Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 2.4 27 Différentiabilité en plusieurs variables La différentiabilité d’une fonction f au point x0 correspond à l’existence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point x0 . Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est la droite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tangent au graphe de la fonction au point (x0 , y0 ). Dès que une fonction d’une variable est dérivable si et seulement si il existe la droite tangente au point, sur R il y a équivalence entre la dérivabilité et la différentiabilité. Pour fonction de plusieurs variables, en general, la dérivabilité est une notion trop faible pour garantir l’existence d’une approximation linéaire. Pour garantir l’existence de la linéarisation il faut parler de différentielle. Définition 2.4.1 [ Différentiabilité d’une fdpv à valeurs réelles] Soient D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. On dit que f est différentiable en x0 si il existe une application linéaire L : Rn 7! R telle que au voisinage de x0 l’on ait : f (x0 + h) f (x0 ) = Lh + o(|h|) Si une telle application existe, on l’appelle différentielle de f au point x0 et on la note Df (x0 ). Toutes fonctions élémentaires telles que polynômes, exponentielle, logarithmiques et trigonométriques sont différentiables dans leur domaine de définition. Sauriez-vous donner la définition de différentielle pour f : D 7! Rp , p > 1? De manière équivalente on peut dire que f est différentiable au point 28 2.4. Différentiabilité en plusieurs variables x0 2 Rn si et seulement si l’expression : f (x01 + h1 , · · · , x0n + hn ) f (x01 , · · · , x0n ) h1 @x1 f (x0 ) p h21 + · · · + h2n ··· hn @xn f (x0 ) tend vers 0 lorsque (h1 , · · · , hn ) ! (0, · · · , 0). La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la dérivabilité. Théorème 2.4.2 Soient D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. Si f est différentiable en x0 alors : — f est continue en x0 ; — f admet toute dérivée directionnelle en x0 et sa différentielle est donnée par : Df (x0 ) : Rn 7! R (h1 , · · · , nn ) 7! @x1 f (x0 )h1 + @xn f (xn )hn = rf (x0 ) · h ATTENTION : la réciproque du théorème 2.4.2 est fausse. Exemple 12 La fonction définie au remarque 7 est dérivable en (0, 0) mais pas différentiable en ce point car pas continue. Définition 2.4.3 [ Fonction de classe C 1 ] Soient D un ouvert de Rn et f : D 7! R. Si toute dérivée partielle de f existe et est continue sur D on dit que f est de classe C 1 sur D et on écrit f 2 C 1 (D). Théorème 2.4.4 [ Condition suffisante pour la différentiabilité ] Soient D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. Si f est de classe C 1 au voisinage de x0 alors elle est différentiable au point x0 . Proposition 2.4.1 [ Plan tangent] Soient D une partie ouverte de R2 , f : D 7! R et (x0 , y0 ) 2 D. Si f est différentiable en (x0 , y0 ) alors elle admet une linéarisation au voisinage de (x0 , y0 ). L’équation du plan Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 29 Figure 4: Fonction différentiable f (x, y) admettant un plan tangent à son graphe pour tout point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). tangent au graphe de la fonction {x, y, f (x, y)} en (x0 , y0 ) est donnée par : t(x, y) = f (x0 , y0 ) + (x x0 )@x f (x0 , y0 ) + (y y0 )@y f (x0 , y0 ) Quelle est l’équation du "plan" tangent pour une fonction différentiable en R3 ? Et en Rn ? 2.5 Dérivées d’ordres supérieurs Si une fonction f est dérivable on peut se demander si les dérivées partielles sont elles mêmes dérivables. Par exemple, dans le cas d’une fonction f : R2 7! R, on peut chercher les deux dérivées partielles (par 30 2.5. Dérivées d’ordres supérieurs Figure 5: Fonction non différentiable en (0, 0). La non existence d’un plan tangent au graphe de la fonction en (0, 0) est flagrante. Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 31 rapport à x et y) des fonctions @x f (x, y) et @x f (x, y). Si les dérivées existent, elles s’appellent dérivées partielles d’ordre 2. Pour une fonction f : D 7! R, D ouvert de Rn , si toutes les dérivées partielles premiéres son dérivables, on a n2 dérivées partielles d’ordre 2 : @ 2f @ @f = @x2i @xi @xi 8i = 1, · · · , n @ 2f @ @f = @xi xj @xi @xj j 6= i De la même manière on peut définir les dérivées partielles d’ordres supérieurs. Exemple 13 Soit f : R2 7! R : f (x, y) = xy 2 . On a 4 dérivées d’ordre 2 : @ 2f = 0, @x2 @ 2f = 2x, @y 2 @ 2f = 2y, @y@x @ 2f = 2y. @x@y Définition 2.5.1 [ Matrice hessiene ] Soient f : D 7! R, D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 en x0 on peut définir la matrice hessienne de f au point x0 : 0 @2f 1 @2f · · · 2 @x1 xn @x B .. 1 . . .. C Hf (x0 ) = @ . . . A @2f @xn x1 ··· @2f @x2n 32 2.5. Dérivées d’ordres supérieurs Définition 2.5.2 [ Fonction de classe C 2 ] Soient f : D 7! R, D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 et elles sont continues sur D on dit que f est de classe C 2 sur D et on écrit f 2 C 2 (D). De la même manière on peut définir les fonction de classe C k , k 3. Définition 2.5.3 [ Différentielle d’ordre supérieur ] Soient f : D 7! R, D ouvert de Rn et x0 2 D. Si x 7! Df (x) est différentiable en x0 on dit que f admet une différentielle d’ordre 2 en x0 . Elle est notée D2 f (x0 ). Théorème 2.5.4 [ Lemme de Schwarz] Soient f : D 7! R, D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f admet une différentielle d’ordre 2 en x0 alors toutes dérivées partielles croisées sont égales, c’est à dire : @ 2f @ 2f (x0 ) = (x0 ). @xi xj @xj xi Lorsque elle existe, la différentielle d’ordre 2 d’une fonction f : D 7! R au point x0 2 D est donnée par : D2 f (x0 ) : Rn ⇥ Rn 7! R n P @2f (h, k) 7! @xi xj (x0 )hi kj i,j=1 où h = (h1 , · · · , hn ) et k = (k1 , · · · , kn ) sont vecteurs de Rn . Pourrait-on écrire cette formule sous forme matricielle ? Si oui, comment ? Théorème 2.5.5 [ Formule de Taylor d’ordre 2] Soient f : D 7! Rp , D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f 2 C 2 (D) alors : 1 f (x + h) = f (x) + Df (x)h + D2 (f )(x)(h, h) + o(|h|2 ), 2 pour tout h 2 Rn tel que x + h soit contenu dans D. Si p = 1 la formule de Taylor s’écrit à l’aide du gradient et de la matrice hessiene : 1 f (x + h) = f (x) + rf · h + hT Hf (x)h + o(|h|2 ). 2