guide pour vous aider (Fig. 2.12). Sélectionner la pièce entière comme la région à laquelle la section sera appliquée. ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.2.13). Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section_Poutre-1D puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.2.14). Cliquer sur Done. Fig.2.13 Fig. 2.12 Fig.2.14 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 19 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Affectation de l’orientation de la poutre Dans barre de menu double-cliquer sur Assign Cliquer sur Beam Section Orientation Choisir le système par défaut d’ABAQUS (Fig.2.15) Cliquer sur OK (Fig.2.16) Fig.2.15 Fig.2.16 3. Module ASSEMBLY • Assemblage Le module ASSEMBLY permet d’assemblé les différentes pièces créées précédemment. Cette étape est nécessaire même si un projet n’est composé que d’une seule pièce. Pour ce problème, on va créer une seule instance de la poutre objet de cette étude. Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Poutre_1D (Fig.2.17) Cliquer OK (Fig.2.18). Fig.2.18 Fig.2.17 Fig.2.17 4. Module STEP Ce module permet d’effectuer les étapes de calcul. Dans notre cas il y a une seule étape de calcul que l’on définit de la manière suivante : • Configuration du pas de l'analyse Nous nous intéressons à la réponse statique de la poutre sollicitée en flexion par une charge concentrée F=15 N appliquée à l’extrémité libre de la poutre, un seul pas d'analyse est nécessaire dans cette simulation. L'analyse se compose au total de deux pas : Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 20 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Un premier pas, dans lequel on va appliquer des conditions aux limites de déplacement imposée sur l’une des extrémités de la poutre. Un second pas d'analyse, dans lequel on applique la charge concentrée sur l’autre extrémité libre de la poutre. • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial d'analyse généré par ABAQUS/CAE. Double cliquer sur Steps pour créer un pas. La boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.2.19). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Renommer le pas : Chargement Sélectionner Static General comme Procedure type Cliquer sur Continue. La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General (Fig.2.20) L'onglet Basic est sélectionné par défaut. Dans le champ Description (au choix) : taper force concentrée 15 N Accepter les valeurs par défaut fournies pour le pas. Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step. Fig.2.19 Fig.2.20 5. Module LOAD Le module LOAD permet de définir le chargement subit par la poutre et d’introduire les conditions aux limites qui sont appliquées à des régions du modèle constituées de déplacements et/ou des rotations. Les Conditions imposées, telles que les chargements et les conditions aux limites dépendent du pas d'analyse. On doit donc spécifier le ou les pas dans lesquelles ils deviennent actifs. • Application des conditions aux limites à la poutre Double cliquer sur la base BCs La boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche (Fig.2.21) Renommer la condition aux limites Encastrement Dans la liste des pas Steps, sélectionner Initial Dans la liste Category, accepter Mechanical comme catégorie par défaut. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 21 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Sélectionner Symmetry/Antisymmetry/Encastre dans la liste Types for Selected Step (Fig.2.21) Choisir Encastre (Fig.2.22) Cliquer sur Continue (Fig.2.23) Fig.2.21 Fig.2.22 Fig. 2.23 • Application du chargement à la poutre Dans le module LOAD, cliquer sur Create Load La fenêtre Create Load apparait Renommer la charge : Force concentrée Choisir Mechanical/Concentred force et cliquer sur Continue (Fig.2.24) Sélectionner le point de l’application de la charge et cliquer sur Done (Fig.2.25) La fenêtre Edit Load apparait (Fig.2.26) Remplir le champ réservé aux composante de la force (0,-15,0) et cliquer sur OK (Fig.2.27) Fig.2.25 Fig.2.24 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 22 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.2.27 Fig.2.26 6. Module MESH • Maillage du modèle Dans cette étape, nous allons générer le maillage. ABAQUS donne la possibilité de choisir la technique de maillage, le type des éléments ainsi que leur forme. • Attribution du type d'élément Dans cette section, on va attribuer le type d'élément pour le modèle. Dans un premier temps nous avons utilisé un élément de type B31 (Fig.2.28) avec les paramètres de maillage suivants : - Taille de la maille : 4 mm - Degré d’interpolation : Linéaire - Type: Beam • Démarche Revenir au module Assembly et cliquer sur Instances Activer Make Independent (Fig.2.29) Dans le module MESH cliquer sur Mesh L’instance est coloriée en rose (Fig.2.30) Cliquer sur Seed Edges et sélectionner la poutre cliquer sur OK (Fig.2.31) La fenêtre Local Speeds apparait (Fig.2.32) Choisir 38 comme nombre d’éléments et cliquer sur OK (Fig.2.32)-(Fig.2.33) Cliquer sur Mesh instance et confirmer le maillage (Fig.2.34) Fig.2.28 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.2.29 23 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.2.30 Fig.2.31 Fig.2.32 Fig.2.33 Fig.2.34 7. Module JOB • Créer et soumettre un travail d’analyse Double cliquez sur Jobs pour ouvrir la boîte de dialogue Create Job Créer un nouveau travail (Fig.2.35) Nommez le Poutre_1D_4mm et cliquer OK Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit (Fig.2.36) A la fin de l’analyse (ABAQUS affiche Completed Successfully) (Fig.2.37) Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results (Fig.2.38) Fig.2.35 Fig.2.36 Fig.2.38 Fig.2.37 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 24 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 2.4.3 Problématique Pour ce problème de modélisation 1D, on se propose d’effectuer le calcul avec une taille de maillage de 4 mm, de tracer la déformée de la fibre neutre suivant l’axe y et de discuter les résultats trouvés. Une Comparaison des résultats numériques avec les résultats théoriques obtenus par le calcul RDM (solution analytique) sera faite 2.4.4 Résultats Pour le maillage nous avons choisis les paramètres suivants : Taille de maille : 4 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’éléments : beam Fig.2.39 La courbe de la flèche de la fibre neutre présentée sur la figure .2.39, nous montre une valeur maximale de la flèche de -3.86 mm, soit une erreur relative de presque 0.07 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). • Traçage de la courbe Pour tracer la flèche sur toute la longueur de la poutre on suit les étapes suivantes : Dans le module VISUALISATION, cliquer sur Tools/Path/Create (Fig.2.40) La fenêtre Create Path s’affiche (Fig.2.41) Choisir Edge list et cliquer sur Continue La fenêtre Edit Edge list Path s’affiche, cliquer sur Add Before (Fig.2.42) Sur la barre de menu qui s’affiche en bas, choisir By shortest distance Revenir dans le ViewPort et piquer l’origine et l’extrémité de la poutre (Fig.2.43) Cliquer sur OK Cliquer sur l’onglet XY Data Manager (Fig.2.44), la fenêtre XY Data Manager s’affiche (Fig.2.45) Cliquer sur Create, choisir Path et cliquer sur Continue (Fig.2.45) La fenêtre XY Data from Path apparait (Fig.2.46) Pour afficher la courbe cliquer sur Plot (Fig.2.47) Pour afficher les données Data de la courbe : cliquer sur Edit (Fig.2.48) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 25 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.2.40 Fig.2.41 Fig.2.42 Fig.2.43 Fig.2.44 Fig.2.45 Fig.2.46 Fig.2.47 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 26 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.2.47 0 -0,5 0 20 40 60 80 120 140 160 Flèche y(x) -1 Flèche y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 100 -2 -2,5 Flèche de la fibre neutre (F=15 N) -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.2.48 2.4.5 Conclusion Les courbes numérique (ABAQUS) et analytique (RDM) sont en parfaite concordance (une erreur relative de presque 0.07 %).L’élément choisi pour cette simulation conduit à des résultats très précis et très proches de la solution analytique. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 27 TP N° 3 Etude de la flexion d’une poutre encastrée-libre (modélisation 2D) Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 3 : Etude de la flexion d’une poutre encastrée-libre (modélisation 2D) 3.1 Introduction Le but principal de ce TP est l’étude de la convergence d’un maillage, pour cela nous allons considérer la flexion d’une poutre encastrée-libre. Ce cas déjà été examiné, possède une solution analytique issue de la théorie de la résistance des matériaux (RDM). Cette solution servira comme solution de référence et sera comparée par la suite aux résultats numériques obtenus par des simulations avec différentes densités de maillages. 3.2 Position du problème Pour la modélisation 2D, on considère les mêmes données du problème déjà traité précédemment. Soit une poutre de section rectangulaire S =5x2 mm² et de longueur L=150 mm, encastrée par l’une de ses extrémités, sur l’autre on applique une charge concentrée F= 15 N. La figure 3.1 illustre les conditions aux limites du problème. La poutre est supposée élastique conçue en acier ordinaire avec un module d’Young (E=210 GPa) et un de coefficient de poisson (υ=0.3). F=15 N 5 2 y 15 x z Fig.3.1 3.3 Solution analytique En fonction des caractéristiques du matériau et des paramètres géométriques de la poutre, la solution analytique de ce problème permettant de calculer la flèche est donnée par la relation suivante : ݔ ܨଷ ݔܮ² = )ݔ(ݕቆ − ቇ ܫܧ6 2 Les résultats de calcul de la flèche pour différentes valeurs de l’abscisse x sur la longueur de la poutre pour un pas de 10 mm et qui sont portés sur le tableau 3.1 permettent de la courbe analytique de la flèche (Fig.3.2). 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Déplacement (mm) -1 -2 -3 -4 Flèche de la fibre neutre (F=15 N) Flèche y(x) -5 Longeur (mm) Fig.3.2 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 28 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 3.1 x(mm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 y(x) (mm) 0 -0,02514286 -0,09828573 -0,21600003 -0,3748572 -0,57142866 -0,80228584 -1,06400017 -1,35314307 -1,66628598 -2,00000032 -2,35085752 -2,71542901 -3,09028621 -3,47200056 -3,85714347 3.4 Solution numérique 3.4.1 Réalisation du modèle sous ABAQUS • Hypothèse de modélisation La poutre est modélisée en 2D (Fig.3.3). . 2D Fig.3.3 • Modélisation 8. Module PART Cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Poutre_2D Sélectionner 2D Planar/Déformable /Shell Choisir Approximative size = 200 Cliquer Continue (Fig.3.4) Créer un rectangle de 5 x 150 mm Cliquer Done (Fig.3.5) Enregistrer le fichier de travail : (POUTRE_2D.cae) Fig.3.4 Fig.3.5 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 29 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 9. Module PROPRETY • Définition du matériau Double cliquer sur Materials Renommer le matériau Acier Donner une description (au choix) Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Introduire le module d’Young (E=210 000 MPa) Introduire le coefficient de Poisson (ν ν=0.3) Cliquer OK (Fig.3.6) • Affectation de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections (Fig.3.7) Dans la boite de dialogue Create Section (Fig.3.8) Dans la liste Category, sélectionner Solid Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous Fig.3.6 Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Section apparaît (Fig.3.9) Accepter la sélection par défaut du matériau Acier Cocher la case Plane stress/strain Dans la case thikness introduire la valeur 2 qui corresponds à la largeur de la poutre (Fig.3.9) Fig.3.7 • Fig.3.8 Fig.3.9 Affectation de la section à la structure Double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît Sélectionner la pièce entière comme région sur laquelle la section sera appliquée ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.3.10) Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section-1 puis cliquer OK (Fig.3.11) ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.3.12) Cliquer sur Done Fig.3.10 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 30 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.12 Fig.3.11 10. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer la base Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.3.13) Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Poutre_2D et cliquer OK ABAQUS/CAE colore la structure entière en bleu et affiche le référentiel associé (Fig.3.14) 11. Module STEP • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse Double cliquer sur Steps pour créer le pas d’analyse ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.3.15) Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Renommer le pas : Chargement Sélectionner Static General comme Procedure type (Fig.3.15) Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General L'onglet Basic est sélectionné par défaut Dans le champ Description (au choix) : taper force concentrée 15 N Accepter les valeurs par défaut fournies pour le pas (Fig.3.16) Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.3.14 Fig.3.13 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 31 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.15 Fig.3.16 12. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la poutre Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs. ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche (Fig.3.17). Dans la boîte de dialogue Create Boundry Condition. Renommer la condition aux limites Encastrement. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Initial, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Toutes les conditions aux limites mécaniques spécifiées au pas Initial doit avoir grandeurs nulles. Cette condition est appliquée automatiquement par ABAQUS/CAE. Dans la liste Category, accepter Mechanical comme catégorie par défaut. Dans la liste Types for Selected Step, sélectionner Symmetry/Antisymmetry/Encastre et cliquer sur Continue. Sélectionner l’arrête qui correspond à l’extrémité de la poutre et cliquer sur Done. Dans la fenêtre Edit Boundary Condition qui apparait choisir ENCASTRE et cliquer sur OK (Fig.3.18). ABAQUS/CAE affiche la structure avec encastrement sur le coté fixe(Fig.3.19) . Fig.3.17 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.3.18 32 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.19 • Application du chargement à la poutre Dans le module LOAD Cliquer sur Create Load, la fenêtre Create Load apparait (Fig.3.20) Sélectionner Mechanical/Concentred force et cliquer sur Continue Sélectionner le point qui se trouve sur le coin haut de l’extrémité libre de la poutre, cliquer sur Done La fenêtre Edit Load apparait. Remplir le champ réservé aux composante de la force (0,-15,0) et cliquer sur OK (Fig.3.21) ABAQUS/CAE affiche la structure avec chargement sur le coté libre (Fig.3.22) Fig.3.20 Fig.3.21 Fig.3.22 13. Module MESH • Attribution du type d'élément Dans ce module, nous allons attribuer le type d'élément (quad structured CPS4R) (Fig.3.23), sa taille (5mm) ainsi que le degré (linéaire) et le type d’interpolation choisi (intégration réduite) (Fig.3.24). Dans cette première simulation nous utilisons les paramètres du maillage suivants : Taille de la maille : 5 mm Degré d’interpolation : Linéaire Type d’intégration : Intégration réduite Type d’éléments : Quadrilatère Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 33 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Fig.3.23 Démarche Fig.3.24 Dans le module MESH cliquer sur Mesh. La poutre est coloriée en vert (Fig.3.25). Cliquer sur Seed Edges, la poutre est coloriée en rose (Fig.3.26). Sélectionner tout d’abord les arrêtes qui se trouvent sur la longueur de la poutre et cliquer sur OK La fenêtre Local Seeds apparait (Fig.3.27), sélectionner By number et choisir 30 comme nombre d’éléments. Ensuite, cliquer de nouveau sur Seed Edges et sélectionner les arrêtes se trouvant sur les faces encastrée et chargée de la poutre et cliquer sur OK. La fenêtre Local Seeds apparait de nouveau, choisir 1 comme nombre d’éléments (Fig.3.29). A la fin cliquer sur Mesh instance et confirmer le maillage (Fig.3.30). Fig.3.25 Fig.3.26 Fig.3.27 Fig.3.28 Fig.3.29 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 34 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.30 14. Module JOB • Créer et soumettre le job Double cliquez sur Jobs pour ouvrir la boîte de dialogue Create Job et créer un nouveau travail. Nommez le Poutre_2D_Lin_5mm. Ensuite Continue pour créer le travail. L’Edit Job apparaît (Fig.3.31). Dans description, notez Flexion simple de la poutre modélisée en 2D. Cliquez OK pour valider. Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit (Fig.3.32). A la fin de l’analyse du modèle (ABAQUS marque Completed Successfully. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results. ABAQUS rentre alors dans le module de VISUALISATION. Fig.3.31 Fig.3.32 3.4.2 Problématique Pour différentes tailles des éléments : 5, 3 et 1 mm, on se propose de tracer la déformée de la fibre neutre de la poutre suivant l’axe y et de discuter les résultats trouvés. A la fin nous allons effectuer une comparaison des résultats numériques avec les résultats théoriques obtenus par le calcul RDM (solution analytique). 3.4.3 Résultats Dans cette partie nous présentons les résultats obtenus suite à plusieurs simulations avec différents paramètres du maillage. • Simulation 1 Taille de la maille : 5 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : quadrilatère Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 35 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.33 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -1337 mm (Fig.3.33). L’erreur relative est de presque -345,64 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Les paramètres choisis pour le maillage de cette première simulation ne sont pas adéquats et ne conduisent pas à une solution précise. On doit raffiner le maillage pour ce rapproché de la solution analytique. • Simulation 2 Dans cette deuxième simulation nous allons diminuer la taille de l’élément tout en conservant les autres paramètres du maillage. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : quadrilatère Fig.3.34 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -5.139 mm (Fig.3.33), l’erreur relative dans ce deuxième cas est de 32,82 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Pour évaluer la différence entre les valeurs Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 36 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS numérique et analytique, nous allons tracer les courbes théorique et fournie par ABAQUS. • Traçage de la courbe de la flèche Pour tracer la courbe de la flèche sur toute la longueur de la poutre on suit les étapes suivantes : Dans le module VISUALISATION, cliquer sur Tools/Path/Create (Fig.3.35) La fenêtre Create Path s’affiche, choisir Node list et cliquer sur Continue (Fig.3.36) La fenêtre Edit Edge list Path s’affiche, cliquer sur Add Before (Fig.3.37) Revenir sur le ViewPort, A partir de l’origine, piquer des nœuds sur toute la longueur et de la ligne moyenne (Fig.3.38) Cliquer sur Donne puis OK Cliquer sur l’onglet XY Data Manager, la fenêtre XY Data Manager s’affiche (Fig.3.39) Cliquer sur Create, choisir Path et cliquer sur Continue La fenêtre XY Data from Path apparait (Fig.3.40) Pour afficher la courbe cliquer sur Plot (Fig.3.41) Pour afficher les données Data de la courbe (Fig.3.42), cliquer sur Edit On peut aussi transférer ses données à l’environnement Excel pour pouvoir comparer les résultats numériques et analytiques (Fig.3.43) Fig.3.35 Fig.3.36 Fig.3.37 Fig.3.38 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 37 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.3.39 Fig.3.41 Fig.3.40 Fig.3.42 0 0 20 40 60 80 -1 120 140 160 Flèche y(x) y(x) ABAQUS -2 Déplacement (mm) 100 -3 Maillage_3 mm_Quad_Line -4 -5 -6 Longeur (mm) Fig.3.43 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 38 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -5.139 mm (Fig.3.38), l’erreur relative vaut 0,33 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Comme on peut le constater, les courbes numérique (ABAQUS) et analytique (RDM) se rapproche mais la convergence n’est pas atteinte. On doit raffiner encore le maillage pour ce rapproché de la solution analytique. • Simulation 3 Dans cette troisième simulation nous avons diminué la taille de l’élément jusqu'à la valeur 1 mm, tout en conservant les autres paramètres du maillage choisi. Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : quadrilatère Fig.3.44 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -4.019 mm (Fig.3.44), l’erreur relative vaut 0,04 %par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). On trace et on superpose les courbes théorique et numérique. 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 120 -2 -2,5 -3 Maillage_1 mm_Quad_Line -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.45 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 39 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Simulation 4 Au lieu de diminuer la taille du maillage, nous augmentons l’ordre de d’interpolation, de linéaire à quadratique. Lors du calcul précédant, la convergence n’a pas été atteinte pour une taille de maille de 5 mm. C’est pour cela nous allons directement passer à une taille de 3 mm de l’élément. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : quadratique Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : quadrilatère Fig.3.46 0 -0,5 0 20 40 60 80 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 100 -2 -2,5 Maillage_3 mm_Quad_Quad -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.47 La valeur de la flèche maximale est de -3,857 mm (Fig.3.46), l’erreur relative est égale à 0 % par rapport à la solution analytique. La solution numérique correspond parfaitement et coïncide avec la solution analytique (yan = -3,857 mm). Le graphe de Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 40 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS la flèche de la fibre neutre (Fig.3.47) nous montre une parfaite concordance entre les réponses analytique et numérique, ce qui justifie le bon choix des paramètres du maillage. • Simulation 5 Quoi que la convergence soit atteinte avec un maillage de 3 mm, nous allons raffiner encore le maillage. On choisit un maillage de 1 mm et nous obtenons les résultats suivants : Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : quadratique Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : quadrilatère Fig.3.48 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 Maillage_ 1 mm_Quad_Quad -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.49 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 41 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS La valeur de la flèche maximale est de -3,858 mm (Fig.3.47), l’erreur relative vaut 0,0002 %par rapport à la solution analytique. La solution numérique est en parfaite concordance avec la solution analytique (yan=-3,857 mm). • Simulation 6 On se propose ici d’étudié l’influence du type de l’élément et du degré d’interpolation sur le résultat. On remplace les éléments quadrilatère quadratiques par des éléments triangulaires linéaires, pour une taille de 3 mm. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : triangulaires Fig.3.50 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 -3 Maillage_3 mm_Tri_Lin -3,5 Flèche y(x) y(x) ABAQUS -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.51 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 42 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS La flèche maximale est de -1,714 mm (Fig.3.50), l’erreur relative vaut 0,55 % par rapport à la solution analytique. On peut constater la divergence entre la solution numérique et la solution analytique (yan=-3,857 mm) (Fig.3.51). • Simulation 7 L’influence du degré d’interpolation sur la précision des résultats est examinée dans cette simulation. On remplace les éléments triangulaires linéaires par des éléments triangulaires quadratiques. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : quadratique Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : triangulaires Fig.3.52 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 Maillage_3 mm_Tri_Quad -3 Flèche y(x) -3,5 y(x) ABAQUS -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.53 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 43 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS La valeur de la flèche maximale est de -3,39 mm (Fig.3.52), l’erreur relative est égale à 0,12 % par rapport à la solution analytique. Dans ce cas aussi, on constate une divergence entre la solution numérique et la solution analytique (yan = -3,857 mm) (Fig.3.53). • Simulation 8 Pour converger le maillage vers la solution précise on raffine le maillage. On considère un maillage avec les paramètres suivants : Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : triangulaires Fig.3.54 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -0,5 -1 Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 -3 Maillage_1 mm_Tri_Lin -3,5 Flèche y(x) -4 -4,5 y(x) ABAQUS Longeur (mm) Fig.3.55 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 44 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Pour ce cas, la flèche maximale est de -3,389 mm (Fig.3.54), l’erreur relative est égale à 0,12 % par rapport à la solution analytique. Dans ce cas aussi, on constate que la divergence entre la solution numérique et la solution analytique persiste (yan = -3,857 mm) (Fig.3.55). • Simulation 9 Pour atteindre la convergence vers une solution plus précise on change le degré d’interpolation de linéaire à quadratique. Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : quadratique Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : triangulaires Fig.3.56 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 -3 Maillage_1 mm_Tri_Quad -3,5 Flèche y(x) -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.3.57 La flèche maximale est de -3, 838 mm (Fig.3.56). L’erreur relative vaut 0,004 % par rapport à la solution analytique (yan=-3,857 mm). On constate que la solution numérique est bonne concordance avec la solution analytique (Fig.3.57). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 45 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 3.4.5 Conclusion Dans le tableau récapitulatif ci-dessous, nous présentons les résultats obtenus pour les différents types de maillages employés dans les simulations. En se référant à la solution analytique, nous avons calculé l’erreur relative entre la solution numérique (yABQ) et la solution analytique (yan = -3,857 mm). N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Taille de l’élément 5 3 1 3 1 3 3 1 1 Degré d’interpolation linéaire linéaire linéaire quadratique quadratique linéaire quadratique quadratique quadratique Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Type d’intégration réduite réduite réduite réduite réduite réduite réduite réduite réduite Type de l’élément quadrilatère quadrilatère quadrilatère quadrilatère quadrilatère triangulaire triangulaire triangulaire triangulaire yABQ (mm) -1337 -5.139 -4.019 -3.857 -3.858 -1.714 -3.390 -3.389 -3.838 Erreur yABQ/ yan -345,64 % 0,33 % 0,04 % 0% 0,0002 % 0,55 % 0,12 % 0,12 % 0,004 % 46 TP N° 4 Etude de la flexion d’une poutre Encastrée-libre (modélisation 3D) Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 4 : Etude de la flexion d’une poutre encastrée-libre (modélisation 3D) 4.1 Introduction Ce travail pratique est consacré à la simulation de la flexion simple d’une poutre encastrée-libre en se basant sur une modélisation 3D de ce problème. La solution classique issue de la théorie de la résistance des matériaux (RDM) sera comparer par la suite aux résultats numériques obtenus par des simulations à différents densités de maillages (Etude de la convergence du maillage). 4.2 Position du problème On considère les mêmes données des problèmes traités précédemment, soit alors une poutre de section rectangulaire S=5x2 mm² et de longueur L=150 mm, encastrée par une extrémité et libre de l’autre. On applique une charge force concentrée F sur sa face libre (F=15 N) (Fig.4.1). La poutre est supposée élastique en acier ordinaire de module d’Young E = 210 GPa et de coefficient de Poisson υ=0.3. F=15 N 5 2 y 15 x z Fig.4.1 4.3 Solution analytique En fonction des caractéristiques du matériau et des paramètres géométriques donnés, on peut calculer la flèche en utilisant l’équation suivante : ݔ ܨଷ ݔܮ² = )ݔ(ݕቆ − ቇ ܫܧ6 2 Pour déterminer la flèche pour différentes valeurs des abscisses de x sur toute la longueur de la poutre, nous avons utilisé le tableur Excel. Les calculs sont réalisés avec un pas de 10 mm: x(mm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa y(x) (mm) 0 -0,02514286 -0,09828573 -0,21600003 -0,3748572 -0,57142866 -0,80228584 -1,06400017 -1,35314307 -1,66628598 -2,00000032 -2,35085752 -2,71542901 -3,09028621 -3,47200056 -3,85714347 47 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS La valeur maximale de la flèche est de -3,857 mm. La figure 4.2 représente la courbe de la flèche sur toute la longueur de la poutre : 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 Déplacement (mm) -1,5 Flèche y(x) -2 -2,5 Flèche de la fibre neutre (F=15 N) -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.4.2 4.4 Solution numérique • Hypothèse de la modélisation Dans ce TP la poutre chargée en flexion est modélisée en 3D (Fig.4.4). 3D Fig.4.3 • Modélisation 15. Module PART Dans l’arbre du modèle cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Poutre_3D Sélectionner 3D/Déformable /Solid/Extrusion Mettre Approximat4e size 200 (Fig.4.4) Cliquer Continue Créer un rectangle de 5 x 150 mm On applique à ce rectangle une extrusion de 2 mm (Fig.4.5) Remarque : Enregistrer le fichier de travail (POUTRE.cae) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.4 48 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.4.5 16. Module PROPRETY • Définition du matériau et ses propriétés Dans l’arbre du modèle double cliquer sur Materials Renommer le matériau Acier Donner une description (au choix) Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Introduire le module d’Young Introduire le coefficient de Poisson (Fig.4.6) Cliquer OK • Définition et affectation des propriétés de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections (Fig.4.7) Dans la boite de dialogue Create Section Renommer la section Section_Poutre Dans la liste Category, sélectionner Solid Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous (Fig.4.8) Cliquer sur Continue Dans la boite de dialogue Edit Section Accepter la sélection par défaut du matériau Acier (Fig.4.9) Cliquer sur OK Fig.4.6 Fig.4.9 Fig.4.7 Fig.4.8 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 49 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Affectation de la section à la structure Pour affecter la section Section_Poutre à la structure, double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. ABAQUS/CAE affiche des messages-guide dans la zone de message-guide pour vous aider. Sélectionner la pièce entière comme la région à laquelle la section sera appliquée. ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.4.10). Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section_Poutre puis cliquer OK (Fig.4.11). ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.4.12). Cliquer sur Done. Fig. 4.10 Fig.4.11 Fig.4.12 17. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer la base Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.4.13) Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Poutre_3D (Fig.4.14) et cliquer OK Fig.4.13 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.14 50 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 18. Module STEP • Configuration du pas de l'analyse Dans ce cas, nous nous intéressons à la réponse statique de la poutre sollicitée en flexion par une charge concentrée F=15 N, appliquée sur son extrémité libre. Nous avons un chargement unique, alors un seul pas d'analyse est nécessaire pour la simulation. L'analyse se compose de deux pas au total : Un premier pas (généré automatiquement par ABAQUS/CAE), dans lequel on applique les conditions aux limites en déplacements (encastrement). Un second pas d'analyse, dans lequel on applique une charge concentrée sur l’extrémité libre de la poutre. • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse. Double cliquer sur Steps pour créer un pas (Fig.4.15). ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.4.16).Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut Renommer le pas : Chargement Sélectionner Static General comme Procedure type Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General L'onglet Basic est sélectionné par défaut Dans le champ Description (au choix) : taper force concentrée 15 N Accepter les valeurs par défaut fournies pour le pas (Fig.4.17) Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.4.15 Fig.4.16 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.17 51 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 19. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la poutre Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs (Fig.4.18). ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la boîte de dialogue Create Boundry Condition. Renommer la condition aux limites Extrémité Fixe. Dans la liste des pas Steps, sélectionner Initial, le pas dans le quel la condition limite sera act4ée. Dans la liste Category, accepter Mechanical comme catégorie par défaut. Dans la liste Types for Selected Step, sélectionner Symmetry/Antisymmetry/Encastre (Fig.4.19) et cliquer sur Continue (Fig.4.20) . Fig.4.20 Fig.4.18 Fig.4.19 • Application du chargement à la poutre Revenir dans le module PART Cliquer l’onglet Create Datum Point Midway Between 2 Points (Fig.4.21) Cliquer sur les deux points extrêmes comme montré sur la figure (en rouge) (Fig.4.22)-(Fig.4.23) Dans le module INTERACTION, cliquer sur l’onglet Create Reference Point (Fig.4.24)(Fig.4.25) Dans le module INTERACTION, cliquer l’onglet Create Constraint (Fig.4.26) La fenêtre Create Constraint apparait (Fig.4.27) Choisir Coupling et cliquer sur Continue (Fig.4.27) Choisir le point de référence et cliquer sur surface (Fig.4.28) La fenêtre Edit Constraint apparait (Fig.4.28), accepter les paramètres par défaut et cliquer sur OK (Fig.4.29) Fig.4.21 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.22 Fig.4.23 52 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.4.24 Fig.4.25 Fig.4.26 Fig.4.27 Fig.4.28 Fig.4.29 Dans le module LOAD Cliquer sur Create Load , La fenêtre Edit Load apparait (Fig.4.30) Renommer la charge : Charge concentrée (au choix), sélectionner Concentred force et cliquer sur Continue Sélectionner le point de référence (Fig.4.29)et cliquer sur Done La fenêtre Edit Load apparait. Remplir le champ réservé aux composante de la force (0,-15,0) (Fig.4.31) et cliquer sur OK (Fig.4.32) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 53 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.4.32 Fig.4.30 Fig.4.31 20. Module MESH • Attribution du type d'élément Pour cette simulation on choisit des éléments hexaèdre, avec un degré d’interpolation linéaire à intégration réduite de type C3D8R (Fig.4.33). Dans un premier temps nous avons utilisé les paramètres de maillage suivants : Taille de la maille : 4 mm Degré d’interpolation : Linéaire Type d’intégration : Intégration réduite Type d’éléments : Hexaèdre Fig.4.33 • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh. La poutre est coloriée en vert (Fig.4.34). Cliquer sur Seed Edges (Fig.4.35), sélectionner tout d’abord les arrêtes qui se trouvent sur la longueur de la poutre et cliquer sur OK. La fenêtre Local Seeds apparait (Fig.4.36), choisir 30 comme nombre d’éléments. Ensuite, cliquer de nouveau sur Seed Edges et sélectionner les arrêtes se trouvant sur les faces encastrée et chargée de la poutre et cliquer sur OK. La fenêtre Local Seeds apparait de nouveau (Fig.4.37), choisir 1 comme nombre d’éléments. A la fin cliquer sur Mesh instance et confirmer le maillage (Fig.4.38)-(Fig.4.39). Fig. 4.35 Fig. 4.34 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 54 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig. 4.36 Fig. 4.37 Fig. 4.38 21. Module JOB Fig. 4.39 • Créer et soumettre un travail d’analyse Double cliquez sur Jobs pour ouvrir la boîte de dialogue Create Job (Fig.4.39) et créer un nouveau job. Nommez ce job : Poutre_3D_Hexa_Lin_4mm. Cliquer sur Continue pour créer le travail. La fenêtre ’Edit Job apparaît (Fig.4.40). Dans le champ description, mettre : Flexion simple de la poutre modélisée en 3D. Cliquez OK pour valider. Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit (Fig.4.41). A la fin de l’analyse du modèle (ABAQUS marque Completed Successfully. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results. ABAQUS rentre alors dans le module de VISUALISATION. Fig.4.39 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.40 Fig.4.41 55 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 4.4.3 Problématique Pour différentes tailles des éléments : 5, 3 et 1 mm, on se propose de déterminer la déformée de la fibre neutre de la poutre suivant l’axe y et de discuter les résultats trouvés. Une étude paramétrique basée sur la taille de l’élément, le degré d’interpolation et le type de l’élément est menée. A la fin nous allons effectuer une comparaison des résultats numériques avec les résultats théoriques de référence obtenus par le calcul RDM (solution analytique). 4.4.4 Résultats Dans cette partie nous présentons les résultats obtenus suite à plusieurs simulations avec différents paramètres du maillage. • Simulation 1 Taille de la maille : 5 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : hexaèdres Fig.4.41 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -354.5 mm (Fig.4.41), soit une erreur de 90,91 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Les paramètres choisis pour le maillage dans cette première simulation ne conduisent pas à une solution précise. On doit raffiner le maillage pour ce rapproché de la solution analytique. • Simulation 2 Dans cette deuxième simulation nous allons diminuer la taille de l’élément tout en conservant les autres paramètres du maillage. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : hexaèdres Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 56 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.4.42 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -5.123 mm (Fig.4.42), l’erreur est estimée dans ce cas à 0,32 % par rapport à la solution analytique (yan =-3,857mm). Pour illustrer cette différence entre les valeurs numérique et analytique, on se propose de tracer les courbes, théorique et fournie par ABAQUS. • Traçage de la courbe de la déflexion Pour tracer la flèche sur toute la longueur de la poutre on suit les étapes su4antes : Dans le module VISUALISATION, cliquer sur Tools/Path/Create (Fig.4.43). La fenêtre Create Path s’affiche (Fig.4.44), choisir Node list et cliquer sur Continue. La fenêtre Edit Edge list Path s’affiche, cliquer sur Add Before (Fig.4.45). Revenir sur le ViewPort, A partir de l’origine, piquer des nœuds sur toute la longueur et de la ligne moyenne Cliquer sur Donne puis OK (Fig.4.46). Cliquer sur l’onglet XY Data Manager (Fig.4.47), la fenêtre XY Data Manager s’affiche (Fig.4.48). Cliquer sur Create, choisir Path et cliquer sur Continue La fenêtre XY Data from Path apparait (Fig.4.49). Pour afficher la courbe cliquer sur Plot. Pour afficher les données Data de la courbe, cliquer sur Edit On peut aussi transférer ses données à l’environnement Excel pour pouvoir comparer les résultats numériques et analytiques. Fig.4.43 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.4.44 Fig.4.45 57 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.4.46 Fig.4.47 Fig.4.48 Fig.4.49 0 0 20 40 60 80 -1 120 140 160 Flèche y(x) y(x) ABAQUS -2 Déplacement (mm) 100 -3 Maillage 3 mm_Hex_Line -4 -5 -6 Longeur (mm) Fig.4.50 Les courbes numérique (ABAQUS) et analytique (RDM) se rapproche mais la convergence n’est pas atteinte (Fig.4.50). L’élément choisi pour cette simulation ne Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 58 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS conduit pas à des résultats précis. On doit raffiner le maillage pour ce rapproché de la solution analytique. • Simulation 3 Dans cette simulation nous allons diminuer la taille de l’élément à 1 mm, tout en conservant les autres paramètres du maillage. Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : hexaèdres Fig.4.51 La valeur maximale de la flèche de la fibre neutre est de -4.015 mm (Fig.4.51), l’erreur est égale à 0,04 % par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Pour illustrer cette différence entre les valeurs numérique et analytique, on trace les courbes théorique et obtenue suite à la simulation (Fig.4.52). 0 -0,5 0 20 40 60 80 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 100 -2 -2,5 -3 Maillage 1 mm_Hex_Line -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig. 4.52 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 59 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Simulation 4 Dans cette simulation, nous allons augmenter l’ordre d’interpolation, de linéaire à quadratique. Lors du calcul précédant, la convergence n’a pas été atteinte pour une maille de 5 mm, nous passons à une maille de 3 mm. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : quadratique Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : hexaèdre Fig.4.53 La valeur de la flèche maximale est de -3,852 mm (Fig. 4.53), l’erreur relat4e est de 0,001 % par rapport à la solution analytique. La solution numérique présente une grande correspondance avec la solution analytique (yan=-3,857 mm). Le graphe de la flèche de la fibre neutre (Fig.4.54), ce qui justifie le bon choix des paramètres du maillage. 0 -0,5 0 20 40 60 80 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 100 -2 -2,5 Maillage 3 mm_Hex_Quad -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig. 4.54 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 60 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Simulation 5 Dans cette partie du travail, nous examinons l’effet du type de l’élément. On se propose d’utiliser des éléments tétraédriques à la place des éléments hexaédriques. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : tétraèdre Fig. 4.55 La valeur de la flèche maximale est de -2,303 mm (Fig.4.55). L’erreur relat4e est égale à 0,40 % par rapport à la solution analytique. La solution dans ce cas manque de précision par rapport à la solution analytique (yan = -3,857 mm). Le graphe de la flèche de la fibre neutre (voir ci-dessous) nous montre une d4ergence entre les solutions théorique et numérique (Fig.4.56), 0 -0,5 0 20 40 60 80 -1 100 120 140 Flèche y(x) 160 y(x) ABAQUS Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 Maillage 3 mm_Tet_Line -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.4.56 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 61 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Simulation 6 On se propose de diminuer la taille des éléments tétraédriques. Taille de la maille : 1 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : intégration réduite Type d’éléments : tétraèdre Fig.4.57 La valeur de la flèche maximale est de -3,599 mm (Fig.4.57). L’erreur relat4e par rapport à la solution analytique est égale à 0,06 %. La solution numérique est assez proche de la solution analytique (yan = -3,857 mm). Le graphe de la flèche de la fibre neutre (Fig.4.58) nous montre le rapprochement entre les deux courbes analytique et numérique. 0 -0,5 0 20 40 60 80 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS -1,5 Déplacement (mm) 100 -2 -2,5 -3 Maillage 1 mm_Tet_Line -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.4.58 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 62 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Simulation 7 Dans ce cas on se propose de changer le mode de calcul en passant d’un calcul d’intégration réduite à un calcul en mode intégration hybride. Taille de la maille : 3 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’intégration : mode incompatible Type d’éléments : hexaèdres Fig.4.59 La valeur de la flèche maximale est de -3,845 mm (Fig.4.59). L’erreur relat4e est égale à 0,003 %. La solution fournie par ABAQUS est remarquablement proche de la solution analytique (yan = -3,857 mm), malgré la taille des éléments utilisés et par comparaison aux résultats obtenus par les simulations avec des éléments à intégration réduite. Le graphe de la flèche de la fibre neutre (Fig.4.60), nous montre un rapprochement parfait entre les solutions analytique et numérique. 0 -0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Flèche y(x) -1 y(x) ABAQUS Déplacement (mm) -1,5 -2 -2,5 Maillage 3 mm_Hexa_Line_Incom -3 -3,5 -4 -4,5 Longeur (mm) Fig.4.60 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 63 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 4.4.5 Conclusion Dans le tableau ci-dessous, nous présentons les résultats obtenus pour les types de maillages employés dans les différentes simulations. Nous avons calculé l’erreur relat4e entre solution numérique (yABQ) et la solution analytique (yan = -3,857 mm). N° 1 2 3 4 5 6 7 Taille de l’élément 5 3 1 3 3 1 3 Degré d’interpolation linéaire linéaire linéaire quadratique linéaire linéaire linéaire Type d’intégration réduite réduite réduite réduite réduite réduite mode incompatible Type de l’élément hexaèdre hexaèdre hexaèdre hexaèdre tétraèdre tétraèdre hexaèdre yABQ (mm) -354.5 -5.123 -4.015 -3.852 -2.303 -3.599 -3.845 Erreur yABQ/ yan 90.91 % 0.32 % 0.04 % 0.001 % 0.4 % 0.06 % 0.003 % Le graphe ci-dessous rassemble les courbes des flèches obtenues pour les différentes simulations. La flèche de la simulation 1 n’est pas représentée car elle correspond à une solution totalement aberrante. 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 -2 -3 Flèche y(x) : Analytique Abaqus_Hex_Lin_3mm -4 Abaqus_Hex_Lin_1mm Abaqus_Hex_Quad_3mm -5 Abaqus_Tet_Lin_3mm Abaqus_Tet_Lin_1mm Abaqus_Hex_Quad_3mm_Incom -6 Fig.4.61 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 64 TP N° 5 Déformation plastique (Simulation d’un essai de traction) Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 5 : Déformation plastique (Simulation d’un essai de traction) 5.1 Introduction Le but principal de ce TP est de simuler un essai de traction sur une éprouvette prismatique en matériau ductile (alliage d’aluminium). Nous allons exploiter les résultats d’un essai de traction réel pour réaliser la simulation de ce test et pour effectuer une comparaison entre les réponses expérimentale et numérique. 5.2 Principe de l’essai de traction C’est est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé. On applique progressivement et lentement sur une éprouvette cylindrique ou prismatique, de forme et de dimensions normalisées, un effort de traction qui varie de 0 à F jusqu’à la rupture de l’éprouvette (Fig.5.1). y x F F Fig.5.1 5.3 Courbe contraintes et déformation La courbe comporte deux parties (Fig.5.2): • le domaine de déformation élastique. Pour un grand nombre de matériaux, comme les alliages, les courbes obtenues présentent une zone, appelée domaine élastique où le graphe est une droite (segment OA). Pour tous les points de cette droite, la déformation (ou l'allongement) est proportionnelle à la contrainte et le matériau est élastique. L'éprouvette a un comportement élastique linéaire et suit la loi de HOOKE : σ = E.ε E représente le module d'Young ou module d'élasticité. C’est une caractéristique du matériau appelée aussi module d'élasticité longitudinal. Matériau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstène E (MPa) 60 000 à 160 000 200 000 120 000 70 000 400 000 • le domaine de déformation plastique Dans ce domaine la déformation est irréversible : si l'on supprime la charge le matériau garde une déformation permanente. La courbe de traction passe par un maximum au delà duquel la contrainte diminue bien que l'allongement continue de Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 65 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS croître. La déformation n'est alors plus homogène, elle est localisée dans la zone de striction (la zone la plus mince de l’éprouvette). F(N ) F r Fe P oin t d e ru ptu re Fe C ha rge lim ite éla stiq ue Fr : C h a rge lim ite à la ru p tu re A llon ge m e n t e n m m Z o ne d e d é form a tio n Z o n e d e d é fo rm a tio n p la stiqu e é la stiqu e Fig.5.2 5.4 Position du problème L’objectif de ce travail est de simuler un essai de traction sur une éprouvette en alliage d’aluminium avec les caractéristiques mécaniques et géométriques suivantes (Fig.5.3): • Propriétés élastiques Module d’Young E = 70 GPa Coefficient de poisson υ=0.3 • Propriétés plastiques Tableau 5.1 σ (Mpa) 93.87087379 98.68476476 127.0867214 137.0354294 140.6458477 149.872472 154.2049739 168.8071098 181.6441524 200.1776326 224.808708 235.5597312 244.1445034 253.0502017 261.2338163 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa ε 0 0.004 0.006 0.0082 0.0102 0.0152 0.0152 0.0304 0.0406 0.061 0.122 0.1626 0.2032 0.2438 0.2784 66 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Géométrie 10 x 2 mm² 20 10 5 70 100 Fig.5.3 5.5 Simulation numérique de l’essai de traction • Modélisation L’éprouvette est modélisée sous ABAQUS en 3D 22. Module PART Cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Eprouvette Sélectionner 3D/Déformable /Solid/Extrusion Choisir Approximative size = 200 (Fig.5.4) Cliquer Continue Créer la géométrie de l’éprouvette (Fig.5.5) Cliquer Done (Fig.5.6) Enregistrer le fichier de travail : (Traction_3D.cae) Fig.5.4 Fig.5.5 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 67 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.6 Pour s’approcher au mieux des conditions réelles de l’essai de traction et appliquer convenablement les conditions aux limites, une partition de l’éprouvette dans le Module PART est indispensable. Cliquer sur l’onglet Partition Cell : Extrude/Sweep Edges (Fig.5.7). Choisir une arrête dans le même plan d’extrusion (Fig.5.8) et cliquer sur Done. Cliquer sur la case Extrude Along Direction (Fig.5.9). Choisir une arrête confondue avec la direction de projection (Fig.5.10).Cliquer OK puis Create Partition et Done (Fig.5.11). Cliquer de nouveau sur l’onglet Partition Cell :Extrude/Sweep Edges, sélectionner la partie inferieure de l’éprouvette et cliquer sur Done (Fig.5.12). Sélectionner une arrête (Fig.5.13) et cliquer sur Done. Cliquer sur la case Extrude Along Direction et choisir une arrête confondue avec la direction de projection (Fig.5.14).Cliquer OK puis Create Partition et Done (Fig.5.15). Suivre la même démarche pour l’autre extrémité de l’éprouvette (Fig.5.16). Fig.5.7 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.8 Fig.5.10 68 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.11 Fig.5.14 Fig.5.12 Fig.5.15 Fig.5.13 Fig.5.16 Fig.5.16 1. Module PROPRETY • Définition du matériau L’éprouvette est fabriquée à partir d’un alliage d’aluminium ayant un comportement élastique linéaire dans une première phase de l’essai et un comportement plastique dans une seconde phase. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 69 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Double cliquer sur Materials Renommer le matériau Aluminium Donner une description (au choix) Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Introduire le module d’Young (E=70 000 MPa) Introduire le coefficient de Poisson (ν ν=0.3) (Fig.5.17) Cliquer OK Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Plastic Introduire les propriétés plastique du matériau (Tableau 5.1)-(Fig.5.18) Cliquer OK Fig.5.17 Fig.5.18 • Création de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections Dans la boite de dialogue Create Section Dans la liste Category, sélectionner Solid Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous (Fig.5.19) Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Section apparaît Accepter la sélection par défaut du matériau Acier Cocher la case Plane stress/strain Dans la case thikness introduire la valeur 2 qui corresponds à la largeur de la poutre (Fig.5.20) Fig.5.19 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.20 70 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Affectation de la section à la structure Double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. Sélectionner la pièce entière comme région sur laquelle la section sera appliquée ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance. Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section-1 puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.5.21) Cliquer sur Done Fig.5.21 2. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.5.22) Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Part-1(Fig.5.23) Cliquer OK. ABAQUS/CAE colore la structure entière en bleu et affiche le référentiel associé (Fig.5.24) Fig.5.22 Fig.5.23 Fig.5.24 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 71 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 3. Module STEP • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse.Double cliquer sur Steps pour créer le pas d’analyse, ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.5.25).Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Sélectionner Static General comme Procedure type. La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General (Fig.5.26). Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.5.25 Fig.5.26 4. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la poutre Encastrement Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs. ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Initial, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Symmetry/Antisymmetry/Encastre (Fig.5.27) et cliquer sur Continue. Dans la barre de titre, selectionner Cells (Fig.5.28) Cliquer sur Done et sélectionner la cellule qui correspond à l’extrémité encastrée de l’éprouvette (Fig.5.29) et cliquer sur Done. Dans la fenêtre Edit Boundary Condition qui apparait choisir ENCASTRE et cliquer sur OK (Fig.5.30). ABAQUS/CAE affiche l’éprouvette avec encastrement sur le coté fixe (Fig.5.31). Déplacement imposé Sur la deuxième extrémité de l’éprouvette, on impose un déplacement de 25 mm. Clliquer sur la base BCs, la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche de nouveau. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Step-1, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Displacement/Rotation (Fig.5.32) et cliquer sur Continue. Dans la barre de titre, selectionner Cells (Fig.5.18) Cliquer sur Done et sélectionner la cellule qui correspond à l’extrémité encastrée de l’éprouvette (Fig.5.33). Dans la fenêtre Edit Boundary Condition qui apparait choisir remplir le champ des déplacements (U1=U3=UR1=UR2=UR3=0 et U3=25), (Fig.5.34), cliquer sur OK. ABAQUS/CAE affiche l’éprouvette avec déplacement imposé sur la seconde extrémité de l’éprouvette (Fig.5.35). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 72 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS . Fig.5.27 Fig.5.28 Fig.5.29 Fig.5.30 Fig.5.31 Fig.5.32 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.33 73 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.34 Fig.5.35 5. Module MESH • Attribution du type d'élément L’élément choisi pour modéliser l’éprouvette est de type (Hex/Structured) de la famille 3D Stress, linéaire à intégration réduites C3D8R (Fig.5.36) et (Fig.5.37). Fig.5.36 Fig.5.37 • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh. L’éprouvette est coloriée en vert (Fig.5.38). Cliquer sur Seed Part, la fenêtre Local Seeds apparait (Fig.5.39), sélectionner By number et choisir 30 comme nombre d’éléments. Ensuite, cliquer de nouveau sur Seed Edges et sélectionner les arrêtes se trouvant sur les faces encastrée et chargée de la poutre et cliquer sur OK. La fenêtre Global Seeds apparait, accepter la valeur par défaut et mettre la valeur de 1.5 pour Approximate global size (Fig.5.39) et cliquer sur OK (Fig.5.40). A la fin cliquer sur Mesh Part et confirmer le maillage (Fig.5.41). Fig.5.38 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.39 74 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.40 Fig.5.41 6. Module JOB • Créer et soumettre le job Double cliquez sur Jobs et créer un nouveau Job. Nommez ce fichier par exemple : Eprouvette_traction et cliquer sur Continue pour créer le job. L’Edit Job apparaît (Fig.5.42). Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit (Fig.5.43). A la fin de l’analyse du modèle (ABAQUS marque Completed Successfully. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results. ABAQUS rentre alors dans le module de VISUALISATION. Fig.5.42 Fig.5.43 5.5.1 Problématique On se propose de simuler un essai de traction sur une éprouvette en alliage d’aluminium. Les résultats obtenus seront par la suite analysés et la courbe contraintes déformations tracée. 5.5.2 Résultats Dans cette partie nous présentons les résultats obtenus suite à la simulation de cet essai de traction. L’éprouvette sollicitée en traction selon la direction (x1) est présentée sur la figure 5.44. Fig.5.44 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 75 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS On peut montrer l’évolution des contraintes et des déformations (Fig.5.45) et (Fig.5.46) ainsi que les forces et les déplacements (Fig.5.47) et (Fig.5.48) durant cet essai de traction par rapport à la direction de sollicitation (x1). On peut aussi tracer la courbe qui lie les contraintes aux déformations fournie par ABAQUS et la comparer avec les données théoriques (Tableau 5.1) de cet essai de traction. • Traçage de la courbe Dans la barre de menu cliquer sur Tools (Fig.5.49), choisir XY Data et cliquer sur Create, la fenêtre Create XY Data apparait (Fig.5.50), choisir ODB field output et cliquer sur Continue, la fenêtre XY Data from ODB Field Output s’affiche, dans la case Position, choisir Unique Nodal et cocher les variables souhaitées (Fig.5.51) (dans notre cas : la composante S11 du tenseur de contrainte de Cauchy et la composante E11 du tenseur de déformation, selon la direction (x1) de l’essai (Fig.5.52). Dans la fenêtre XY Data from ODB Field Output, cliquer sur Elements/Nodes et Edit Selection. Dans le ViewPort, piquer un nœud de la zone centrale de l’éprouvette (Fig.5.53). Pour afficher la courbe, cliquer sur Plot. La courbe (Fig.5.54) représente l’évolution en fonction du temps des deux grandeurs S11 et E11. Pour tracer la courbe qui relie les contraintes aux déformations, on clique de nouveau sur Tools, on choisit XY Data et on clique sur Create. La fenêtre Create XY Data apparait, choisir Operate on XY Data et cliquer sur Continue (Fig.5.55), la fenêtre Operate on XY Data apparait (Fig.5.56). A droite de cette fenêtre cliquer sur Combine (X,X). Choisir la variable E11 et cliquer sur la case Add to Expression puis la variable S11 et cliquer sur la case Add to Expression (séparer les deux variables par une virgule) (Fig.5.57). Cliquer sur Plot Expression pour afficher la courbe contraintes-déformation (Fig.5.58). Fig.5.45 Fig.5.47 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.46 Fig.5.48 76 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.49 Fig.5.50 Fig.5.51 Fig.5.52 Fig.5.53 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 77 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.54 Fig.5.55 Fig.5.56 Fig.5.57 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 78 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.5.58 On peut aussi transférer les données issues de la simulation de cet essai de traction à l’environnement Excel pour les comparer aux résultats théoriques. Cliquer sur XY Data/tepm_1/Edit, la fenêtre Edit XY Data apparait (Fig.5.59). Sélectionner les deux colonnes (Fig.5.60) et passer à l’environnement Excel pour tracer les deux courbe : numérique (ABAQUS) et théorique (Tableau 5.1) (Fig.5.61). Fig.5.59 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.5.60 79 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 300 Courbe de Traction Contraintes (MPa) 250 200 ABAQUS 150 THEORIQUE 100 50 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Déformation 0,3 0,35 0,4 Fig.5.61 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 80 TP N° 6 Plaque isotrope trouée soumise à une traction uniforme Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 6 : Plaque isotrope trouée soumise à une traction uniforme 6.1 Introduction L’objectif de ce TP est de modéliser le comportement mécanique d’une plaque mince (2D) comportant un trou central et soumise à une traction uniforme. Le phénomène de concentration de contraintes est examiné en déterminant numériquement par des simulations numériques avec ABAQUS les facteurs de concentration de contraintes (FCC) général (KTG) et net (KTN). Les résultats issus de la simulation numérique seront comparés par la suite à des résultats de références basés sur deux formulations analytiques développées par Howland et Heywood. 6.2 Description du problème On se propose d’étudier numériquement le phénomène de concentration de contraintes dans une plaque isotrope, soumise à un champ de traction uniforme, en présence d’un trou circulaire central (Fig.6.1). La plaque considérée est supposée rectangulaire de largueur (W=100 mm), de longueur (L=200 mm) et d’épaisseur (e =1 mm). On fait varier le diamètre du trou de 10 mm à 90 mm par palier de 10 mm. Pour chaque cas, on détermine les facteurs de concentration de contraintes général (KTG) et (KTN). Les résultats obtenus seront comparés à des résultats analytiques de référence. La plaque est fixée par l’une de ses extrémités, sur l’autre extrémité on applique une contrainte de traction uniforme de 100 MPa (Fig.6.2). Extrémité fixe W=100 mm σnom=100 MPa σ=100 MPa d σ=100 MPa x2 Fig.6.1 x1 L=200 mm Fig.6.1 Fig.6.2 6.3 Problématique On se propose d’étudier analytiquement et numériquement le phénomène de concentration des contraintes dans une plaque isotrope (E=210 000MPa, υ=0,3), soumise à un champ de traction uniforme, en présence d’un trou circulaire central. La plaque est rectangulaire de largueur (W=200 mm), de longueur (L=100 mm) et d’épaisseur (e=1 mm) (Fig.6.1). On fait varier le diamètre du trou de 10 mm à 90 mm par palier de 10 mm. Le rapport diamètre du trou sur la largeur de la plaque (d/W) varie de 0,1 à 0,9. La plaque est fixée par l’une de ses extrémités, sur l’autre extrémité on applique une contrainte de traction uniforme (σnom=100 MPa). Les facteurs de concentration de contraintes général et net sont calculés analytiquement en se basant sur les formulations de Heywood et de Howland et numériquement par des simulations avec le code de calcul ABAQUS. Les résultats obtenus seront par la suite comparés. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 81 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 6.3 Approche analytique 6.3.1 Formulation de Heywood D’après la formulation de Heywood le facteur de concentration de contrainte général (KTG) est donné grâce à la relation suivante : ݀ ∞ 3 ቀ1 − ܹ ቁ ீ்ܭ = ீ்ܭ ݀ ଷ 2 + ቀ1 − ቁ ܹ ∞ ்ܭ : représente le facteur de concentration de contrainte à l’infinie, sa valeur est égale à 3 pour le cas de la plaque isotrope ்ܭ : représente la valeur du facteur général de concentration de contraintes D’après Peterson, dans le cas d’une plaque isotrope rectangulaire finie avec un trou central soumise à l'action d’une traction unidirectionnelle, le facteur de concentration de contrainte général (KTG) est donné par l'équation suivante: = ீ்ܭ σ௫ σ ்ܭே = σ௫ σ௩ Dans cette relation σ௫ représente la contrainte maximale au bord du trou et σ la contrainte nominale appliquée à l’extrémité chargée de la plaque. En tenant compte de la surface réelle dans la zone de concentration de contrainte on peut définir le facteur de concentration de contrainte net (KTn) : Avec : σ௩ = Ainsi : ்ܭே = σ ݀ 1 − (ܹ ) σ௫ ݀ ݀ ൬1 − ( )൰ = ்ܭ ൬1 − ൰ σ ܹ ܹ 6.3.2 Formulation de Howland Selon la formulation de Howland le facteur général de concentration de contraintes peut être donné grâce à la relation suivante : 2 ݀ ݀ ଶ = ீ்ܭ0.284 + − 0.6 ൬1 − ൰ + 1.32 ൬1 − ൰ ݀ ܹ ܹ ቀ1 − ܹ ቁ Ainsi le facteur net de concentration de contraintes est donné par la relation : 6.3.3 Résultats Le rapport (d/W) est varié de 0,1 à 0,9. Les facteurs de concentration de contraintes, général et net sont calculés grâce aux formulations de Heywood et de Howland. Les résultats sont présentés sur le Tableau 6.1. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 82 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS d/w 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Tableau 6.2 Heywood Howland KTG KTN KTG KTN 3.032 2.729 3.035 2.731 3.140 2.512 3.148 2.519 3.347 2.343 3.367 2.357 3.693 2.216 3.732 2.239 4.250 2.125 4.314 2.157 5.160 2.064 5.255 2.102 6.756 2.027 6.889 2.066 10.040 2.008 10.216 2.043 20.010 2.001 20.237 2.023 6.4 Réalisation du modèle sous ABAQUS La plaque est modélisée sous ABAQUS en 2D 23. Module PART Cliquer deux fois sur Parts. Dans la boite de dialogue Create Part .Nommer la pièce Plaque_Isotrope. Sélectionner 3D/Déformable / Shell/Planar. Choisir approximate size = 200. Cliquer Continue. Créer la géométrie de la plaque de dimensions (200 x100) mm² et comportant un trou central de rayon 5 mm (Fig.6.4). Créer un rectangle de sommets opposés (-100,-50) et (100,50) (Fig.6.5). Créer un cercle centré (0,5) (Fig.6.6). Cliquer Done (Fig.6.7). Enregistrer le fichier de travail sous un fichier nommé : Plaque_Isotrope . Fig.6.4 Fig.6.6 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.6.5 Fig.6.7 83 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Pour pouvoir créer par la suite un maillage structuré, on réalise une partition de la plaque dans le Module PART. Cliquer sur Tools/Partition (Fig.6.8). La fenêtre Create Partition apparait (Fig.6.9), sélectionner Face/Sketch et choisir une arrête sur le coté droit de la plaque. ABAQUS permet à l’utilisateur de partitionner la plaque en utilisant les options graphiques mises à disposition (Fig.6.10). On partitionne la plaque en utilisant l’option (Create Lines Connected) (Fig.6.11). Cliquer sur Done puis Create Partition et Done (Fig.6.12). Fig.6.8 Fig.6.9 Fig.6.10 Fig.6.10 Fig.6.11 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 84 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.6.12 24. Module PROPRETY • Définition du matériau La plaque est supposée fabriquée en acier ordinaire ayant les propriétés élastiques suivantes : E=210 000 MPa et ν=0.3. Double cliquer sur Materials Nommer le matériau Acier Donner une description (au choix) Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Introduire le module d’Young : E=210 000 MPa Introduire le coefficient de Poisson : ν=0.3 (Fig.6.13) Cliquer OK • Création de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections Dans la boite de dialogue Create Section Fig.6.13 Dans la liste Category, sélectionner Shell Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous (Fig.6.14) Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Section apparaît (Fig.6.15) La fenêtre Edit Section, dans la case Shell thikness, introduire la valeur 1 Accepter les autres champs par défaut Cliquer sur OK Fig.6.14 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.6.15 85 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Affectation de la section à la structure Double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. Sélectionner la plaque entière comme région sur laquelle la section sera appliquée ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance. Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section-1 puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.6.16). Cliquer sur Done. Fig.6.16 7. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.6.17) Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Plate (Fig.6.18) Cliquer OK ABAQUS/CAE colore la structure entière en bleu et affiche le référentiel associé (Fig.6.19) Fig.6.17 Fig.6.18 Fig.6.19 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 86 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 8. Module STEP • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse. Double cliquer sur Steps pour créer le pas d’analyse, ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.6.20). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Sélectionner Static General comme Procedure type. La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General (Fig.6.21). Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.6.20 Fig.6.21 25. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la poutre Encastrement Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs. ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Initial, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Symmetry/Antisymmetry/Encastre (Fig.6.22) et cliquer sur Continue, sélectionner l’extrémité fixe de la plaque et cliquer sur Done, la fenêtre Edit Boundary Condition apparait, choisir ENCASTRE et cliquer sur OK (Fig.6.23). ABAQUS affiche la plaque avec encastrement (Fig.6.24). Application de la contrainte de traction La contrainte appliquée sur l’extrémité libre de la plaque est une charge de traction supposée uniformément répartie de valeur 100 MPa. Cliquer sur la base load, la boîte de dialogue Create Load s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Step-1, le pas dans le quel on va appliquer la contrainte. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Shell edge load (Fig.6.25), cliquer sur Continue. Sélectionner l’extrémité libre de la plaque et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Load s’affiche. Dans la case Magnitude, introduire la valeur 100 et cliquer sur OK (Fig.6.26). ABAQUS affiche la plaque avec chargement sur le coté libre (Fig.6.27). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 87 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS . Fig.6.22 Fig.6.23 Fig.6.24 Fig.6.25 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.6.26 88 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.6.27 26. Module MESH • Attribution du type d'élément Nous avons choisis de modéliser la plaque avec des éléments de type Quad/Structured de la famille Shell, quadratiques à 4 nœuds à intégration réduites S8R (Fig.6.28) et (Fig.6.29). Ces éléments sont très efficaces pour la capture des concentrations de contraintes. Fig.6.28 Fig.6.29 • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh/Part (Fig.6.30). La plaque est coloriée en rose (Fig.6.31). Cliquer sur Mesh/Controls, dans le Viewport sélectionner la plaque entière et cliquer sur Done. La fenêtre Mesh Controls s’affiche (Fig.6.28), choisir Quad/Structured et cliquer sur Done, la plaque est coloriée en vert (Fig.6.32). Cliquer sur Mesh/Element Type, dans le Viewport sélectionner la plaque entière et cliquer sur Done. La fenêtre Element Type s’affiche, choisir Standard/Quadratic et cliquer sur OK (Fig.6.29). Cliquer sur Seed/Part, la fenêtre Global Seeds apparait, Mettre la valeur 1.8 dans Approximate global size et cliquer sur OK (Fig.6.33). A la fin cliquer sur Mesh Part et confirmer le maillage (Fig.6.34). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 89 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.6.30 Fig.6.31 Fig.6.33 Fig.6.32 Fig.6.34 27. Module JOB • Créer et soumettre le job Double cliquez sur Jobs et créer un nouveau Job. Nommez ce fichier par exemple : Plaque_Isotrope et cliquer sur Continue pour créer le job. L’Edit Job apparaît. Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results pour accéder au VISUALISATION. 6.6 Approche numérique Pour différentes valeur du rapport (d/W) (diamètre du trou sur la largeur de la plaque), nous avons déterminé la valeur de la contrainte maximale au point de calcul (A) conformément à la théorie dans ce domaine (Fig.6.35). Ensuite les valeurs des Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 90 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS facteurs de concentration de contraintes général et net sont déterminées puis présentés dans le Tableau 6.2. Point A Fig.6.35 Pour déterminer la valeur de la contrainte maximale pour différente valeurs du diamètre du trou (d=10 mm, 20mm, 30mm, 40 mm, 50 mm, 60 mm, 70 mm, 80 mm, 90 mm), nous avons réalisé plusieurs simulations. Pour optimiser le temps de simulation on procède comme suit : Dans l’arbre modèle cliquer sur le premier modèle déjà nommé « Plate-Isotrope10mm ». Cliquer sur le bouton droit de la souris, une fenêtre s’affiche, choisir la rubrique : Copy Model (Fig.6.36). La fenêtre Copy Model apparait (Fig.6.37), renommer le nouveau modèle « Plate-Isotrope-20mm » (Fig.6.38) et cliquer sur OK. Dans l’arbre modèle apparait le nouveau modèle « Plate-Isotrope-20mm » (Fig.6.39). Fig.6.37 Fig.6.36 Fig.6.39 Fig.6.38 Cliquer sur le nouveau modèle « Plate-Isotrope-20mm » et revenir dans le module Part. Défiler et cliquer sur Section Sketch (Fig.6.40). Choisir Add Dimension (Fig.6.41) et sélectionner le diamètre du trou (Fig.6.42). Introduire la nouvelle dimension R=10mm et cliquer sur Entrée (Fig.6.43). Le diamètre du trou devient d=20mm (Fig.6.44), cliquer sur le bouton droit de la souris et choisir Cancel Procedure. Cliquer sur Done. Pour que la modification soit prise en considération, dans la barre de titres, cliqué sur Feature/Regenerate/Yes. (Fig.6.45) et (Fig.6.46). On doit aussi modifier impérativement le maillage. Revenir dans le module Mesh (Fig.6.47) et remailler la pièce en cliquant sur Mesh/Part (Fig.6.48). Suivre la même démarche pour tous les autres diamètres du trou de 30 à 90 mm. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 91 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS . Fig.6.40 Fig.6.41 Fig.6.42 Fig.6.43 Fig.6.44 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 92 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.6.45 • Fig.6.46 Fig.6.47 Résultats Fig.6.48 On détermine la valeur de la contrainte maximale qui correspond à la composante S11 du tenseur de contrainte de Cauchy, pour différente valeurs du rapport diamètre du trou sur la largeur de la plaque : d/W=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Les résultats sont portés dans le tableau 6.2. Les facteurs de concentration de contraintes (FCC) général KTG et net KTN sont calculés respectivement à partir des relations théoriques suivantes : = ீ்ܭ Et : ்ܭே = σ௫ σ ݀ ݀ σ௫ ൬1 − ( )൰ = ்ܭ ൬1 − ൰ σ ܹ ܹ Avec : σ = 100 MPa Sur les figures 6.49 et 6.50 sont affichés les iso-contraintes pour les cas des diamètres du trou d=10 mm et 20mm. Pour comparer les résultats numériques obtenus avec les résultats de références issus du calcul analytique (Howland et Heywood) on trace les courbes numériques et analytiques des facteurs de concentration de contraintes général KTG et net KTN en fonction du rapport d/W. (Fig.6.51) et (Fig.6.52). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 93 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 6.2 d/w 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 • σmax 298.60 315.40 338.70 376.40 437.00 534.70 702.70 1041.00 2051.00 MEF KTG 2 .986 3.154 3.387 3.764 4.370 5.347 7.027 10.410 20.510 KTN 2.6874 2.5232 2.3709 2.2584 2.185 2.1388 2.1081 2.082 2.051 Diamètre du trou : 10 mm Fig.6.49 • Diamètre du trou : 20 mm Fig.6.50 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 94 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 25 FCC géneral (KTG) FCC (KTG) 20 15 Heywood 10 Howland Abaqus 5 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (d/W) 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Fig.6.51 2,9 2,7 FCC géneral (KTN) FCC (KTN) 2,5 2,3 Howland 2,1 Heywood 1,9 Abaqus 1,7 1,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (d/W) 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Fig.6.52 • Conclusion D’après les figures 6.51 et 6.52, on remarque la bonne concordance entre les courbes numériques obtenues suite aux simulations par ABAQUS et celles analytiques issues de l’étude analytique (formulations de Heywood et de Howland). Ce qui permet de justifier le bon choix de l’utilisation des éléments quadrilatère et de l’interpolation quadratique. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 95 TP N° 7 Plaque composite stratifiée trouée soumise à une traction uniforme Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 7 : Plaque composite stratifiée trouée soumise à une traction uniforme 7.1 Introduction L’objectif de ce travail pratique est de modéliser le comportement mécanique d’une plaque composite, stratifiée unidirectionnelle, mince (2D) comportant un trou central et soumise à une traction uniforme. Le phénomène de concentration de contraintes est examiné en déterminant numériquement par des simulations numériques avec ABAQUS les facteurs de concentration de contraintes (FCC) général (KTG) et net (KTN). Les résultats issus des simulations numériques seront comparés par la suite à des résultats de références basés la formulation analytique développée par Heywood. 7.2 Description du problème Dans ce travail, on se propose d’étudier analytiquement et numériquement le phénomène de concentration de contraintes dans une plaque composite stratifiée comportant un trou central, sollicitée en traction. L’objectif principal est d’analyser l’évolution des facteurs de concentration de contraintes général KTG et net KTN dans une plaque composite stratifiée composée d’une matrice époxyde et d’un renfort constitué de fibres de verre longues unidirectionnelles dont les caractéristiques mécaniques sont présentées dans le Tableau.7.1. La plaque considérée est supposée de forme rectangulaire, de largueur (W=100 mm), de longueur (L=200 mm) et d’épaisseur (e=1 mm). La plaque comporte un trou central de diamètre d=10 mm. Elle est constituée de quatre (04) plis d’orientations 0° et sollicitée par une contrainte de traction de 100 MPa (Fig.7.1). On fait varier le diamètre du trou de 10 mm à 90 mm par palier de 10 mm. Pour chaque cas, on détermine les facteurs de concentration de contraintes général (KTG) et (KTN). Les résultats obtenus seront comparés à des résultats analytiques de référence (formulation de Heywood). W=100 mm Extrémité d σ=100 MPa σnom=100 σ=100 MPa x2 L=200 mm Fig.7.1 Fig.7.2 Tableau 7.1 Propriétés E11 (MPa) E22 (MPa) ν12 G12 (MPa) G13 (MPa) G23 (MPa) Verre/Epoxyde 50 000 14 500 0.33 2 560 2 560 2 240 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 96 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Conditions aux limites La plaque est fixée par l’une de ses extrémités, sur l’autre extrémité on applique une contrainte de traction uniforme de 100 MPa (Fig.7.2). 7.2 Approche analytique 7.2.1 Formulation de Heywood Pour le cas d’une plaque composite stratifiée, les facteurs de concentration de contraintes général et net, sont calculés en utilisant la méthode analytique (formulation de Heywood) en utilisant les équations suivantes : ∞ ீ்ܭ = ீ்ܭ ݀ ଼ ଷ ቁ ܹ + 1 ൬ ݀ ܯ൰ ( ∞ ܭ− 3) ቆ1 − ൬ ݀ ܯ൰ ቇ ் ܹ ݀ ଷ 2 ܹ 2 + ቀ1 − ቁ ܹ 3 ቀ1 − ∞ ீ்ܭ : représente le facteur de concentration de contrainte à l’infini, sa valeur est égale à 3 pour le cas de la plaque isotrope ீ்ܭ: représente la valeur du facteur général de concentration de contraintes M : facteur d’amplification M²= d 3 ቀ1- Wቁ ඪ1-8 ൮ -1൲ -1 d 3 2+ ቀ1- Wቁ d 2 2 ቀWቁ Pour une plaque composite le facteur de concentration de contrainte à l’infini est donné grâce à la relation suivante : ܧ11 ܧ11 ∞ܭ ቍ − ν12 ൲ + ܶ = 1 + ඪ2 ൮ቌඨ ܧ22 ܩ12 D’après Peterson, dans le cas d’une plaque isotrope rectangulaire finie avec un trou central soumise à l'action d’une traction unidirectionnelle, le facteur de concentration de contrainte général (KTG) est donné par l'équation suivante : = ீ்ܭ σ௫ σ ்ܭே = σ௫ σ௩ Dans cette relation σ௫ représente la contrainte maximale au bord du trou et σ la contrainte nominale appliquée à l’extrémité chargée de la plaque. En tenant compte de la surface réelle dans la zone de concentration de contrainte on peut définir le facteur de concentration de contrainte net (KTN) Avec : σ௩ = Ainsi : ்ܭே = σ ݀ 1 − (ܹ ) ݀ ݀ σ௫ ൬1 − ( )൰ = ீ்ܭ൬1 − ൰ σ ܹ ܹ Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 97 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 7.2.2 Résultats Le rapport (d/W) est varié de 0,1 à 0,9. Les facteurs de concentration de contraintes général et net calculés par la formulation de Heywood pour le cas du composite (Verre/Epoxyde) sont présentés sur le Tableau 7.2. Tableau 7.2 d/w 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 KT∝ 5.752 5.752 5.752 5.752 5.752 5.752 5.752 5.752 5.752 Heywood KTG 5.814097724 6.016382366 6.373821191 6.878479701 7.533253121 8.434776053 9.917859105 13.01800205 22.77553686 KTN 5.232688 4.8131059 4.4616748 4.1270878 3.7666266 3.3739104 2.9753577 2.6036004 2.2775537 7.3 Réalisation du modèle sous ABAQUS La plaque est modélisée sous ABAQUS en 2D 28. Module PART Cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Nommer la pièce Plaque_Composite Sélectionner 3D/Déformable / Shell/Planar Choisir Approximative size = 200 Cliquer Continue Créer la géométrie de la plaque de dimensions (200x100) mm² et comportant un trou central de rayon 5 mm (Fig.7.3) Créer un rectangle de sommets opposés (-100,-50) et (100,50) (Fig.7.4) Créer un cercle centré (0,5) (Fig.7.5) Cliquer Done (Fig.7.6) Enregistrer le fichier de travail : (Plaque_Orthotrope) Fig.7.3 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.7.4 98 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.5 Fig.7.6 Pour pouvoir créer par la suite un maillage structuré, on réalise une partition de la plaque dans le Module PART. Cliquer sur Tools/Partition (Fig.7.7). La fenêtre Create Partition apparait (Fig.7.8), sélectionner Face/Sketch et choisir une arrête sur le coté droit de la plaque. ABAQUS permet à l’utilisateur de partitionner la plaque en utilisant les options graphiques mises à disposition (Fig.7.9). On partitionne la plaque en utilisant l’option (Create Lines Connected) (Fig.7.10). Cliquer sur Done puis Create Partition et Done (Fig.7.11). Fig.7.7 Fig.7.8 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.7.9 Fig.7.10 99 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.11 29. Module PROPRETY • Définition du matériau La poutre est supposée fabriquée à partir d’un matériau composite stratifiée avec les caractéristiques présentées dans le Tableau 7.1. • Création du matériau Double cliquer sur Materials Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic La fenêtre Edit Material s’affiche Dans la case Type sélectionner Lamina (Fig.7.12) Remplir le champ des caractéristiques mécaniques (Tableau 7.1) Cliquer OK • Création de la section Fig.7.12 Pour créer la section cliquer sur Create Composite Layup (Fig.7.13) La boîte de dialogue Create Composite Layup (Fig.7.14) apparaît Choisir Conventionnel Shell pour Element Type et 4 pour le nombre de plies Initial ply count, cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Composite Layup s’affiche (Fig.7.15) Remplir les champs de caractères de la case Plies (Tableau 7. 3) Tableau 7.3 Pli N° 1 2 3 4 Matériau Epoxy/Verre Epoxy/Verre Epoxy/Verre Epoxy/Verre Epaisseur 0.25 0.25 0.25 0.25 Angle 0 0 0 0 Dans le champ Region sélectionner les 4 cases qui correspondent aux 4 plies (Fig.7.16), choisir Edit Region et cliquer sur OK. Dans le ViewPort, sélectionner la plaque et cliquer sur Done (Fig.7.17). La boîte de dialogue Edit Composite Layup Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 100 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS s’affiche de nouveau, dans la case Material cliquer sur Edit Materials (Fig.7.18), la fenêtre Select Material apparait (Fig.7.19), choisir Material-1 pour tous les plies. Dans la case Thickness, mettre la valeur 0.25 mm pour tous les plies (Fig.7.20). Dans la case Rotation mettre les valeurs des angles des orientations des plies dans la plaque respectivement: 0/+45/+45/0 (Fig.7.21). Cliquer sur OK. La pièce devient turquoise et les proprieties de la section sont affectées (Fig.7.22). Fig.7.13 Fig.7.14 Fig.7.15 Fig.7.16 Fig.7.17 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 101 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.18 Fig.7.19 Fig.7.20 Fig.7.21 Fig.7.22 30. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer Assembly, double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.7.23). Dans la boite de dialogue Create Instance, sélectionner Part1 (Fig.7.24). Cliquer OK, ABAQUS/CAE colore la plaque en bleu et affiche le référentiel associé (Fig.7.25) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 102 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.23 Fig.7.24 Fig.7.25 31. Module STEP • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial de l'analyse. Double cliquer sur Steps pour créer le pas d’analyse. ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.7.26). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Sélectionner Static General comme Procedure type. La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General (Fig.7.27). Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.7.26 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.7.27 103 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 32. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la poutre Encastrement Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs. ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Initial, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Symmetry/Antisymmetry/Encastre (Fig.7.28) et cliquer sur Continue. Sélectionner l’extrémité fixe de la plaque et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Boundary Condition apparait, choisir ENCASTRE et cliquer sur OK (Fig.7.29). ABAQUS affiche la plaque avec encastrement (Fig.7.30). Application du chargement On applique une charge de traction supposée uniformément répartie de 100 MPa, sur l’extrémité libre de la plaque. Cliquer sur la base load, la boîte de dialogue Create Load s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Step-1, le pas dans le quel on va appliquer la contrainte. Dans la liste Category, choisir Mechanical comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Shell edge load (Fig.7.31), cliquer sur Continue. Sélectionner l’extrémité libre de la plaque et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Load s’affiche . Dans la case Magnitude, introduire la valeur -100 et cliquer sur OK (Fig.7.32). ABAQUS affiche la plaque avec chargement sur le coté libre (Fig.7.33). . Fig.7.28 Fig.7.29 Fig.7.30 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 104 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.31 Fig.7.32 Fig.7.33 33. Module MESH • Attribution du type d'élément Nous avons choisis de modéliser la plaque avec des éléments de type Tri/Structured de la famille Shell, triangulaires à 6 nœuds à intégration réduites STRI65 (Fig.7.33) et (Fig.7.34). Ces éléments sont très efficaces pour la capture des concentrations de contraintes dans le cas des structures composites. Fig.7.33 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.7.34 105 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh/Part (Fig.7.35). La plaque est coloriée en rose (Fig.7.36). Cliquer sur Mesh/Controls, dans le Viewport sélectionner la plaque entière et cliquer sur Done. La fenêtre Mesh Controls s’affiche (Fig.7.33), choisir Tri/Structured et cliquer sur Done, la plaque est coloriée en vert (Fig.7.36). Cliquer sur Mesh/Element Type, dans le Viewport sélectionner la plaque entière et cliquer sur Done. La fenêtre Element Type s’affiche, choisir Standard/Quadratic et cliquer sur OK (Fig.7.34). Cliquer sur Seed/Part, la fenêtre Global Seeds apparait, Mettre la valeur 1.6 dans Approximate global size et cliquer sur OK (Fig.7.38). A la fin cliquer sur Mesh Part et confirmer le maillage (Fig.7.39). Fig.7.35 Fig.7.36 Fig.7.38 Fig.7.37 Fig.7.39 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 106 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 34. Module JOB • Créer et soumettre le job Double cliquez sur Jobs et créer un nouveau Job. Nommez ce fichier par exemple : Plaque_ Composite et cliquer sur Continue pour créer le job. L’Edit Job apparaît. Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results pour accéder au VISUALISATION. 7.4 Approche numérique Pour différentes valeur du rapport (d/W) (diamètre du trou sur la largeur de la plaque), on détermine la valeur de la contrainte maximale au point de calcul (A) conformément à la théorie dans ce domaine (Fig.7.40). Les valeurs des facteurs de concentration de contraintes général et net sont déterminées puis présentés dans le Tableau 7.3. Point A Fig.7.40 Pour déterminer la valeur de la contrainte maximale pour différente valeurs du diamètre du trou (d=10 mm, 20mm, 30mm, 40 mm, 50 mm, 60 mm, 70 mm, 80 mm, 90 mm), nous avons réalisé plusieurs simulations. Pour optimiser le temps de simulation on procède comme suit : Dans l’arbre modèle cliquer sur le premier modèle déjà nommé « Plate-Composite10mm ». Cliquer sur le bouton droit de la souris, une fenêtre s’affiche, choisir la rubrique : Copy Model (Fig.7.41). La fenêtre Copy Model apparait (Fig.7.42), renommer le nouveau modèle « Plate-Composite-20mm » (Fig.7.43) et cliquer sur OK. Dans l’arbre modèle apparait le nouveau modèle « Plate-Composite-20mm » (Fig.7.44). Fig.6.42 Fig.7.41 Fig.7.44 Fig.7.43 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 107 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Cliquer sur le nouveau modèle « Plate-Composite-20mm » et revenir dans le module Part. Défiler et cliquer sur Section Sketch (Fig.7.45). Choisir Add Dimension (Fig.7.46) et sélectionner le diamètre du trou (Fig.7.47). Introduire la nouvelle dimension R=10mm et cliquer sur Entrée (Fig.7.48). Le diamètre du trou devient d=20mm (Fig.7.49), cliquer sur le bouton droit de la souris et choisir Cancel Procedure. Cliquer sur Done. Pour que la modification soit prise en considération, dans la barre de titres, cliqué sur Feature/Regenerate/Yes. (Fig.7.50) et (Fig.7.51). On doit aussi modifier impérativement le maillage. Revenir dans le module Mesh (Fig.7.52) et remailler la pièce en cliquant sur Mesh/Part (Fig.7.53). Suivre la même démarche pour tous les autres diamètres du trou de 30 à 90 mm. . Fig.7.45 Fig.7.46 Fig.7.47 Fig.7.48 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 108 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.7.49 Fig.7.50 • Fig.7.51 Fig.7.52 Résultats Fig.7.53 On détermine la valeur de la contrainte maximale qui correspond à la composante S11 du tenseur de contrainte de Cauchy, pour différente valeurs du rapport diamètre du trou sur la largeur de la plaque : d/W=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Les résultats sont portés dans le Tableau 7.4 Les facteurs de concentration de contraintes (FCC) général KTG et net KTN sont calculés respectivement à partir des relations théoriques suivantes : = ீ்ܭ Et : ்ܭே = σ௫ σ σ௫ ݀ ݀ ൭1 − ൬ ൰൱ = ்ܭ ൬1 − ൰ σ ܹ ܹ Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 109 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Avec : σ = 100 MPa Sur les figures 7.54 et 7.55 sont affichés les iso-contraintes pour les cas des diamètres du trou d=10 mm et 20mm. Pour comparer les résultats numériques obtenus avec les résultats de références issus du calcul analytique (Heywood) on trace les courbes numériques et analytiques des facteurs de concentration de contraintes général KTG et net KTN en fonction du rapport d/W. (Fig.7.56) et (Fig.7.57). Tableau 7.4 d/w 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 σmax 555,9 593,2 628,1 677,4 752,1 869,8 1070 1466 2598 MEF KTG 5,559 5,932 6,281 6,774 7,521 8,698 10,7 14,66 25,98 KTN 5,0031 4,7456 4,3967 4,0644 3,7605 3,4792 3,21 2,932 2,598 Fig.7.54 Fig.7.55 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 110 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 30 FCC général (KTG) 25 FCC (KTG) 20 Abaqus 15 Heywood 10 5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (d/W) Fig.7.56 6 FCC net (KTN) 5 FCC (KTN) 4 3 Abaqus 2 Heywood 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (d/W) Fig.7.57 • Conclusion D’après les figures 7.56 et 7.57, on remarque la bonne concordance entre les courbes numériques obtenues suite aux simulations par ABAQUS et celles analytiques issues de l’étude analytique (formulations de Heywood). Ce qui permet de justifier le bon choix de l’utilisation des éléments triangulaires et de l’interpolation quadratique. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 111 TP N° 8 Flambage par compression d’une colonne Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 8 : Flambage par compression d’une colonne 8.1 Introduction L’objectif principal de ce travail pratique (TP) est de modéliser le flambage par compression d’une colonne en acier. Les charges critiques et les modes de flambage sont calculés d’après la théorie d’Euler. Les résultats issus sont par la suite comparés à d’autre obtenus suite à une simulation numérique. 8.2 Description du problème On se propose de déterminer analytiquement et numériquement les charges critiques et les modes propres d’une colonne de longueur 5m, de section circulaire et de diamètre d =0.1 m (Fig.8.1), soumise au flambage par compression ayant les caractéristiques mécaniques suivantes : module d’Young E=200 E9 Pa , module de cisaillement G=77 E9 Pa et coefficient de Poisson υ=0.3. La colonne est soumise à une charge axiale de compression (Fig.8.2). Fig.8.1 Fig.8.2 Fig.8.3 8.3 Approche analytique 8.3.1 Effort critique de flambement Une structure élancée est caractérisée par une grande dimension au moins par rapport à une des deux autres. Si cette structure est soumise à un effort de compression axial elle peut se déplacer transversalement d’une façon remarquable même sous faibles charges. L’effort limite à partir du quel manifestent des grands déplacements qui peuvent même provoquer l’instabilité est appelé effort critique de flambement Pc (Fig.8.3).Soit une colonne droite soumise à un effort normal de compression centré P. Lorsque P croit l’état d’équilibre rectiligne initial évolue vers un état curviligne fléchie. La relation fondamentale de la flexion s’écrit alors : ݀²ܯ ݕ = ݀ݔ² ܫܧ Le moment fléchissant dans ce cas est donnée par : = ܯ−ܲ. ݕ Alors : ܫܧ Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa ݀²ݕ + ܲ. = ݕ0 ݀ݔ² 112 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Soit alors une équation différentielle du second ordre : ݕሷ + On pose : ܲ . = ݕ0 ܫܧ ܲ ܫܧ ω=ඨ L’équation différentielle devient : ݕሷ + ω². = ݕ0 Cette équation différentielle du second ordre admet comme solution générale : ܣ = )ݔ(ݕ. ܿ(ݏω )ݔ+ ܤ. (݊݅ݏω)ݔ On utilise les conditions aux limites : Pour x=0 y(0)=0 A=0 ⇒ Pour x=l y(0)=0 ܤ. (݊݅ݏω݈)=0 ⇒ Deux cas peuvent se présenter : sin(ωl)≠0 ⇒ B=0 et y(x)=0 , pas de flambement dans ce cas ⇒ ω݈ = ݇. π sin(ωl)=0 Soit alors : ω= Donc : Pour n=0 P=0 ⇒ ݊π ܲ =ඨ ݈ ܫܧ ܲ= ݊²π²ܫܧ ݈² La colonne est rectiligne Pour que la colonne soit fléchie, il faut que n soit au moins égal à 1, ce qui correspond à la valeur minimale de la charge P : π²ܫܧ ܲ= ݈² A la charge critique d’Euler Pc correspond une contrainte critique σc donnée par la relation : ܲ σ = ܵ 8.3.2 Solution analytique Les charges critiques qui correspondent aux six (06) premiers modes propres sont calculées à partir de la relation d’Euler : ݊²π²ܫܧ ܲ= ݈² Les résultats trouvés sont portés sur le Tableau 8.1 : Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 113 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 8.1 n Pc 1 3.8757 E5 2 1.5503 E6 3 3.4882 E6 4 6.2012 E6 5 9.6894 E6 6 1.3952 E7 8.4 Approche numérique • Système d’unités On adopte dans ce TP le système d'unités SI (m) (Tableau 8.2). Tableau 8.2 Longueur Force Pression/contrainte Densité Masse m Newton Pa (N/m²) Kg/m3 Tonnes 8.4.1 Réalisation du modèle sous ABAQUS • Hypothèse de modélisation La colonne est modélisée sous ABAQUS selon l’hypothèse 1D (Fig.8.4) . Fig.8.4 • Modélisation 35. Module PART Dans l’arbre du modèle cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Colonne_1D Sélectionner 2D Planar/Déformable /Wire Mettre Approximative size = 10 Cliquer Continue (Fig.8.5) Créer une ligne (Line) de longueur 5 m (0,0) , (0,5) Cliquer Done (Fig.8.6) Enregistrer le fichier de travail (Colonne_1D.cae) Fig.8.5 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.8.6 114 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 36. Module PROPRETY • Définition du matériau et ses propriétés On crée un matériau élastique linéaire avec les propriétés suivantes : module de Young E= 210 E9 et coefficient de Poisson ν=0.3. Dans l’arbre du modèle double-cliquer sur Materials Nommer le matériau Acier Donner une description (au choix). Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Définir le module d’Young et le coefficient de Poisson. Cliquer OK (Fig.8.7) • Fig.8.7 Affectation des propriétés de la section: Fig.8.8 Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections Dans la boite de dialogue Create Section (Fig.8.8) Renommer la section Section-Colonne Dans la liste Category, sélectionner Beam Dans la liste Type, sélectionner Beam Cliquer sur Dans la boite de dialogue Edit Beam Section qui s’affiche (Fig.8.9) Cliquer sur Create Beam Profile La fenêtre Create Profile s’affiche (Fig.8.10) Choisir Circular et cliquer sur Continue La fenêtre Edit Profile apparait (Fig.8.11) Remplir le champ r=0.05. Cliquer sur OK Fig.8.9 Revenir à Edit Beam Section et cocher la case Before analysis (Fig.8.12) Remplir les champs : Young’s Modulus 200 E9 et Shear Modulus 77 E9 (Fig.8.12) Fig.8.10 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.8.11 Fig.8.12 115 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Assignement de la section Pour affecter la section Section-Colonne à la structure, double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. ABAQUS/CAE affiche des messages-guide dans la zone de message-guide pour vous aider (Fig. 8.13). Sélectionner la pièce entière comme la région à laquelle la section sera appliquée. ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.8.14). Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section-Colonne puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.8.15). Cliquer sur Done. Fig.8.13 Fig.8.14 Fig.8.15 • Orientation de la colonne Dans barre de menu double-cliquer sur Assign Cliquer sur Beam Section Orientation Choisir le système par défaut d’ABAQUS (Fig.8.16) Cliquer sur OK puis Done Fig.2.15 Fig.2.16 37. Module ASSEMBLY • Assemblage Le module ASSEMBLY permet d’assemblé les différentes pièces créées précédemment. Cette étape est nécessaire même si un projet n’est composé que d’une seule pièce. Pour ce problème, on va créer une seule instance de la poutre objet de cette étude. Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Colonne_1D (Fig.8.17) Cliquer sur OK (Fig.8.18). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 116 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.8.17 Fig.8.18 38. Module STEP Ce module permet d’effectuer les étapes de calcul. Dans notre cas il y a une seule étape de calcul que l’on définit de la manière suivante : • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial d'analyse généré par ABAQUS/CAE. Double cliquer sur Steps pour créer un pas. La boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.8.19). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Sélectionner Linear Perturbation/Buckle comme Procedure type. Cliquer sur Continue. La boîte de dialogue Edit Step apparaît. Mettre la valeur 6 pour Number of Eigenvalues (Fig.8.20). Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step. Fig.2.19 Fig.2.20 39. Module LOAD Le module LOAD permet de définir le chargement subit par la colonne et d’introduire les conditions aux limites qui sont appliquées sur des régions De celle-ci. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 117 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Application des conditions aux limites à la colonne Double cliquer sur la base BCs. La boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche (Fig.8.21). Dans la liste des pas Steps, sélectionner Step-1. Dans la liste Category accepter Mechanical. Sélectionner Displacement /Rotation dans la liste Types for Selected Step (Fig.8.21). Cliquer sur Continue et sélectionner dans le Viewport le point (0,0) et cliquer sur Done (Fig.8.22). La fenêtre Edit Boundary Condition s’affiche (Fig.8.23). Mettre U1=0 et U2=0 et cliquer sur OK (Fig.8.24). Double cliquer de nouveau sur la base BCs. La boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche de nouveau (Fig.8.25). Dans la liste des pas Steps, sélectionner Step-1.Dans la liste Category choisir Mechanical. Choisir Displacement/Rotation dans la liste Types for Selected Step. Cliquer sur Continue et sélectionner dans le Viewport le point (0,5) (Fig.8.26) et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Boundary Condition s’affiche (Fig.8.27). Mettre U1=0 et cliquer sur OK (Fig.8.28). Fig.8.21 Fig.8.25 Fig.8.22 Fig.8.26 Fig.8.23 Fig.8.27 Fig.8.24 Fig.8.28 • Application du chargement à la poutre Dans le module LOAD, cliquer sur Create Load. La fenêtre Create Load apparait. Choisir Mechanical/Concentred force et cliquer sur Continue (Fig.8.29). Cliquer sur Continue et sélectionner dans le Viewport le point (0,5) (Fig.8.30), point de l’application de la charge et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Load apparait. Remplir le champ réservé aux composante de la force CF1=0 et CF2=-1 (Fig.8.31). Cliquer sur OK (Fig.8.32). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 118 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.8.29 Fig.8.30 40. Module MESH • Maillage du modèle Fig.8.31 Fig.8.32 Dans cette étape, nous allons générer le maillage. ABAQUS donne la possibilité de choisir la technique de maillage, le type des éléments ainsi que leur forme. • Attribution du type d'élément Dans cette section, on va attribuer le type d'élément pour le modèle. On utilise un élément de type B23. • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh. Dans la barre de menu cliquer sur Part (Fig.8.33). L’instance est coloriée en rose (Fig.8.34). Cliquer sur Seed/Edges (Fig.8.35). Sélectionner la colonne et cliquer sur Done. La fenêtre Local Speeds apparait (Fig.8.36). Choisir 0.25 comme taille approximative de l’élément et cliquer sur OK. La colonne est subdivisée en 20 éléments (Fig.8.37) et cliquer sur Done. Cliquer sur Mesh/Element (Fig.8.38). La fenêtre Element Type s’affiche, choisir les paramètres suivant : Standard/Linear/Beam/Cubic formulation (Elément B23) (Fig.8.39) et cliquer sur OK. Cliquer sur Mesh/Part et confirmer le maillage en cliquant sur OK. Fig.8.33 Fig.8.35 Fig.8.36 Fig.8.38 Fig.9.36 Fig.8.34 Fig.8.37 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.9.39 119 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.8.40 41. Module JOB • Créer et soumettre un travail d’analyse Double cliquez sur Jobs pour ouvrir la boîte de dialogue Create Job Créer un nouveau travail (Fig.8.41). Nommer le job : Colonne_Flambage er cliquer sur OK Cliquer sur Submit (Fig.8.42) A la fin de l’analyse (ABAQUS affiche Completed Successfully) (Fig.8.43) Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results (Fig.8.44) Fig.8.41 Fig.8.42 Fig.8.44 Fig.8.43 • Résultats Pour afficher les charges critiques qui correspondent aux 6 premiers modes: cliquer sur Result/Step/Frame (Fig.8.45) et (Fig.8.46). Fig.8.45 Fig.8.46 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 120 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Sur la figure 8.47 on affiche l’état déformé de la colonne correspondant aux 6 premiers modes. 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 mode 6 mode Fig.8.47 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 121 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Les résultats numériques trouvés sont portés sur le Tableau 8.2 : Tableau 8.2 n Pc 1 3.8757 E5 2 1.5503 E6 3 3.4884 E6 4 6.2025 E6 5 9.6944 E6 6 1.3967 E7 • Conclusion D’après les résultats obtenus et portés dans les deux tableaux 8.1 et 8.2, on remarque la concordance des résultats numériques obtenues par la simulation par ABAQUS et celles analytiques issues du calcul analytique basé sur la relation d’Euler. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 122 TP N° 9 Flexion 3 points (modélisation 1D) F A B L Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 9 : Flexion 3 points (modélisation 1D) 9.1 Introduction Dans ce travail pratique, nous allons simuler la flexion 3 points d’une poutre reposant sur deux appuis. Sachant que ce problème admet une solution analytique issue de la théorie des poutres, les résultats trouvés par cette approche seront comparés à des résultats numériques obtenus par simulation numérique. 9.2 Position du problème On considère une poutre une poutre droite de section rectangulaire S = 5x2 mm² et de longueur L=160 mm sollicitée en flexion par une charge concentrée F=30 N et reposant sur deux appuis, simple en A et double en B (Fig.9.1). La poutre est supposée élastique (E=210 GPa et υ=0.3). F A 5 B L 2 Fig.9.1 9.3 Solution analytique Pour déterminer la valeur de la flèche maximale, on se propose d’étudier analytiquement la flexion de cette poutre, sollicitée en flexion par une charge concentrée F=30 N et reposant sur deux appuis, simple en A et double en B. 4. Les réactions au niveau de l’encastrement : ܨ௫ = 0 ܨ௬ = 0 ⇒ ܴ௫ = 0 ⇒ ܴ௬ + ܴ௬ − = ܨ0 ⇒ ܴ௬ = ܨ− ܴ௬ ܮ ܨ ܯ/ = 0 ⇒ ܴ௬ . ܮ− ܨ. = 0 ⇒ ܴ௬ = = 15 ܰ 2 2 ܴ௬ = ܨ− ܴ௬ = 30 − 15 = 15 ܰ 5. Effort tranchant et moment fléchissant : ࡸ Tronçon 1 : ≤ ࢞ ≤ Effort tranchant : ܨ௬ = 0 ⇒ ܶଵ − ܴ௬ = 0 ⇒ ܶଵ = ܴ௬ = = 15 ܰ ܶଵ = ܴ௬ = = ܨ15 ܰ Moment fléchissant : ܨ ܯ/ை = ݂ܯଵ − ܴ௬ . = ݔ0 ⇒ ݂ܯଵ = ܴ௬ . = ݔ. ݔ 2 Pour x= 0 ܯ (0) = 0 ܰ. ݉݉ ி Pour x= L ܯ (L) = . = ܮ2400 ܰ. ݉݉ Effort tranchant : ܨ௬ = 0 ܶଶ = − ଶ ⇒ ܶଶ + ܨ− ܴ௬ = 0 ⇒ ܶଶ = ܴ௬ − ݂ = − ܨ = −15 ܰ 2 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa RAy + Mf O A + x Fig.9.2 ܨ = −15 ܰ 2 123 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Moment fléchissant : ܮ ܯை = ݂ܯଶ − ܴ௬ . ݔ+ ܨ. ൬ ݔ− ൰ = 0 2 ܨ ܮ ܨ ݂ܯଶ = . ݔ− ܨ. ൬ ݔ− ൰ = ( ܮ− )ݔ 2 2 2 ܨ ݂ܯଶ = ( ܮ− )ݔ 2 ி Pour x= ܯ ቀ ቁ = . = ܮ2400 ܰ. ݉݉ ܰ. ݉݉ ଶ ଶ ܯ (L) = Pour x= L ଶ ி .ܮ ଶ = 0 ܰ. ݉݉ 6. Expression de la flèche maximale : La poutre est symétrique, la flèche maximale est située au milieu. Considérons la première moitié de la poutre : ࡸ ≤࢞≤ ܨ ݂ܯଵ = . ݔ 2 Intégration : • Rotation : • Flèche : ܯ ()ݔ ܨ. ݔ ݔ ܨଶ ω( = )ݔන ݀ = ݔන ݀= ݔ ቆ + ܣଵ ቇ ܫܧ 2ܫܧ 2 ܫܧ2 = )ݔ(ݕන ܯ ()ݔ ݔ ܨଶ ݔ ܨଷ ݀ݔ² = න ቆ + ܣଵ ቇ ݀= ݔ ቆ + ܣଵ . ݔ+ ܣଶ ቇ 2 ܫܧ2 2 ܫܧ6 ܫܧ Conditions aux limites (conditions aux appuis): Au niveau de l’appui A : (ݕ0) = 0 ܨ0ଷ (ݕ0) = ቆ + ܣଵ . 0 + ܣଶ ቇ = 0 ⇒ ܣଶ = 0 2 ܫܧ6 Au milieu de la poutre la flèche est maximale: ܮ ܮ ݕ′ ൬ ൰ = ω ൬ ൰ = 0 2 2 ۓ ۖ ۖ ܮଶ ܮ ܨቀ2ቁ ܮ² ω൬ ൰ = + ܣଵ ൲ = 0 ⇒ ܣଵ = − ൮ 2 2ܫܧ 2 8 ۔ ܨ0ଷ ܮ ۖ ۖ(ݕ0) = ቆ + . 0² + ܣଵ . 0 + ܣଶ ቇ = 0 ⇒ ܣଶ = 0 ܫܧ6 2 ە ݔ ܨଶ ܮ² ω(= )ݔ ቆ − ቇ 2 ܫܧ2 8 = )ݔ(ݕ ݔ ܨଷ ܮ² ቆ − ݔቇ 2 ܫܧ6 8 Rotation : ܮܨ² ܨ0ଶ ܮ² ቤ = 0.01097145 ݀ܽݎ ቆ − ቇቤ = ቤ− 2 ܫܧ2 8 16ܫܧ ω(0) = ቤ Flèche maximale : La flèche atteint son maximum au milieu de la poutre : Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 124 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS ܮଷ ቁ ቀ ܮ ܨ ܮଶ ܮ ܮܨଷ ݕ൬ ൰ = ( 2 − ൬ ൰) = − 8 2 48ܫܧ 2 2 ܫܧ6 Le moment d’inertie I est donné par la relation : =ܫ ܾ. ℎଷ 2.5ଷ = = 20.83 mmସ 12 12 ܮ ܮܨଷ 30(160)ଷ ݕ௫ = ݕ൬ ൰ = − =− = −0,5851 ݉݉ 2 48ܫܧ 3.210000.20,83 ࡸ Tronçon 2 : ≤࢞≤ࡸ Effort tranchant : ܨ௬ = 0 ܶଶ = −15 ܰ ⇒ ܶଶ + ܨ− ܴ௬ = 0 ⇒ ܶଶ = ܴ௬ − = ܨ− Moment fléchissant : ܮ ܯை = ݂ܯଶ − ܴ௬ . ݔ+ ܨ. ൬ ݔ− ൰ = 0 2 ܨ ܮ ܨ ݂ܯଶ = . ݔ− ܨ. ൬ ݔ− ൰ = ( ܮ− )ݔ 2 2 2 ி ݂ܯଶ = ଶ ( ܮ− )ݔ ܯ ቀଶቁ = Pour x= ଶ ܯ (L) = Pour x= L ܨ = −15 ܰ 2 RAy F + Mf O A x = 2400 ܰ. ݉݉ ସ ி . ( ܮ− = )ܮ0 ܰ. ݉݉ ଶ O T + Fig.9.3 La poutre est symétrique, la flèche maximale est située au milieu. Considérons la première moitié de la poutre : ࡸ ≤࢞≤ ݂ܯଵ = ܨ .ݔ 2 Intégration : • Rotation : ݕሷ (= )ݔ ܯ ()ݔ ܫܧ Pour x= ଶ Alors : ݕܫܧሶ (= )ݔ • ݕܫܧሷ (ܯ = )ݔ (= )ݔ ݕሶ ቀଶቁ = 0 ⇒ ܨ ܮܨ ݔܨ² ( ܮ− ݕܫܧ ⇒ )ݔሶ (= )ݔ ݔ− + ܥଵ 2 2 4 ಽ ிቀ ቁ² ி ቀ ቁ − ସమ + ଶ ଶ ܥଵ = 0 ⇒ ܥଵ = − ݔܨ ݔܮܨ² 3ܮܨ² ݔܨ ݔܮܨ² 3ܮܨ² − − ⇒ ω(ݕ = )ݔሶ (= )ݔ − − 2 4 16 2 ܫܧ4 ܫܧ16ܫܧ Flèche : ݔܮܨ² ݔܨଷ 3ܮܨ²ݔ − − + ܥଶ 4 12 16 య ி ிయ ଷிయ Pour x= = )ܮ(ݕ ܮ0 ⇒ ସ − ଵଶ − ଵ + ܥଶ = 0 ⇒ ܥଶ = ݔܨ ݔܮܨ² 3ܮܨ² ω(ݕ = )ݔሶ (= )ݔ − − 2 ܫܧ4 ܫܧ16ܫܧ ଷ ݔܮܨ² ݔܨ 3ܮܨ²ݔ ܮܨଷ − − + = )ݔ(ݕ 4 ܫܧ12 ܫܧ16ܫܧ 48ܫܧ = )ݔ(ݕܫܧ • ଷி² ଵ ிయ ସ଼ Rotation : ω(ݕ = )ܮሶ (= )ܮ ܮܨ² ܮܨ² 3ܮܨ² − − = 0.01097145 2 ܫܧ4 ܫܧ16ܫܧ Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 125 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Flèche maximale : La flèche atteint son maximum au milieu de la poutre : ݕ௫ ܮ ܮଷ ܮ ଷ ଷ ܮܨ ቀ ቁ ² ܨ ቀ ቁ 3ܮܨ² ቀ ቁ ܮ 2 2 2 + = ܮܨ− ܮܨ ݕ൬ ൰ = − − 12ܫܧ 48ܫܧ 48ܫܧ 2 4ܫܧ 16ܫܧ ܮ ܮܨଷ 30(160)ଷ = ݕ൬ ൰ = − =− = −0,5851 ݉݉ 48ܫܧ 3.210000.20,83 2 On utilise le tableur Excel pour déterminer la flèche pour différentes valeurs de l’abscisse x sur toute la longueur (L) de la poutre, à partir de la relation précédente (nous avons choisi un pas de calcul de 10 mm) : ࡸ ࡸ Tronçon 1 : ≤ ࢞ ≤ Tableau 9.1 Tronçon 2 : ≤࢞≤ࡸ Tableau 9.2 x(mm) y(x) x(mm) y(x) 0 0 80 -0,5851 10 -0,1091 90 -0,5720 20 -0,2149 100 -0,5349 30 -0,3137 110 -0,4771 40 -0,4023 120 -0,4023 50 -0,4771 130 -0,3137 60 -0,5349 140 -0,2149 70 -0,5720 150 -0,1091 80 -0,5851 160 0 Sur la figure 9.4 représente la courbe de la flèche sur toute la longueur de la poutre : 0 Flèche y(mm) -0,1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 Flèche -0,7 L (mm) Fig.9.4 La valeur maximale de la flèche est : ymax= -0,5851 mm. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 126 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 9.4 Solution numérique 9.4.1 Réalisation du modèle sous ABAQUS • Hypothèse de modélisation La poutre est modélisée sous ABAQUS selon l’hypothèse 1D (Fig.9.5) F 1D A B L Fig.9.5 • Modélisation 42. Module PART Dans l’arbre du modèle cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Renommer la pièce Poutre_1D Sélectionner 3D/Déformable /Solid/Wire Mettre Approximative size = 200 Cliquer Continue (Fig.9.6) Créer une ligne (Line) de 160 mm Cliquer Done (Fig.9.7) Enregistrer le fichier de travail (POUTRE-1D.cae) Fig.9.7 Fig.9.6 Module PROPRETY • Définition du matériau et ses propriétés Nous allons créer un seul matériau élastique linéaire avec les propriétés suivantes : module de Young E= 210 000 MPa et coefficient de Poisson ν=0.3. Dans l’arbre du modèle double-cliquer sur Materials Renommer le matériau Acier Donner une description (au choix). Cliquer sur l’onglet: Mechanical/Elasticity/Elastic Définir le module d’Young et le coefficient de Poisson Cliquer OK (Fig.9.8) • Affectation des propriétés de la section: Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections (Fig.9.9) Dans la boite de dialogue Create Section (Fig.9.10) Renommer la section Section_Poutre-1D Dans la liste Category, sélectionner Beam Dans la liste Type, sélectionner Beam Cliquer sur Dans la boite de dialogue Edit Beam Section qui s’affiche (Fig.9.11) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 127 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Cliquer sur Create Beam Profile La fenêtre Create Profile s’affiche (Fig.9.12) Choisir Rectangular et cliquer sur Continue La fenêtre Edit Create Profile apparait (Fig.9.13) Remplir le champ a=2 et b=5 Cliquer sur OK Fig.9.8 Fig.9.11 Fig.9.9 Fig.9.12 Fig.9.10 Fig.9.13 Assignement de la section Pour affecter la section Section_Poutre-1D à la structure, double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. ABAQUS/CAE affiche des messages-guide dans la zone de message-guide pour vous aider (Fig. 9.14). Sélectionner la pièce entière comme la région à laquelle la section sera appliquée. ABAQUS/CAE mets la structure en surbrillance (Fig.9.15). Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section_Poutre-1D puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.9.16). Cliquer sur Done. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 128 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.9.15 Fig.9.14 Fig.9.16 • Affectation de l’orientation de la poutre Dans barre de menu double-cliquer sur Assign Cliquer sur Beam Section Orientation Choisir le système par défaut d’ABAQUS (Fig.9.17) Cliquer sur OK (Fig.9.18) Fig.9.17 Fig.9.18 43. Module ASSEMBLY • Assemblage Le module ASSEMBLY permet d’assemblé les différentes pièces créées précédemment. Cette étape est nécessaire même si un projet n’est composé que d’une seule pièce. Pour ce problème, on va créer une seule instance de la poutre objet de cette étude. Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Assembly Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait Dans la boite de dialogue Create Instance sélectionner Poutre_1D (Fig.9.19) Cliquer OK (Fig.9.20). Fig.9.19 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.9.20 129 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 44. Module STEP Ce module permet d’effectuer les étapes de calcul. Dans notre cas il y a une seule étape de calcul que l’on définit de la manière suivante : • Configuration du pas de l'analyse Nous nous intéressons à la réponse statique de la poutre sollicitée en flexion par une charge concentrée F=30 N appliquée au milieu de la poutre, un seul pas d'analyse est nécessaire dans cette simulation • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse statique qui suit le pas initial d'analyse généré par ABAQUS/CAE. Double cliquer sur Steps pour créer un pas. La boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.9.21). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut. Renommer le pas : Chargement. Sélectionner Static General comme Procedure type et cliquer sur Continue. La boîte de dialogue Edit Step apparaît avec les paramètres par défaut pour un pas d'analyse Static General (Fig.2.22). L'onglet Basic est sélectionné par défaut, dans le champ Description (au choix) : taper force concentrée 30 N. Accepter les valeurs par défaut fournies pour le pas. Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step. Fig.9.21 Fig.9.22 45. Module LOAD Le module LOAD permet de définir le chargement subit par la poutre et d’introduire les conditions aux limites qui sont appliquées à des régions du modèle constituées de déplacements et/ou des rotations. Les Conditions imposées, telles que les chargements et les conditions aux limites dépendent du pas d'analyse. On doit donc spécifier le ou les pas dans lesquelles ils deviennent actifs. • Application des conditions aux limites à la poutre Double cliquer sur la base BCs. La boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche (Fig.9.23). Dans la liste des pas Steps, sélectionner Step-1, dans la liste Category, accepter Mechanical et choisir Displacement/Rotation dans la liste Types for Selected Step et cliquer sur Continue. Dans le View Port, sélectionner le point qui correspond à l’appui A (Fig.9.24) et cliquer sur Done. La fenêtre Edit Boundary Condition apparait. Remplir le champ des déplacements (U2=0) (Fig.9.25) et cliquer sur OK. Répéter la même chose pour l’appui B (Fig.9.26), (Fig.9.27) (Fig.9.28) et (Fig.9.29). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 130 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.9.24 Fig.9.23 Fig.9.2 Fig.9.27 Fig.9.25 Fig.9.29 Fig.9.28 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.9.26 131 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Application du chargement à la poutre Avant d’appliquer le chargement on doit créer un point de référence et un Set pour pouvoir appliquer la charge concentrée. Dans la barre de menu, cliqué sur Tools/Reference Point (Fig.9.30). Choisir et cliquer sur le point qui apparait au milieu de la poutre (Fig.9.31). Le point de référence s’affiche (Fig.9.32). Dans la barre de menu, cliqué sur Tools/Set/Create (Fig.9.33). La fenêtre Create Set s’affiche, nommer le Set Force_Concentrée, activer Node (Fig.9.34) et cliquer sur Continue. Sélectionner le point de référence (point d’application de la charge) et cliquer sur Done. Ainsi le Set Force_Concentrée est crée (Fig.9.36). Dans le module LOAD, cliqué sur Create Load, la fenêtre Create Load apparait. Renommer la charge : Force concentrée. Choisir Mechanical/Concentred force et cliquer sur Continue (Fig.9.37). En bas du View Port cliqué sur Sets, la fenêtre Edit Selection apparait, sélectionner le Set nommé Force_Concentrée et cliquer sur Continue (Fig.9.38). La fenêtre Edit Load apparait. Remplir le champ réservé aux composante de la force (CF1=0, CF2=30) (Fig.9.39) et cliquer sur OK (Fig.9.40). Fig.9.31 Fig.9.30 Fig.9.32 Fig.9.33 Fig.9.34 Fig.9.36 Fig.9.35 Fig.9.37 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 132 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.9.38 Fig.9.39 Fig.9.40 46. Module MESH • Maillage du modèle Dans cette étape, nous allons générer le maillage. ABAQUS donne la possibilité de choisir la technique de maillage, le type des éléments ainsi que leur forme. • Attribution du type d'élément Dans cette section, on va attribuer le type d'élément pour le modèle. Nous allons utiliser des éléments de type B21 (Fig.9.41) avec les paramètres de maillage suivants : - Taille de l’élément : 16 mm - Degré d’interpolation : Linéaire - Type: Beam • Démarche Revenir au module Assembly et cliquer sur Instances. Activer Make Independent (Fig.9.42). Dans le module MESH, cliqué sur Mesh, l’instance est coloriée en rose (Fig.9.43). Cliquer sur Seed/Instance (Fig.9.44). La fenêtre Global Seeds s’affiche, (Fig.9.45), mettre 16 pour Approximate global size et cliquer sur OK (Fig.9.46) et Done. Cliquer sur Mesh instance et confirmer le maillage (Fig.9.47). Fig.9.44 Fig.9.41 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.9.42 133 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.9.43 Fig.9.45 Fig.9.46 Fig.9.43 47. Module JOB • Créer et soumettre un travail d’analyse Double cliquez sur Jobs et créer un job. Nommez le fichier flexion-3-points (Fig.9.44) et cliquer sur Continue. Pour soumettre le job, Cliquer sur Submit (Fig.9.45). A la fin de l’analyse (ABAQUS affiche Completed Successfully) (Fig.9.46) Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results (Fig.9.47) Fig.9.44 Fig.9.45 Fig.9.46 Fig.9.47 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 134 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 9.5 Problématique Pour ce problème de flexion simple (3 points), on se propose de déterminer numériquement les déformées sur toute la longueur de la poutre, les rotations et la flèche maximale située au milieu de la poutre. Nous allons aussi tracer le la déformée de la fibre neutre suivant l’axe y. Une Comparaison des résultats numériques avec les résultats théoriques obtenus par le calcul RDM (solution analytique) sera faite. 9.6 Résultats numériques Pour le maillage que nous avons choisis avec les paramètres suivants qui suit: Taille de l’élément : 16 mm Degré d’interpolation : linéaire Type d’éléments : Beam (B21) La courbe de la flèche de la fibre neutre présentée sur la figure 9.48, nous montre une valeur maximale de la flèche de -0.585 mm, soit une erreur relative de presque 0.04 % par rapport à la solution analytique (yan=-0.5851 mm). La figure 9.49 présente les valeurs maximales de la rotation au niveau des deux appuis sur les quels la poutre repose (ω=0.01097 rad). L’erreur relative est de presque 0.013 % par rapport à la solution RDM (ω=0.01097145 rad). Fig.9.48 Fig.9.49 • Traçage de la courbe de la déformée de la poutre Dans le module VISUALISATION, cliquer sur Tools/Path/Create (Fig.9.50). La fenêtre Create Path s’affiche (Fig.9.51). Choisir Edge list et cliquer sur Continue. La fenêtre Edit Edge list Path s’affiche, cliquer sur Add Before (Fig.9.52). En bas du Viewport, choisir by feature edge (Fig.9.53). Piquer le premier élément (Fig.9.54) et cliquer sur Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 135 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Done (Fig.9.55). La fenêtre Edit Edge List Path s’affiche (Fig.9.56). Cliquer sur OK puis sur l’onglet XY Data Manager (Fig.9.57), la fenêtre XY Data Manager s’affiche (Fig.9.58), choisir Path et cliquer sur Continue (Fig.9.59). La fenêtre XY Data from Path apparait (Fig.9.60). Pour afficher la courbe, cliquer sur Plot (Fig.9.61).Pour afficher les données Data de la courbe : cliquer sur Edit (Fig.2.48). Fig.9.50 Fig.9.51 Fig.9.52 Fig.9.53 Fig.9.54 Fig.9.55 Fig.9.57 Fig.9.58 Fig.9.56 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 136 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.9.61 Fig.9.59 Fig.9.60 Pour éditer les données obtenues suite à l’analyse numérique on procède comme suit : Cliquer sur XY Data Manager (Fig.9.62), la fenêtre Edit XY Data Manager s’affiche (Fig.9.63), cliquer sur Edit, la fenêtre Edit XY Data s’affiche (Fig.9.64) sélectionner tout les données dans le tableau (Fig.9.65) et copier dans le tableur Excel pour exploiter ses données sous forme de courbe (Tableau 9.2), (Fig.9.66). . Fig.9.62 Fig.9.64 Fig.9.65 Fig.9.63 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 137 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Tableau 9.3 x(mm) 0 16,0009 32,0017 48,0023 64,0025 80,0025 96,0026 112,003 128,003 144,004 160,005 y(x) 0 -0,173276 -0,33251 -0,463656 -0,552672 -0,585514 -0,552672 -0,463656 -0,33251 -0,173276 0 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -0,1 Flèche (mm) -0,2 Solution RDM Solution numérique -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 L (mm) Fig.9.66 La figure 9.66 présente les deux courbes de la déformée de la poutre numérique (ABAQUS) et analytique (RDM). 9.7 Conclusion Les courbes numérique (ABAQUS) et analytique (RDM) sont en parfaite concordance. L’élément choisi pour cette simulation conduit à des résultats très précis et très proches de la solution analytique. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 138 TP N° 10 Transfert de chaleur dans une plaque rectangulaire Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS TP N° 10 : Transfert de chaleur dans une plaque rectangulaire 10.1 Introduction Le but principal de ce chapitre est de modéliser le comportement thermique mécanique d’une plaque mince rectangulaire, soumise à un champ de température imposé sur ces quatre extrémités. 10.2 Position du problème On se propose d’étudier le phénomène de transfert de chaleur dans une plaque mince isotrope de forme rectangulaire (40x30) mm², soumise à un champ de température imposée sur ces quatre cotés comme montré sur la figure 10.1. Nous allons considérer un problème de conduction de chaleur stationnaire régi par l’équation de la chaleur (de Laplace) et des conditions aux limites de type Dirichlet. Nous commençons par une résolution basée sur la méthode des différences finies, par la suite on conduit une simulation de ce problème par le code de calcul ABAQUS. A la fin une comparaison des résultats obtenus sera faite. TCD=40 D l=30 mm C TAD=10°C TBC=0° C TAB=20°C y A L=40 B x Fig.10.1 10.3 Résolution par la méthode des différences finies Pour étudier la distribution de la chaleur dans la plaque rectangulaire par la méthode des différences finies, on considère l’équation de la chaleur en 2D : ∂²T ∂²T + =0 ∂x² ∂y² Avec des conditions aux limites de type Dirichlet : T(x, 0) = T T(x, l) = Tୈେ T(L, y) = Tେ T(0, y) = Tୈ pour pour pour pour 0≤x≤L 0≤x≤L 0≤y≤l 0≤y≤l La résolution de cette équation permet de déterminer le champ de temperature T(x, y) sur toute la plaque. • Discrétisation La plaque est discrétisée par des segments élémentaires de longueurs ∆x et ∆y, qui représentent les pas, respectivement sur les axes x et y. Ce qui conduit au nombre de nœuds sur la longueur et sur à la largeur de la plaque : Et : m= n= Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa L +1 ∆x l +1 ∆y 139 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Les deux relations précédentes permettent de mailler de déterminer le maillage de la plaque (Fig.10.2). Ce dernier comporte (mxn) points (i,j). Le champ de température continu T(x,y) est remplacé par le champ discret Ti,j . Pour notre cas : • pour un pas choisit ∆x=10 mm et ∆y =10 mm : 40 +1=5 10 30 n= +1 =4 10 m= T(i,j) j=1,n ∆y y Fig.11.2 i=1,m ∆x x • Schéma de différences finies Si on utilise un schéma de différences finies centrées, les dérivées secondes des termes de l’équation de la chaleur s’écrivent : ∂²T T୧ିଵ,୨ − 2T୧,୨ + T୧ାଵ,୨ = + θ(∆x ଶ ) ∆x² ∂x² ∂²T T୧,୨ିଵ − 2T୧,୨ + T୧,୨ାଵ = + θ(∆y ଶ ) ∆y² ∂y² Si on rassemble ses deux termes on obtient l’expression de l’équation de la chaleur sous forme discrétisée : ∂²T ∂²T T୧ିଵ,୨ − 2T୧,୨ + T୧ାଵ,୨ T୧,୨ିଵ − 2T୧,୨ + T୧,୨ାଵ + = + + θ(∆x ଶ + ∆y ଶ ) = 0 ∆x² ∆y² ∂x² ∂y² Si on tronque l’erreur θ(∆x ଶ + ∆y ଶ ), et si pose : ∆x ଶ r=൬ ൰ ∆y Alors : rT୧ିଵ,୨ − 2(r + 1)T୧,୨ + rT୧ାଵ,୨ + T୧,୨ିଵ + T୧,୨ାଵ = 0 Appliquons cette relation sur les nœuds internes du maillage de la plaque : T(1.4) T(3.4) T(2.4) T(2.3) T(1.3) T(3.3) T(4.4) T(4.3) T(5.4) T(5.3) Fig.11.3 T(2.2) T(3.2) T(4.2) T(1.2) T(5.2) y T(2.1) x T(1.1) Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa T(3.1) T(4.1) T(5.1) 140 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Résolution ∆x = 10 mm et ∆y = 10 mm r= ∆x =1 ∆y Pour les nœuds externes situés sur les limites de la plaque le champ de température est connu (conditions aux limites) : T(i, 1) = T = 20 °C i = 1, m j = 1 T(1,1) = T(2,1) = T(3,1) = T(4,1) = T(5,1) = 20 °C T(m, j) = Tେ = 0 °C i = m j = 1, n T(5,1) = T(5,2) = T(5,3) = T(5,4) = 0 °C T(i, n) = Tେୈ = 40 °C i = 1, m j = n T(1,4) = T(2,4) = T(3,4) = T(4,4) = T(5,4) = 40 °C i = 1 j = 1, n T(1, j) = Tୈ = 10 °C T(1,1) = T(1,2) = T(1,3) = T(1,4) = 10 °C Pour les nœuds internes situés à l’intérieur de la plaque le champ de température est inconnu, on utilise l’équation de la chaleur discrétisée pour trouver les valeurs nodales du champ de temperature: • Nœud (܂, ) : −4Tଶ,ଶ + Tଷ,ଶ + Tଶ,ଷ + Tଶ,ଵ + Tଵ,ଶ = 0 • • • • • Nœud (܂, ) : −4Tଷ,ଶ + Tଶ,ଶ + Tସ,ଶ + Tଷ,ଷ + Tଷ,ଵ = 0 Nœud (܂, ) : −4Tଶ,ଷ + Tଶ,ଶ + Tଷ,ଷ + Tଵ,ଷ + Tଶ,ସ = 0 Nœud (܂, ) : Nœud (܂, ) : Nœud (܂, ) : −4Tସ,ଶ + Tଷ,ଶ + Tହ,ଶ + Tସ,ଵ + Tସ,ଷ = 0 −4Tଷ,ଷ + Tଶ,ଷ + Tସ,ଷ + Tଷ,ଶ + Tଷ,ସ = 0 −4Tସ,ଷ + Tଷ,ଷ + Tହ,ଷ + Tସ,ଶ + Tସ,ସ = 0 Ces équations nodales nous ramènent à un système d’équations : −4 ۍ1 ێ ێ0 ێ1 ێ0 ۏ0 1 −4 1 0 1 0 0 1 0 0 Tଶ,ଶ −30 1 0 1 0ۇ ېTଷ,ଶ ۊ −20 ۑ −4 0 0 1ۈ ۑTସ,ଶ ۇ ۋ−20ۊ ۈ = ۋ−50ۋ 1 −4 1 0ۈ ۑ ۈTଶ,ଷ ۋ −40 0 1 −4 1 ۑTଷ,ଷ 1 0 1 −4ۉ ےTସ,ଷ ۉ ی−40ی La résolution de ce système permet de déterminer les températures nodales recherchées : Tଶ,ଶ 18.344 Tଷ,ଶ 19.814 ۊ ۇ ۇ ۊ ۈTସ,ଶ = ۋ15.010 ۈTଶ,ଷ ۈ ۋ23.561ۋ ۋ ۈ 25.901 Tଷ,ଷ ۉ 20.228ی ۉTସ,ଷ ی Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 141 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 10.4 Réalisation du modèle sous ABAQUS La plaque est modélisée sous ABAQUS 48. Module PART Cliquer deux fois sur Parts Dans la boite de dialogue Create Part Sélectionner 3D/Déformable / Shell/Planar Choisir Approximative size = 200 (Fig.10.4) Cliquer Continue Créer la géométrie de la plaque de dimensions montée (crée un rectangle dont les coordonnées des sommets sont (0,0), (40,0), (40,30) et (0,30) (Fig.10.5) Cliquer Done (Fig.10.6) Enregistrer le fichier de travail : (Transfert_Plaque) Fig.10.5 Fig.10.6 Fig.10.4 49. Module PROPRETY • Définition du matériau Pour un problème de transfert de chaleur, on définit les caractéristiques thermiques du matériau. La plaque est supposée fabriquée en matériau isotrope de conductivité thermique k=43 W/°C. Double cliquer sur Materials Nommer le matériau Isotrope Activer l’onglet: Thermal/Conductivity (Fig.10.7) et introduire la valeur du coefficient de conductivité thermique k=43 W/°C Cliquer OK • Création de la section Dans l'arbre modèle double-cliquer sur Sections Dans la boite de dialogue Create Section Dans la liste Category, sélectionner Shell Dans la liste Type, sélectionner Homogeneous (Fig.10.8) Fig.10.7 Cliquer sur Continue La boîte de dialogue Edit Section apparaît La fenêtre Edit Section, dans la case Shell thikness, introduire la valeur 1 (Fig.10.9) Accepter les autres champs par défaut Cliquer sur OK Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 142 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.8 Fig.10.9 • Affectation de la section à la plaque Double-cliquer sur Section Assignements dans la liste des attributs de la pièce qui apparaît. Sélectionner la plaque entière comme région sur laquelle les propriétés de la section seront appliquées. ABAQUS/CAE met la structure en surbrillance. Dans la boite de dialogue Edit Section Assignement accepter la sélection par défaut de la section Section-1 puis cliquer OK. ABAQUS/CAE affecte la section à la poutre et colore la structure entière en turquoise (Fig.10.10). Cliquer sur Done. Fig.10.10 Fig.10.11 50. Module ASSEMBLY • Assemblage Dans l'arbre modèle développer Assembly. Double cliquer sur Instances dans la liste qui apparait (Fig.10.11). Dans la boite de dialogue Create Instance, sélectionner Part-1 (Fig.10.12).Cliquer OK.ABAQUS/CAE colore la structure entière en bleu et affiche le référentiel associé (Fig.10.13). Fig.10.12 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.10.13 143 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 51. Module STEP • Création du pas d'analyse On crée un pas d'analyse Heat transfer qui suit le pas initial de l'analyse. Double cliquer sur Steps pour créer le pas d’analyse ABAQUS/CAE passe au module Step et la boîte de dialogue Create Step apparaît (Fig.10.14). Une liste de toutes les procédures générales et un nom du pas Step-1 est fourni par défaut Sélectionner General/ Heat transfer. La boîte de dialogue Edit Step apparaît, cocher la case Steady-state (Fig.10.15). Cliquer sur OK pour créer le pas et pour quitter la boîte de dialogue Edit Step Fig.10.14 Fig.10.15 52. Module LOAD • Application des conditions aux limites à la plaque Pour appliquer les conditions aux limites : champ de température imposé, on définit les surfaces sur lesquelles ses conditions vont être appliqué (Sets). Dans l'arbre modèle double cliquer sur Assembly/Sets (Fig.10.16). La fenêtre Create Sets s’affiche. Nommer le Set Droite (Fig.10.17) et cliquer sur Continue. Sélectionner l’arrête droite de la plaque (Fig.10.18) et cliquer sur Done. De la même manière, créer un second Set et nommer le Gauche (Fig.10.19), cliquer sur Continue. Sélectionner l’arrête gauche de la plaque (Fig.10.20) et cliquer sur Done. Un troisième Set et nommer le Haut (Fig.10.21), cliquer sur Continue. Sélectionner l’arrête du haut de la plaque (Fig.10.22) et cliquer sur Done. Et à la fin, un dernier créer un Set et nommer le Bas (Fig.10.23). Sélectionner l’arrête du bas de la plaque (Fig.10.24) et cliquer sur Done. Vérifier si les quatre Sets sont créées. (Fig.10.25) Fig.10.16 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.10.25 Fig.10.18 144 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.17 Fig.10.19 Fig.10.22 Fig.10.23 Fig.10.24 Fig.10.21 Fig.10.20 Conditions aux limites (champ de température) Dans l'arbre modèle double cliquer sur la base BCs. ABAQUS/CAE passe au module LOAD et la boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Step-1, le pas dans le quel la condition limite sera activée. Dans la liste Category, choisir Other comme catégorie. Dans la liste Types for Selected Step, choisir Temperature (Fig.10.26) et cliquer sur Continue. Dans le Viewport en bas à droite, cliquer sur Sets, la boîte de dialogue Region Selection s'affiche, sélectionner le Set Droite (Fig.10.27) et cliquer sur Continue. La fenêtre Edit Boundary Condition apparait, dans la case Magnitude mettre la température imposée (TBC = 0°) (Fig.10.28) et cliquer sur OK (Fig.10.29). De nouveau cliquer sur la base BCs. La boîte de dialogue Create Boundry Condition s'affiche de nouveau. Dans la liste des pas Steps. Sélectionner Step-1/Other/Temperature et cliquer sur Continue. Dans le Viewport en bas à droite, cliquer sur Sets, la boîte de dialogue Region Selection s'affiche, sélectionner les autres Sets (Gauche, Haut et Bas) un par un et répéter la même démarche (TAD = 10°),(TCD = 40°) et (TAB = 20°) (Fig.10.30), (Fig.10.31), (Fig.10.32), (Fig.10.33), (Fig.10.34), (Fig.10.35), (Fig.10.36), (Fig.10.37) et (Fig.10.38). Fig.10.26 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.10.27 145 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.28 Fig.10.29 Fig.10.30 Fig.10.32 Fig.10.35 Fig.10.31 Fig.10.33 Fig.10.34 Fig.10.6 Fig.10.37 Fig.10.38 53. Module MESH • Attribution du type d'élément La plaque est modélisée avec des éléments de type Quad/Structured de la famille Heat Transfer, linéaires à 4 nœuds (DS4). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 146 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Démarche Dans le module MESH cliquer sur Mesh/Part. La plaque est coloriée en rose (Fig.10.39).Cliquer sur Mesh/Controls, la fenêtre Mesh Controls s’affiche, choisir Quad/Structured et cliquer sur OK (Fig.10.40). La plaque est coloriée en vert (Fig.10.41). Cliquer sur Mesh/Element Type, la fenêtre Element Type s’affiche, choisir Standard/Linear (dans un premier temps) et Heat Transfer pour Family (Fig.10.42), cliquer sur OK. Cliquer sur Seed /Edges, dans le Viewport, sélectionner les deux arrêtes situées en haut et en bas (Fig.10.44), la fenêtre Local Seeds apparait, cocher By number et mettre la valeur 4 pour Number of elements (Fig.10.45). Cliquer sur OK puis sur Done (Fig.10.46). Répéter la même opération avec les deux arrêtes situées en haut et en bas (Fig.10.47) : mettre la valeur 3 (Fig.10.48) et cliquer sur OK (Fig.10.49). A la fin cliquer sur Mesh Part et confirmer le maillage (Fig.10.50). Fig.10.39 Fig.10.41 Fig.10.44 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.10.40 Fig.10.42 Fig.10.45 147 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.46 Fig.10.47 Fig.10.48 Fig.10.49 Fig.10.50 54. Module JOB • Créer et soumettre le job Double cliquez sur Jobs et créer un nouveau Job. Nommez ce fichier par exemple : Plaque-Temperature et cliquer sur Continue pour créer le job. L’Edit Job apparaît. Pour soumettre le travail, Cliquer sur Submit. Pour visualiser les résultats, cliquer sur Results pour accéder au module VISUALISATION. Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 148 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS 10.5 Problématique Pour ce problème de transfert de chaleur, on se propose de déterminer le champ de température dans une plaque mince rectangulaire. La solution de ce problème de conduction de chaleur, stationnaire, régi par l’équation de la chaleur (de Laplace) avec des conditions aux limites de type Dirichlet est résolu tout d’abord par la méthode des différences finies. Les résultats obtenus par cette méthode seront comparés par la suite à des résultats fourni par le code de calcul ABAQUS. 10.6 Résultats numériques • Simulation 1 Nous avons commencé par un maillage dont les caractéristiques sont comme suit : Quad/Structured de la famille Heat Transfer, linéaires à 4 nœuds (DS4). Taille de l’élément : 10x10 mm² Degré d’interpolation : linéaire Type d’éléments : Heat Transfer (DS4) La figure 10.51, présente le champ de température dans la plaque (NT11). Pour déterminer les températures nodales, on procède comme suit : Dans la barre de menu, cliqué sur Tools/Query, la fenêtre Query s’affiche. Cliquer sur Probe Values, la fenêtre Probe Values apparait. Cocher Part Instance et sélectionner Nodes. Dans le Viewport, sélectionner les nœuds ou on veut connaitre les valeurs du champ de température. Les résultats sont édités dans la fenêtre Probe Values. Fig.10.51 Fig.10.52 Fig.10.53 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa Fig.10.52 149 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.54 Fig.10.55 Ainsi le champ de température fourni par cette simulation est : Tଶ,ଶ 19.6658 T 21.7754 ۇଷ,ଶ ۊ ۇ ۊ ۈTସ,ଶ = ۋ16.8544 ۈTଶ,ଷ ۈ ۋ26.2724ۋ ۋ ۈ 28.3063 Tଷ,ଷ ۉ 23.4610ی ۉTସ,ଷ ی Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 150 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS On compare ses résultats avec ceux obtenus par la méthode des différences finie en calculant le pourcentage de l’erreur relative (Tableau 10.1). Tableau 10.1 Méthode des ABAQUS différences finies 18.3440 19.6658 19.8140 21.7754 15.0100 16.8544 23.5610 26.2724 25.9010 28.3063 20.2280 23.4610 Températures Erreur relative nodales (°C) en (%) Tଶ,ଶ 7.2032 Tଷ,ଶ 9.8990 Tସ,ଶ 12.2878 Tଶ,ଷ 11.5080 Tଷ,ଷ 9.2865 Tସ,ଷ 15.9827 • Simulation 2 Pour rapprocher au mieux la solution différences finies à la solution fournie par ABAQUS, nous utilisons un maillage avec les caractéristiques suivantes : Quad/Structured de la famille Heat Transfer, quadratique à 8 nœuds (DS8). Taille de l’élément : 10 x10 mm² Degré d’interpolation : Quadratique Type d’éléments : Heat Transfer (DS8) La figure 10.56, montre le champ de température dans la plaque (NT11) ainsi que les valeurs nodales aux nœuds de calcul qui sont présentés dans la fenêtre (Probe Values) (Fig.10.57) et sur le Tableau 10.2. Fig.10.56 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 151 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS Fig.10.57 Températures nodales (°C) Tଶ,ଶ Tଷ,ଶ Tସ,ଶ Tଶ,ଷ Tଷ,ଷ Tସ,ଷ Tableau 10.2 Méthode des ABAQUS différences finies 18.3440 18.2981 19.8140 20.1919 15.0100 14.6470 23.5610 22.7005 25.9010 26.6311 20.2280 19.0495 Erreur relative en (%) 0.2523 1.9072 2.4183 3.6522 2.8188 5.8260 10.7 Conclusion Les valeurs des températures nodales aux nœuds de calcul fournies par ABAQUS et celles obtenues par la méthode des différences finies se rapprochent lorsqu’on utilise des éléments Heat Transfer, quadratique à 8 nœuds (DS8). Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa 152 Polycopié de Travaux Pratiques : ABAQUS • Références bibliographiques [1] Abaqus documentation, version 6.11 [2] CAZENAVE M , Méthode des éléments finis : Approche pratique en mécanique des structures, Ed. Dunod, Paris [3] Barbero, Ever J ,Finite element analysis of composite materials using Abaqus, CRC Press/Taylor & Francis Group, 2013 [4] CANO Ana, Etude et simulation numérique d’essais de traction sur des aciers, Université de Lorraine, 2013 [5] Sam Helwany , Applied Soil Mechanics with ABAQUS Applications, 2007 [6] Ever J. Barbero ,Finite element analysis of composite materials, CRC Press/Taylor & Francis Group, 2007 [7] G. Zamani, Shuvra Das , Abaqus for Catia V5 Tutorials , 2006 [8] Amar Khennane, Introduction to Finite Element Analysis Using MATLAB® and Abaqus, CRC Press/Taylor & Francis Group, 2013 Dr. Deghboudj Samir Université Larbi Tébessi de Tébessa View publication stats