4 Cinématique des corps ponctuels 4.1 Problèmes de khôlle 4.1.1 Piéton et voiture Dans une rue étroite, un piéton et une voiture circulent, chacun à vitesse constante. On note v#”p la vitesse du piéton et v#”v celle de la voiture.Dans un premier temps, le piéton souhaite traverser la rue le plus lentement possible sans se faire heurter par la voiture qui ne l’a pas vu. y e ` • O H x L Piéton et voiture gardent chacun une vitesse constante et une trajectoire rectiligne. 1. Établir la loi horaire du mouvement de la voiture à travers les coordonnées xv et yv du centre de son pare-choc avant. Quelle est la loi horaire des coordonnées de la partie supérieure du pare-choc avant ? 2. Le piéton garde une trajectoire rectiligne, d’angle α par rapport à l’axe Ox. Représenter sur un schéma la trajectoire du piéton, puis établir la loi horaire de sa position à travers celle de ses coordonnées xp (t) et yp (t). 3. Montrer que le choc sera évité si vp (2(L − `) sin α + (H + e) cos α) > (e + H)vv . 4. En déduire l’expression de la vitesse minimale que doit alors prendre le piéton. Le piéton décide de traverser la rue perpendiculairement à son axe, mais cette fois le conducteur est plus attentif et freine dès que le piéton met un pied sur la chaussée. Ce freinage se traduit par une décélération constante β et la voiture garde une trajectoire rectiligne parallèle à l’axe Ox. 5. Établir la loi horaire du mouvement de la voiture à travers la coordonnée xv du centre de son pare-choc avant. 6. À quelle condition portant sur β le véhicule s’arrête-t-il avant d’arriver au niveau du piéton ? 4. Cinématique des corps ponctuels 4.1.2 4.1. Problèmes de khôlle Baywatch & Mitch Buchannon Dans la série « Baywatch », Mitch Buchannon est un maître-nageur de la plage de Malibu, qui passe son temps à sauver de la noyade divers personnages. On suppose qu’à l’instant t = 0 Mitch est immobile dans son poste de surveillance noté P quand survient un début de noyade en un point noté N . P • ` • I L • N | 0 | x | H x 1. Mitch part en ligne droite et accélère avec une accélération constante β jusqu’à atteindre sa vitesse maximale vs . Donner l’expression de l’instant t1 auquel il atteint cette vitesse maximale. 2. Exprimer la distance alors parcourue. La distance calculée précédemment est négligeable devant celle qu’il doit parcourir sur le sable puis dans l’eau. On néglige alors cette phase d’accélération et on considère désormais qu’il garde, dans l’eau comme dans le sable, une vitesse constante, respectivement ve pour l’eau et vs pour le sable. 3. Tracer les trajectoires limites dans lesquelles il minimise d’une part son temps de parcours dans le sable, puis d’autre part son temps de parcours dans l’eau et exprimer alors la durée totale du sauvetage dans chacun des deux cas. On note I le point d’entrée dans l’eau de Mitch. 4. Montrer qualitativement qu’il existe une trajectoire optimale pour sauver le baigneur. 5. Exprimer la durée du sauvetage en fonction de la coordonnée x du point I. En déduire une relation permettant de calculer la coordonnée x du sauvetage le plus rapide possible. 6. Si Mitch est déjà au bord de l’eau, combien de temps doit-il longer la plage avant de plonger ? 4.1.3 Ellipse et tire-bouchon Un point matériel M se déplace sur une ellipse plane et on repère sa position dans une base cartésienne (O, x, y). Ces coordonnées s’expriment dans cette base selon ( x(t) = A cos (ωt) y(t) = B sin (ωt + ψ) On donne le schéma ci-dessous : 2/3 C. Cayssiols, 2012 – 2021 4. Cinématique des corps ponctuels 4.1. Problèmes de khôlle y M • b M0 θ • x a 1. À t = 0, le point matériel est en M0 . En déduire A et ψ. 2. Déduire des autres données l’expression de B puis la trajectoire du point M . 3. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse #” v et accélération #” a du point M dans la base cartésienne. # ” 4. Montrer alors que #” a = −k OM en précisant l’expression de k. Le point matériel M décrit à présent une hélice circulaire d’axe Oz , son mouvement étant défini en coordonnées cylindriques dans la base de projection (O, r, θ, z) par les équations : r=R θ = ωt z =H 1− θ 2π où R, ω, et H sont des constantes positives. 5. Où se trouve le point M à l’instant t = 0 ? 6. Exprimer la vitesse #” v du mobile, dans la base associée aux coordonnées cylindriques. Préciser son module et son orientation. 7. Exprimer l’accélération #” a du mobile, dans la base associée aux coordonnées cylindriques. Que peut-on dire du produit scalaire #” a · #” v? 3/3 C. Cayssiols, 2012 – 2021
