devoir de synthése n°2 4sc

DEVOIR DE SYNTHESE N°2
MATHEMATIQUES
4SC-EXP
3H
13/03/2023
Lycée Abou Ishak :Jebeniana
EXERCICE N°1 (11 points)
Les questions suivantes sont indépendantes :
1- Calculer « A » l’aire colorée entre les deux fonctions y  2cos x et y  2sin x
2- Donner une primitive pour chacune de fonctions suivantes :
a ) f ( x) 
2x
x
2

1
3
b) g(x) = x 2 x3  2
I=
I= 0;+
 - - 
d) k(x)=tan 2 x I=  ; 
2 2
-x 2  1
3- Calculer le volume v du solide de révolution S engendré par la rotation de l’arc
 AB   M  x; y  /1  x  y et y  2 x  1 autour de l’axe des abscisses
 
a2
x
I 
dx
4- Soit a un réel de 0;1 et soit
a 1  x3
Quel est le signe de I ? Justifier la réponse
c) h(x)=
x
I= -1;1


5- Calculer les intégrales suivantes

J   2  x sin x dx
0
2
L   x7 cos x dx
2
2


K   2  sin 2 x dx
0

M   2sin x dx

1
6- La courbe ci-dessous est celle de la fonction f (t )  cos2 t
Tracer un rectangle d’aire exactement égale à l’aire hachurée (Annexe page 3 )
EXERCICE N°2 (9 points) Soit la fonction f définie sur  0;  par : f ( x) 
1
x2  1
.
1) Calculer lim f  x  puis interpréter le résultat graphiquement.
x 
2) a) Montrer que f est dérivable sur  0;  et que f '( x) 
x
x2  1
3
b) Montrer que l’équation f ( x)  x admet une solution unique  et que   0,7;0,8
c) Etudier les variations de f .
d) Tracer C f la courbe de f ainsi que la demi tangente au point d’abscisse 0. (Annexe page 3)
3) a) Monter que f réalise une bijection de  0;  sur un intervalle J à déterminer.
b) La fonction réciproque f 1 est-elle dérivable à gauche en 1 ? Justifier la réponse
c) Expliciter f 1 ( x) pour tout réel x de J
d) Tracer C f 1 dans le même repère que C f (Annexe page 3)
4) Soit la fonction G définie sur [0 ;
tan x
1

dt
[ par G( x)  
2
0
t 1
2
a) Monter que G est dérivable sur [0 ;

[ et que G’(x) =1.
2
b) Calculer G(0) puis déterminer l’expression de G .
1
c) Calculer
x
0
2
1
dx
1
.
d) En déduire le volume du solide de révolution engendré par la rotation de partie de la courbe de
f sur [0 ;1] autour de l’axe des abscisses.
2
Nom ……………………….Prénom……………………….………………..
Annexe ( Question 6 – exercice 1 )
Annexe ( Problème courbes C f et C f 1 )
3